Скотт Ааронсон
Квантовые вычисления со времен Демокрита
Текст предоставлен правообладателем
«Квантовые вычисления со времен Демокрита / Скотт Ааронсон»: Альпина нон-фикшн; Москва; 2018
ISBN 978-5-9614-5030-9
Аннотация
Скотт Ааронсон
Квантовые вычисления со времен Демокрита
Переводчик
Научный редактор
Редактор
Руководитель проекта
Корректоры
Компьютерная верстка
Арт-директор
Иллюстрация обложки
© Scott Aaronson, 2013
© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2018
* * *
Предисловие
Написанный им самим
«Квантовые вычисления со времен Демокрита» – достойный кандидат на звание самой странной книги, когда-либо опубликованной издательством Кембриджского университета. Ее необычность начинается с названия, которое загадочным образом не объясняет, о чем, собственно, говорится в этой книге. Быть может, это очередной учебник по квантовым вычислениям – модной области науки на стыке физики, математики и информатики, которая уже лет двадцать обещает миру новый тип компьютера, но пока не создала реального устройства, способного на что-нибудь более впечатляющее, чем разложение 21 на множители 3 × 7 (правда, с высокой вероятностью)? Если так, то что добавит именно эта книга к десяткам других, в которых уже изложены основы теории квантовых вычислений? Или, может быть, эта книга – наивная попытка связать квантовые вычисления с историей древнего мира? Но какое отношение может иметь Демокрит – древнегреческий философ-атомист – к книге, содержание которой по крайней мере наполовину было бы откровением для ученых даже в 1970-е годы, не говоря уже о IV веке до н. э.?
Теперь, когда я прочел эту книгу, я должен признать, что поистине блестящий и невыразимо оригинальный взгляд автора на всё – от квантовых вычислений (заявленных в заголовке) до теорем Гёделя и Тьюринга, от вопроса о соотношении между P и NP до интерпретации квантовой механики, от искусственного интеллекта до парадокса Ньюкома и проблемы исчезновения информации в черной дыре – вынес мне мозг и заставил полностью пересмотреть свою картину мира. Так что если кто-то просматривает эту книгу в магазине, то я
Трудно, однако, избежать подозрения в том, что «Квантовые вычисления со времен Демокрита» – это, по существу, «дамп памяти»: не особенно систематизированная коллекция мыслей о теории вычислительных систем, физике, математике и философии, которые присутствовали в сознании автора осенью 2006 г., когда он прочел серию лекций в Университете Ватерлоо; из этих лекций и выросла данная книга. Ее материал объединяет скучноватый юмор автора, его «сократический» подход к каждому вопросу и его одержимость теорией вычислений и тем, как она соотносится с физическим миром. Но если в книге и присутствует некий главный «тезис», который должен вынести из нее читатель, то я, хоть убейте, не могу его сформулировать.
Можно также задаться вопросом, на какого читателя рассчитана данная книга. С одной стороны, она
С другой стороны, книга получилась
Итак, для кого же предназначена эта книга? Неужели для неспециалистов, которые
А теперь – настоящее предисловие
Хотя я ценю добрые слова автора рецензии о моей книге (и даже о моей внешности!), которые вы могли видеть на предыдущих страницах, я при всем том категорически возражаю против высказанного им невежественного утверждения о том, что в книге «Квантовые вычисления со времен Демокрита» нет обобщающего тезиса. Он в книге
Позвольте мне рассказать эту историю – она того стоит.
В 2006 г. я читал курс «Квантовые вычисления со времен Демокрита» в Университете Ватерлоо. В течение следующего года я выкладывать краткие заметки по этому курсу в своем блоге
1 октября 2007 г. я получил электронное письмо от некоего австралийца по имени Уоррен Смит, который писал, что видел по телевизору интересную рекламу принтеров Ricoh. В ней, продолжал он, две девушки-модели в гримерной вели следующий диалог:
После этого в ролике вспыхивал слоган: «Наша модель умнее», после которого появляется изображение принтера Ricoh.
Смит сообщил, что заинтересовался происхождением столь необычного рекламного текста и стал гуглить его. Поиск привел его к девятой главе моих конспектов на тему «Квантовые вычисления со времен Демокрита», где он обнаружил следующий пассаж:
Но если квантовая механика – это не физика в обычном смысле слова, если она не занимается ни веществом, ни энергией, ни волнами, ни частицами, то
Оказалось, что в рекламном диалоге присутствовала ровно одна фраза, которую написал
Меня это больше позабавило, нежели рассердило. Я сделал в блоге запись под заголовком «Австралийские актрисы сплагиатили мою лекцию по квантовой механике, чтобы продавать принтеры»3. После изложения происшедшего и ссылки на видео пост заканчивался так:
Едва ли не впервые в жизни я не нахожу слов. Я не знаю, как на это реагировать. Не знаю, какую из 500 000 возможных шуток выбрать. Помогите мне, читатели. Должен ли я чувствовать себя польщенным? Или, может быть, пора звонить юристу?
Этому посту суждено было стать самым популярным из всех, когда-либо мной написанных. На следующее утро эта история попала на страницы в
Тем временем реакция читателей в моем блоге и на других онлайн-форумах оказалась смешанной. Некоторые говорили, что я поступлю глупо, если не подам в суд на рекламное агентство и не получу с него максимально возможную компенсацию. Что, если бы они вставили в свой рекламный ролик несколько тактов из какой-нибудь песни
Love Communications, со своей стороны, признали, что использовали в рекламе текст моей лекции, но заявили, что консультировались с юристом и были уверены, такая практика не выходит за рамки добросовестного использования. Я тем временем все-таки
В конце концов мы нашли решение, которое понравилось всем. Love Communications извинились (не признавая при этом, что поступили неправильно) и пожертвовали 5000 долларов двум австралийским научно-просветительским организациям, которые я назвал6. В ответ я отказался от всяких дальнейших действий и почти что забыл об этой истории и вспоминаю теперь о ней только тогда, когда коллеги начинают надо мной подшучивать, вспоминая австралийских моделей (им это никак не надоест).
Но замечательна эта история – и потому я ее здесь пересказываю (ну, помимо того, что это подлинная забавная история, связанная с этой книгой) – что если бы мне нужно было выбрать из всей книги один абзац для телепередачи, я, кажется, выбрал бы именно тот, что выбрали копирайтеры агентства, хотя они, вероятно, просто просматривали книгу по диагонали в поисках какой-нибудь наукообразной ерунды, а я никак эту мысль не выделил, поскольку даже не задумался о ее важности.
Идея о том, что квантовая механика занимается информацией, вероятностями и наблюдаемыми величинами, а вовсе не волнами и частицами, безусловно, нельзя назвать оригинальной. Физик Джон Арчибальд Уилер говорил нечто подобное еще в 1970-е гг.; сегодня вокруг этой идеи построена вся научная область, связанная с квантовыми вычислениями и информацией. В самом деле, во время дискуссии в моем блоге, развернувшейся после эпизода с австралийскими моделями, один из наиболее частых аргументов (и наиболее забавных, по-моему) состоял в том, что мне, по существу, не на что жаловаться, поскольку заимствованный отрывок
Как бы мне хотелось, чтобы это было действительно так! Даже сегодня, в 2013 г., взгляд на квантовую механику как на теорию информации и вероятностей остается в общем и в целом точкой зрения меньшинства. Возьмите почти любую книгу по физике – хоть популярную, хоть теоретическую, и вы узнаете, что (а) в современной физике полно парадоксальных на первый взгляд утверждений, к примеру что волны – это частицы, а частицы – это волны, (б) никто по-настоящему глубоко этих вещей не понимает, (в) даже на перевод их на язык математики требуются годы интенсивной работы, но (г) благодаря им атомные спектры удается рассчитать правильно, а именно это, в конце концов, и важно.
Так, красноречивое изложение этого «традиционного взгляда» можно найти в книге Карла Сагана «Мир, полный демонов»:
«Предположим, вы решили всерьез разобраться в квантовой механике. Сначала нужно овладеть математическим аппаратом, целым рядом математических дисциплин, каждая из которых подводит к следующей, более высокой ступени. Арифметика, геометрия Евклида, алгебра по программе старших классов, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, обычные и в частных производных, векторное исчисление, некоторые специальные функции математической физики, матричная алгебра и теория групп… Нелегка задача популяризатора науки, который захочет дать широкой публике, не прошедшей весь этот обряд посвящения, хоть какое-то представление о квантовой механике. На мой взгляд, удачных популяризаций квантовой механики просто не существует, и отчасти по этой самой причине. На все эти математические сложности накладывается тот факт, что квантовая теория демонстративно контринтуитивна. Подходить к ней, вооружившись здравым смыслом, почти бесполезно. Как говорил в свое время Ричард Фейнман, бессмысленно спрашивать,
Можно понять, почему так говорят физики: физика – наука экспериментальная. В физике
Лично я просто
Если говорить о нескольких предыдущих научных революциях – о ньютоновой физике, дарвиновой эволюции, о специальной теории относительности, то я, как мне кажется, примерно представляю себе ответы на приведенные вопросы. И если моя интуиция пока еще не до конца приспособилась даже к этим теориям, то я, по крайней мере, знаю, как ее
Но с квантовой механикой все иначе. Здесь, уверяют нас физики,
К счастью, мне представляется, что в результате нескольких десятилетий работы в области квантовых вычислений и квантовых принципов мы получили возможность добиться куда большего, чем просто назвать квантовую механику набором загадочных бессмысленных фактов. Короче говоря, вот что ожидает вас в этой книге:
Квантовая механика – это красивое обобщение законов вероятности, обобщение, основанное скорее на второй норме, нежели на первой, и скорее на комплексных, нежели на неотрицательных действительных числах. Ее можно изучать совершенно отдельно от ее приложения к физике (более того, такое изучение обеспечивает хороший старт для последующего изучения приложений к физике). Эта обобщенная теория вероятностей естественным образом приводит нас к новой вычислительной модели – к модели квантовых вычислений, которая бросает вызов всем нашим идеям, связанным с вычислениями и считавшимся прежде само собой разумеющимися. Эту модель специалисты по теории вычислительных систем могли бы предложить и сами для собственного удобства, даже если бы она не была связана с физикой. Короче говоря, хотя квантовая механика была придумана сто лет назад для решения технических проблем физики, сегодня ее можно плодотворно объяснить с совершенно иной точки зрения: как часть истории идей в математике, логике, вычислительных системах и философии, идей о пределах познаваемого.
В этой книге я попытаюсь выполнить сделанные обещания, двигаясь к цели неторопливым кружным путем. Наш путь начнется в главе 1 настолько близко к «началу», насколько это возможно, – с древнегреческого философа Демокрита. Дошедшие до нас фрагменты трудов Демокрита, который рассуждает, в частности, о том, что все природные явления проистекают из сложных взаимодействий между несколькими разновидностями крохотных «атомов», стремительно летающих в пустом по большей части пространстве, ближе к современному научному мировоззрению, чем что бы то ни было в античности (и много ближе, чем любые идеи Платона и Аристотеля). Но стоит Демокриту сформулировать атомную гипотезу, как он замечает с тревогой, что она стремится «целиком поглотить» тот самый чувственный опыт, который он как будто пытался объяснить с самого начала. Каким образом
Этот обмен репликами служит, по существу, краеугольным камнем всей книги. Одной из тем для моих рассуждений будет то, что квантовая механика снабжает, судя по всему,
В главах 2 и 3 я перехожу к обсуждению самой глубокой из всех имеющихся у нас областей знания, совершенно намеренно
В главе 5 представлена молодая сестра теории вычислимости –
Все это – всего лишь подготовка сцены для самой тяжелой части книги – главы 9, в которой представлен мой взгляд на квантовую механику как «обобщенную теорию вероятностей». В главе 10 объясняются основы моей собственной научной области –
В качестве «награды» за упорство глава 11 предлагает критический разбор идей сэра Роджера Пенроуза, убежденного, как известно, в том, что мозг – это не просто квантовый компьютер, но квантовый
В главе 12 рассматривается то, что я считаю главной концептуальной проблемой квантовой механики: не то, что будущее неопределенно (а кому до этого есть дело?), но то, что прошлое
В оставшейся части книги рассматривается приложение всего изложенного выше к тем или иным серьезным, захватывающим или противоречивым вопросам математики, информатики, философии и физики. В этих главах значительно больше, чем в начальных, уделено внимание
• В главе 13 говорится о новых концепциях математического доказательства (включая вероятностное доказательство и доказательство с нулевым разглашением), а затем рассказывается о приложении этих новых понятий к пониманию вычислительной сложности теорий со скрытыми параметрами.
• В главе 14 поднимается вопрос о «размере» квантовых состояний: действительно ли в них зашифровано экспоненциальное количество классической информации? Кроме того, этот вопрос соотносится, с одной стороны, с дебатами о квантовой интерпретации, а с другой – с недавними исследованиями квантовых доказательств и совета на базе теории сложности.
• В главе 15 разбираются аргументы
• В главе 16 разбирается юмова проблема индукции; она используется как трамплин для обсуждения
• В главе 17 рассказывается о некоторых прорывных открытиях, меняющих наши представления о классических и квантовых интерактивных системах доказательства (к примеру, о теоремах IP = PSPACE и QIP = PSPACE ); в основном эти открытия интересуют нас постольку, поскольку ведут к
• В главе 18 разбираются знаменитый антропный принцип и «аргумент Судного дня»; дискуссия начинается как сугубо философическая (разумеется), но постепенно сводится к обсуждению
• В главе 19 обсуждаются парадокс Ньюкома и свобода воли, что выливается в рассказ о «теореме о свободе воли» Конуэя – Кохена и использовании неравенства Белла для генерации «случайных чисел по Эйнштейну».
• глава 20 посвящена путешествиям во времени: разговор уже традиционно начинается с широкой философской дискуссии, а заканчивается доказательством того, что классические
• В главе 21 речь пойдет о космологии, темной энергии, пределе Бекенштейна и голографическом принципе, но, что не удивительно, с акцентом на то, что все эти вещи значат для
• глава 22 остается «на десерт»; в ее основе лежит завершающая лекция курса «Квантовые вычисления со времен Демокрита», на которой студенты могли задавать мне абсолютно любые вопросы и смотреть, как я с ними справлюсь. Среди затронутых тем: возможность падения квантовой механики; черные дыры и так называемые пушистые клубки; что дают оракулы в вопросе о вычислительной сложности; NP -полные задачи и творческое начало; «сверхквантовые» корреляции; дерандомизация рандомизированных алгоритмов; наука, религия и природа разума; а также почему информатика не является разделом физики.
И последнее замечание. Чего вы точно
Поясняю. На мой взгляд, вполне вероятно, что я еще увижу при своей жизни действующие квантовые компьютеры (разумеется, возможно также, что и
Отчасти именно поэтому, если бы вдруг кому-то удалось доказать, что масштабируемые квантовые вычисления
В общем, можно сказать, что я работаю в этой области не столько потому, что квантовые компьютеры могут принести нам какую-то пользу, сколько потому, что сама
Что нового
Просматривая рукопись перед публикацией в виде книги, я больше всего удивился тому, как много всего
Чтобы проиллюстрировать развитие вещей, позвольте мне привести неполный список достижений, о которых пойдет речь в книге, но о которых
Достаточно серьезные события произошли в области
Если говорить об основах квантовой механики, Чирибелла с соавторами (см. главу 9) привели новый аргумент в пользу того, «почему» в квантовой механике должны действовать именно такие правила. А именно: они доказали, что только эти правила совместимы с некоторыми общими аксиомами теории вероятностей и
В теории квантовых вычислений задача Бернштейна – Вазирани о «рекурсивной выборке Фурье», которой в лекциях 2006 г. я посвятил довольно много времени, была вытеснена моей задачей о «проверке коэффициентов Фурье» (см. главу 10). Задача Бернштейна – Вазирани осталась в истории как первая когда-либо предложенная задача с черным ящиком, которую квантовый компьютер доказуемо может решить сверхполиномиально быстрее, чем классический вероятностный компьютер, и, следовательно, как важный предшественник прорывных открытий Саймона и Шора. Но сегодня, если нам потребуется кандидат на роль задачи класса BQP/PH , иными словами, задачи, которую квантовый компьютер может решить с легкостью, но которая вообще не входит в классическую «полиномиальную иерархию», то представляется, что «проверка коэффициентов Фурье» во всех отношениях превосходит «рекурсивную выборку Фурье».
Несколько задач, которые излагались в моих лекциях 2006 г. как нерешенные, успели с тех пор изменить свой статус. Так, мы с Эндрю Друкером показали, что класс BQP/qpoly входит в класс QMA/poly (к тому же доказательство получилось релятивизирующее), опровергнув тем самым мою гипотезу о том, что эти классы должны различаться по оракулам (см. главу 14). Кроме того, произошел справедливо отмеченный прорыв в теории квантовых вычислений: Джайн с соавторами доказал, что QIP = PSPACE (см. главу 17); это означает, что квантовые интерактивные системы доказательства не мощнее классических. В этом случае я по крайней мере угадал правильный ответ!
(На самом деле был
В главе 20 этой книги обсуждается предложенная Дэвидом Дойчем модель квантовой механики в присутствии замкнутых времениподобных траекторий, а также мой и Джона Ватруса новый (на тот момент) вывод о том, что модель Дойча обеспечивает в точности вычислительную мощность PSPACE. (Отсюда, в частности, следует, что путешествующие во времени квантовые компьютеры оказались бы не более мощными, чем
А что с нижними оценками сложности схемы (для специалистов по теоретической информатике это, по существу, кодовое слово, обозначающее «попытку доказать P ≠ NP », точно так же как для физиков «замкнутые времени подобные траектории» – кодовое слово для обозначения путешествий во времени)? Рад сообщить, что и здесь после 2006 г. имеются интересные подвижки – безусловно, более серьезные, чем можно было тогда ожидать. В качестве примера скажу, что Рахул Сантханам при помощи интерактивных методик доказательства получил нерелятивизирующий результат, согласно которому класс PromiseMA не имеет схем какого бы то ни было фиксированного полиномиального размера (см. главу 17). Результат Сантханама, в частности, побудил меня и Ави Вигдерсона в 2007 г. сформулировать теорему о
Конечно, даже интереснейший результат Уильямса чертовски далек еще от доказательства P ≠ NP . Но в последние шесть лет наблюдается еще и растущий интерес – и, соответственно, прогресс – к программе создания геометрической теории сложности Кетана Мулмулея (см. главу 17); теория эта играет для доказательства P ≠ NP почти в точности ту же роль, что теория струн в физике для цели создания Теории Всего. То есть, если говорить о конкретных результатах, программа геометрической теории сложности пока даже отдаленно не приблизилась к конечному результату, и даже самые рьяные ее сторонники предсказывают несколько десятилетий кропотливой работы, тогда как остальных просто отпугивает ее математическая сложность. В активе этой программы две вещи: во-первых, то, что она создает математические связи, «слишком глубокие и поразительные, чтобы их можно было считать простым совпадением», и во-вторых, то, что (хотя так считают далеко не все!) на безрыбье и рак рыба и что это единственный реальный претендент на успех, имеющий хоть какие-то шансы.
Позвольте мне упомянуть еще три открытия, сделанных после 2006 г. и важных для содержания этой книги.
В 2011 г. мы с Алексом Архиповым предложили «бозонную выборку» (см. главу 18) – рудиментарную, почти наверняка
В 2012 г. Умеш Вазирани и Томас Видик, опираясь на более ранние работы Пиронио с соавторами, показали, как можно использовать нарушения неравенства Белла для достижения
Тем временем дебаты об «информационном парадоксе черной дыры» – то есть об очевидном конфликте между принципами квантовой механики и локальностью пространства-времени, когда биты и кубиты падают в черную дыру, – развивались с 2006 г. в новых направлениях. Самыми, возможно, важными достижениями здесь стали возросшая популярность и подробность модели черной дыры как «пушистого клубка», выдвинутой Самиром Матхуром, и спорное утверждение Алмхейри с соавторами о том, что наблюдатель, падающий в черную дыру, никогда даже не приблизится к сингулярности, а встретит на своем пути «огненную стену» и сгорит на горизонте событий. Я в меру своих сил расскажу об этих достижениях в главе 22.
Несколько дополнений и изменений в книге объясняются не какими-то новыми открытиями или аргументами, а просто тем, что я (ну надо же!)
С надеждой на то, что в 2020 г. эта книга будет так же сильно нуждаться в переработке, как нуждаются в ней сегодня, в 2013 г., конспекты лекций 2006 года,
Благодарности
Мой практикант 2008 года Крис Гранад с энтузиазмом взялся за превращение разрозненных конспектов и аудиозаписей в полноценные черновики, которые я смог выложить у себя на сайте, – и это стало первым шагом на их долгом пути к превращению в книгу. После этого Алекс Архипов, мой замечательный докторант в MIT, прошелся по черновикам частой гребенкой и отметил места, которые были неверны, непонятны или не представляли более интереса. Я глубоко благодарен им обоим: эта книга одновременно и
Она бы также не была возможна без Саймона Кейплина, моего издателя из Cambridge University Press (CUP), который предложил мне идею книги. Саймон понял, что мне нужно: он дергал меня раз в несколько месяцев, чтобы проверить, насколько я продвинулся, но никогда не давил на меня и всегда полагался на мое внутреннее чувство вины, чтобы увидеть конец в работе над проектом. (И в конце концов я его
Я выражаю благодарность студентам и членам факультета, которые слушали мой курс «Квантовые вычисления со времен Демокрита» в Университете Ватерлоо в осеннем семестре 2006 года. Их вопросы и аргументы сделали курс таким, какой он есть, и вы увидите это в книге, особенно в ее последних главах. Ну и самое главное: студенты сделали аудиозаписи и первые конспекты. Говоря в целом, я вспоминаю два постдоковских года в Институте квантовых вычислений (IQC) Университета Ватерлоо как один из самых счастливых периодов своей жизни. Я благодарю всех, и в особенности директора IQC Рея Лафламма, за то что они не только
Я благодарен Лаборатории вычислительных систем и искусственного интеллекта MIT и его кафедре электротехники и вычислительных систем, а также Национальному научному фонду США, Агентству перспективных оборонных проектов DARPA, Фонду Слоана и компании TIBCO Inc. за всю ту поддержку, которые они оказывали мне на протяжении последних шести лет.
Спасибо читателям моего блога
Я благодарен тем людям, которые были моими учителями от старших классов школы и до постдока, – это Крис Линч, Барт Селман, Лав Гровер, Умеш Вазирани и Ави Вигдерсон. Джон Прескилл не был «формально» моим научным руководителем, но я считаю его таковым. Всем им я обязан больше, чем могу выразить.
Я также благодарен всем тем в сообществе квантовой информации и теоретической информатики и за его пределами, дискуссии и споры с которыми на протяжении многих лет нашли отражение в этой книге. Наверно, я не смогу составить полный список этих людей, но вот по крайней мере часть: Дорит Ааронов, Андрис Амбайнис, Майкл Бен-Ор, Гарри Бурман, Рафаэль Буссо, Дейв Бэкон, Майкл Вассар, Джон Ватрус, Дэниел Готтесман, Рональд де Вольф, Дэвид Дойч, Энди Друкер, Ричард Карп, Эльхам Кашефи, Джулия Кемпе, Ричард Клив, Грег Куперберг, Шон Кэрролл, Сет Ллойд, Микеле Моска, Майкл Нилсен, Христос Пападимитриу, Одед Регев, Ленни Сасскинд, Барбара Терхал, Грег Хайтин, Алекс Халдерман, Робин Хэнсон, Эд Фахри, Крис Фукс, Лен Шульман. Я прошу меня простить за неизбежные пропуски (а те, кто не хочет увидеть своих имен в этой книге, срочно сообщите!).
Я благодарен первым читателям, нашедшим ошибки в первом тираже книги. Это Эван Берковитц, Боб Гейлслут, Эрнест Дэвис, Эндрю Маркс, Крис Мур и Тайлер Сингер-Кларк.
Наконец, я хочу сказать спасибо маме и папе, моему брату Дэвиду и, конечно, моей жене Дейне, которая наконец-то познакомится со мной в состоянии, когда я
1. Атомы и пустота
Демокрит
И все же почему Демокрит? Начнем с самого начала: кто такой Демокрит? Какой-то древнегреческий чувак. Он родился где-то около 450 г. до н. э. в том самом скучном провинциальном греческом городке под названием Абдера, о котором афиняне говорили, что сам воздух в нем порождает глупость. Согласно моему источнику, а именно Википедии, он был учеником Левкиппа. Его называют досократиком, хотя на самом деле он был современником Сократа. Это дает некоторое представление о том, какое ему придается значение: «Ну да, досократики… может, стоит упомянуть о них на первой лекции курса». Кстати, существует легенда о том, что Демокрит однажды посетил Афины специально для того, чтобы встретиться с Сократом, но при встрече с ним попросту не осмелился назвать свое имя.
До нас не дошло почти ничего из трудов Демокрита. Кое-что оставалось еще до Средних веков включительно, но к настоящему времени оказалось утрачено. Сведения о нем мы получаем в основном от других философов (к примеру, от Аристотеля), которые упоминают Демокрита, чтобы покритиковать его.
Что же они критикуют? Демокрит считал, что вся Вселенная состоит из атомов в пустоте, которые непрерывно движутся по вполне определенным и доступным для понимания законам. Эти атомы могут сталкиваться друг с другом и отскакивать при столкновении, а могут слипаться в более крупные объекты. Они могут иметь разный размер, вес и форму – может быть, некоторые из них представляют собой сферы, некоторые – цилиндры, а некоторые – еще что-нибудь. С другой стороны, Демокрит утверждает, что свойства вещей, такие как цвет и вкус, не определяются свойствами атомов, а возникают из взаимодействия многих атомов. Ибо если бы атомы, образующие океаны, были «синими по сути своей», то как они могли бы образовывать белую пену на верхушках волн?
Не забывайте, это примерно 400 г. до н. э. До сих пор все очень неплохо.
Почему Демокрит считает, что все вещи сделаны из атомов? Он приводит некоторые аргументы, один из которых можно сформулировать своими словами так: предположим, у нас есть яблоко, и предположим, что это яблоко сделано не из атомов, а из чего-то непрерывного и твердого. Предположим далее, что мы берем нож и разрезаем яблоко на две части. Ясно, что точки на одной стороне попадут на первый кусок, а точки на другой стороне – на второй, но как насчет точек, расположенных в точности на границе? Они что, исчезнут? Или удвоятся? А симметрия нарушится? Ни одна из перечисленных возможностей не кажется особенно элегантной.
Кстати говоря, ожесточенные споры между атомистами и антиатомистами идут и сегодня. Обсуждается вопрос о том, действительно ли
Один из немногочисленных отрывков Демокрита, все же дошедших до нас, представляет собой диалог между Разумом и Чувствами. Разум начинает разговор: «Только по договоренности между людьми существует сладость, по договоренности – горечь, по договоренности – цвет, на самом деле существуют только атомы и пустота». По мне, одна эта строка уже ставит Демокрита в один ряд с Платоном, Аристотелем и любым другим древним философом, которого вы рискнете назвать: было бы трудно сформулировать более точно в одном предложении все научное мировоззрение, которое появится через 2000 лет! Но диалог на этом не заканчивается. Чувства отвечают: «Глупый Разум! Неужели ты стремишься ниспровергнуть нас, хотя именно от нас получаешь все данные?»
Я впервые встретил этот диалог в какой-то книге Шрёдингера9. Ага, Шрёдингер! – вот видите, мы продвигаемся потихоньку к «квантовым вычислениям», заявленным в названии книги. Не беспокойтесь, мы обязательно до них доберемся.
Но почему Шрёдингера должен был заинтересовать этот диалог? Ну вообще-то его интересовало множество вещей. Он не был склонен к интеллектуальной моногамии (да и ни к какой другой моногамии тоже). Но одна из
Вот о чем идет речь: для любой изолированной области Вселенной, которую мы хотим рассмотреть, квантовая механика описывает эволюцию во времени состояния этой области, которое мы представляем как линейную комбинацию –
Есть у нее и свои сложности. Не слишком хорошо, скажем, обстоит дело с достоверными данными, поставляемыми чувствами. В чем проблема? Ну, если отнестись к квантовой механике всерьез, окажется, что
Вас может заинтересовать, как такая безумная теория может быть
Но вот проблема: Вселенная живет себе потихоньку, занимаясь своими делами, и как же нам узнать, когда следует применять это правило измерений, а когда нет? И вообще, что считать «измерением»? Трудно представить себе, чтобы законы физики говорили: «То-то и то-то происходит до тех пор,
Таким образом, с точки зрения физики все обстояло бы намного проще и понятнее, если бы мы могли вообще избавиться от всей этой мороки с «измерениями»! Тогда мы могли бы сказать, перефразируя Демокрита на сегодняшний лад: не существует ничего, кроме атомов и пустоты, развивающихся в квантовой суперпозиции.
Но постойте, если мы не суем свой нос с измерениями и ничто не нарушает первозданной красоты квантовой механики, то как «мы» (что бы это местоимение ни означало) вообще смогли получить какие-то данные о том, что квантовая механика верно отражает действительность? Почему мы все дружно поверили в эту теорию, которой, кажется, очень мешает сам факт нашего существования?
Именно так выглядит современный вариант демокритовой дилеммы, о котором физики и философы спорят уже почти сотню лет. Признаюсь откровенно: в этой книге мы с вами ее не разрешим.
И еще одно, чем я не собираюсь заниматься в этой книге: я не стану навязывать вам какую-то свою любимую «интерпретацию» квантовой механики. Вы вольны придерживаться той интерпретации, верить которой велит вам ваша совесть. (Каких взглядов придерживаюсь я сам? Ну, я согласен с
Видите ли, точно так же, как религии можно разделить на монотеистические и политеистические, интерпретации квантовой механики можно классифицировать по тому, с какой позиции они подходят к вопросу «о помещении себя самого в когерентную суперпозицию». С одной стороны, у нас имеются интерпретации, которые с большим энтузиазмом заметают этот вопрос под ковер: это копенгагенская интерпретация и ее внуки, байесовская и эпистемологическая интерпретации. В них присутствует, разумеется, и квантовая система, и измерительное устройство, но обязательно есть линия между ними. Конечно, линия может сдвигаться и в разных экспериментах занимать разные позиции, но в каждом эксперименте она непременно имеется. В принципе вы даже можете мысленно поместить остальных людей на квантовую сторону этой линии, но сами вы всегда остаетесь на классической стороне. Почему? Потому что квантовое состояние – это всего лишь представление ваших знаний, а вы, по определению, существо классическое.
Но что, если вам захочется применить квантовую механику ко всей Вселенной целиком,
На другой стороне у нас интерпретации, которые
Упрямым решателям задач, таким как мы, все это может казаться всего лишь великим спором о словах – почему нас это должно волновать? И я готов с этим согласиться: если бы это действительно был спор о словах, то разницы не было бы никакой, и нам
Но хорошо, человеческий мозг – это водянистая, рыхлая, неаккуратная штука, и мы, возможно, не смогли бы поддерживать его в состоянии когерентной суперпозиции на протяжении 500 миллионов лет. Чем можно заменить этот эксперимент? Ну, мы могли бы поместить
Я хотел бы извлечь из всего этого более общий урок. Какой смысл затевать разговор о философских вопросах? Дело в том, что в дальнейшем мы собираемся довольно активно заниматься этим – в смысле, пустой философской болтовней. На этот счет существует стандартный ответ: философия, мол, занимается интеллектуальной расчисткой, это уборщики, которые приходят вслед за физиками и пытаются навести порядок, разобрав оставленный ими хлам. Согласно этой концепции, философы сидят в своих креслах и ждут, чтобы в физике или вообще в науке появилось что-нибудь интересное – квантовая механика, скажем, или неравенства Белла, или теорема Гёделя; после этого они (приведем метафору с обратным знаком) слетаются на новинку, как стервятники, и объявляют: ах, вот что это означает
Ну, на первый взгляд все это кажется каким-то скучным. Но, когда привыкаешь к подобной работе, мне кажется, обнаруживаешь, что это…
Лично меня интересует в первую очередь результат – поиск решений нетривиальных, хорошо определенных и еще нерешенных задач. Какова же здесь роль философии? Мне бы хотелось предложить для философии более интересную и возвышенную роль, чем роль интеллектуального дворника: философия может быть
2. Множества
Здесь мы будем говорить о множествах. Что будут содержать эти множества? Другие множества! Как куча картонных коробок, открыв которые, обнаруживаешь внутри только новыекартонные коробки, и так далее, до самого дна.
Вы можете спросить: «Какое отношение все это имеет к книге о квантовых вычислениях?»
Ну, будем надеяться, что кое-какие ответы на этот вопрос мы увидим чуть позже. Пока же достаточно сказать, что математика есть основа всякой человеческой мысли, а теория множеств — счетных, несчетных и др. — основа математики. Так что неважно, о чем у нас книга, в любом случае множества — прекрасная тема для начала.
Мне, вероятно, следует без обиняков сказать вам, что я собираюсь втиснуть весь курс математики в эту одну главу. С одной стороны, это означает, что я не рассчитываю всерьез, что вы все поймете. С другой стороны, в той мере, в какой поймете, — замечательно! Вы получаете целый курс математики в одной главе! Добро пожаловать.
Итак, начнем с пустого множества и посмотрим, как далеко нам удастся пройти.
Пустое множество
Вопросы есть?
На самом деле, прежде чем говорить о множествах, нам необходимо обзавестись языком для разговора о множествах. Язык, который придумали для этого Фреге, Рассел и другие, называется логикой первого порядка. Он включает в себя булевы функции (и, или, не), знак равенства, скобки, переменные, предикаты, кванторы («существует» и «для любого»[10]) — и, пожалуй, все. Говорят, что физики испытывают со всем этим сложности… Эй, потише, я просто пошутил. Если вы прежде не встречались с таким способом мышления, значит, не встречались, ничего страшного в этом нет. Но давайте все же пойдем навстречу физикам и пробежимся по основным правилам логики.
Правила логики первого порядка
Все правила здесь говорят о том, как составлять предложения, чтобы они были корректны — что, говоря по-простому, означает «тавтологически истинны» (верны для всех возможных подстановок переменных)[11], но что мы пока можем представить просто как комбинаторное свойство определенных символьных строк. Я буду печатать логические предложения другим шрифтом, чтобы их было легко отличить от окружающего текста.
Пропозицио-нальные тавтологии: A или не A, не (A и не A) и т.п. — истинны.
Modus ponens (правило отделения): если A истинно и из A следует B истинно, то B истинно.
Правила равенства: высказывания x = x; из x = y следует y = x; если x = y и y = z, то x = z; и из x = y следует f (x) = f (y) – истинны.
Замена переменных: при изменении имен переменных высказывание остается истинным.
Исключение квантора: если для всех x A (x) истинно, то A (y) истинно для любого y.
Добавление квантора: если истинно A (y), где y — переменная без ограничений, то для всех x, A (x) истинно.
Правило квантификации: если не (для любого x, A (x)) истинно, то существует такой x, что не (A (x)) истинно.
Приведем в качестве примера аксиомы Пеано для неотрицательных целых чисел, записанные в терминах логики первого порядка. В них S(x) — это функция следования, интуитивно S(x) = x + 1, и я предполагаю, что функции определены заранее.
Аксиомы Пеано для неотрицательных целых чисел
Нуль существует: существует такое z, что для любого x, S(x) не равно z. (Это z принимается за 0.)
Каждое целое число имеет не более одного предшественника: для любых x, y если S(x) = S(y), то x = y.
Сами неотрицательные целые числа называют моделью этих аксиом: в логике слово «модель» означает всего лишь любой набор объектов и функций этих объектов, удовлетворяющий условиям аксиом. Интересно, однако, что точно так же, как аксиомам теории групп удовлетворяет множество разных групп, так и неотрицательные целые числа — не единственная модель аксиом Пеано. К примеру, вы можете убедиться, что добавление к этой модели дополнительных искусственных целых чисел, недостижимых от 0, — чисел, лежащих «за бесконечностью», так сказать, — даст нам еще одну полноценную модель. При этом, как только вы добавите к модели одно такое целое число, вам придется добавить их бесконечно много, поскольку у каждого целого числа должно быть число, непосредственно за ним следующее.
Кажется, что, записывая эти аксиомы, мы занимаемся бессмысленной казуистикой, — и в самом деле, здесь возникает очевидная проб-лема курицы и яйца. Как можем мы формулировать аксиомы, которые подведут под целые числа более прочный фундамент, если сами символы и вообще все, что мы используем для записи этих аксиом, подразумевает, что мы уже знаем, что такое целые числа?
Так вот, именно поэтому я и не считаю, что аксиомы и формальную логику можно использовать для подведения под арифметику более надежного фундамента. Если вы почему-то не согласны с тем, что 1 + 1 = 2, то сколько ни изучай математическую логику, понятнее это не станет! Тем не менее все эти штучки безумно интересны не менее чем по трем причинам.
1. Ситуация изменится, как только мы начнем говорить не о целых числах, а о разных размерах бесконечности. Там формулирование аксиом и разбор следствий из них — это практически все наши инструменты!
2. Как только мы все формализовали, можно запрограммировать компьютер и заставить его думать за нас:
o предположение 1: для любого x если A (x) истинно, то B (x) истинно;
o предположение 2: существует x такой, что A (x) истинно;
o вывод: существует x такой, что B (x) истинно.
В общем, идею вы поняли. Суть в том, что вывод из предположений извлекается посредством чисто синтаксической операции и не требует понимания того, что, собственно, означают все эти высказывания.
3. Помимо того что доказательства для нас будет искать компьютер, мы сможем работать с этими доказательствами как с математическими объектами, что откроет путь к мета-математике.
В общем, хватит ходить вокруг да около. Посмотрим кое-какие аксиомы теории множеств. Я сформулирую их на обычном языке; перевод на язык логики первого порядка в большинстве случаев достается читателю в качестве упражнения.
Аксиомы теории множеств
В этих аксиомах фигурирует совокупность объектов, называемых «множествами», и отношения между множествами, которые характеризуются словами «является элементом», «содержится в» или «принадлежит к» и записываются с использованием символа ∈. Любая операция с множествами в конечном итоге определяется в терминах отношения принадлежности.
Пустое множество: существует пустое множество, то есть множество x, для которого не существует такого y, что y ∈ x.
Аксиома объемности: если в два множества входят одни и те же члены, то эти множества равны. То есть для любых x и y если (z ∈ x тогда и только тогда, когда z ∈ y для любого z), то x = y.
Аксиома пары: для любых множеств x и y существует множество z = {x, y}, то есть множество z, такое, что для любого w w ∈ z тогда и только тогда, когда (w = x или w = y).
Аксиома суммы: для любых множеств x существует множество, равное объединению всех множеств, содержащихся в x.
Аксиома бесконечности: существует множество x, содержащее пустое множество и содержащее также {y} для любого y ∈ x. (Почему в этом x должно содержаться бесконечное число элементов?)
Аксиома степени (множество всех подмножеств): для любого множества x существует множество, состоящее из всех подмножеств x.
Аксиома замены (на самом деле бесконечное число аксиом, по одной для каждой функции A, устанавливающей соответствие одних множеств другим): для любого множества xсуществует множество z = {A(y) | y ∈ x}, которое образуется в результате применения A ко всем элементам x. (Технически следовало бы определить также, что подразумевается под «функцией, устанавливающей соответствие одних множеств другим»; сделать это можно, но я не буду здесь этим заниматься.)
Фундирование (аксиома регулярности): в любом непустом множестве x имеется элемент y, такой, что для любого z либо z ∉ x, либо z ∉ y. (Это техническая аксиома, смысл которой в том, чтобы исключить такие множества, как {{{{…}}}}.)
Эти аксиомы, известные как аксиомы Цермело — Френкеля, служат фундаментом практически для всей математики. Поэтому я решил, что вам стоит посмотреть на них хотя бы раз в жизни.
Ну хорошо, один из самых базовых вопросов, которые мы можем задать о множестве, звучит так: насколько оно велико? Каков его размер, его мощность? В смысле, сколько в нем элементов? Вы можете сказать, что это просто: достаточно пересчитать элементы. Но что, если их бесконечно много? Скажите, целых чисел больше, чем нечетных целых чисел? Это приводит нас к Георгу Кантору (1845–1918) и первому из нескольких его громадных вкладов в копилку человеческого знания. Он сказал, что два множества равны по мощности тогда и только тогда, когда их элементы можно поставить в строгое соответствие попарно, то есть один к одному. И точка. А если, как бы вы ни пытались распределить элементы по парам, в одном из множеств все равно остаются лишние, значит, то множество, где остаются лишние элементы, большее из двух.
Какой может быть мощность множества, или, иначе, его кардинальное число? Разумеется, существуют множества конечной мощности, по одному на каждое натуральное число. Затем идет первая бесконечная мощность, мощность множества целых чисел, которую Кантор назвал ℵ0(«алеф-нуль»). Множество рацио-нальных чисел обладает той же мощностью ℵ0; иначе этот факт можно выразить, сказав, что рацио-нальные числа являются счетными — в том смысле, что их можно поставить в попарное соответствие с целыми числами. Иными словами, мы можем составить бесконечный список таким образом, что рано или поздно в нем появится каждое рацио-нальное число.
Как доказывается, что множество рацио-нальных чисел счетно? Вы никогда не видели этого доказательства? Ну хорошо. Для начала запишем 0 и добавим все рацио-нальные числа, у которых сумма абсолютных значений числителя и знаменателя равна 2. Затем добавляем к списку все рацио-нальные числа, у которых сумма абсолютных значений числителя и знаменателя равно 3. И так далее. Ясно, что любое рацио-нальное число рано или поздно появится в этом списке. Следовательно, их бесконечное количество счетно. Что и требовалось доказать.
Но самый серьезный вклад Кантора заключался в том, что он показал, что не каждаябесконечность является счетной, — так что, к примеру, бесконечность действительных чисел больше, чем бесконечность целых чисел. В более общем плане: точно так же, как существует бесконечно много чисел, существует и бесконечно много бесконечностей.
С доказательством этого вы тоже не встречались? Ну хорошо, хорошо. Пусть у вас имеется бесконечное множество A. Мы покажем, как получить другое бесконечное множество B, которое будет больше, чем A. Просто возьмем в качестве множества B множество всех подмножеств A, которое гарантированно существует, согласно аксиоме о степенном множестве. Откуда мы знаем, что B больше, чем A? Ну предположим, что мы смогли каждому элементу a ∈ A поставить во взаимно однозначное соответствие элемент f (a) ∈ B, так что лишних элементов B не осталось. Тогда мы можем определить новое подмножество S ⊆ A, состоящее из всех a, которые не входят в подмножество f (a). Такое S также является элементом B. Но, заметьте, S не может соответствовать никакому a ∈ A, поскольку в противном случае a содержалось бы в f (a) тогда и только тогда, когда оно не содержалось бы в f (a). Получили противоречие. Следовательно, B больше A, и мы получили бесконечность большую, чем та, с которой мы начали.
Это определенно одно из четырех или пяти величайших доказательств во всей математике — и опять же полезно посмотреть на него хотя бы раз в жизни.
Помимо кардинальных чисел полезно обсудить также ординальные, или порядковые, числа. Их, вместо того чтобы определять, проще проиллюстрировать. Начнем с натуральных чисел:
0, 1, 2, 3, …
Затем, говорим мы, определим нечто, что будет больше любого натурального числа:
ω.
Что идет после ω?
ω + 1, ω + 2, …
Далее, что идет после всего этого?
2ω.
Так, мы ухватили идею:
3ω, 4ω, …
Так, мы ухватили идею:
ω2, ω3, …
Так, мы ухватили идею:
ωω, ωωω, …
В таком духе мы могли бы продолжать довольно долго! По существу, для любого множества ординальных чисел (конечного или бесконечного) мы уславливаемся, что существует некоторое первое ординальное число, которое стоит после всего, что содержится в этом множестве.
Множество ординальных чисел обладает тем важным свойством, что оно хорошо упорядочено. Это означает, что в каждом его подмножестве имеется некоторый минимальный элемент. Это отличает его от множества целых чисел или множества положительных действительных чисел, в которых у каждого элемента есть предшествующий элемент.
А теперь кое-что интересное. Все ординальные числа, которые я перечислил, обладают одним особым свойством: они имеют не более счетного количества (то есть не более ℵ0) предшественников. Что, если рассмотреть множество всех ординальных чисел с не более чем счетным числом предшественников? Ну, у такого множества тоже имеется следующий элемент, назовем его α. Но сколько предшественников у α, тоже ℵ0? Разумеется, нет, поскольку в противном случае α не был бы следующим элементом по отношению к нашему множеству, а входил бы в это множество! Множественно предшествующих α элементов обладает следующей возможной мощностью, которая называется ℵ1.
Такого рода рассуждения доказывают, что множество мощностей само по себе является вполне упорядоченным. После бесконечности целых существует «следующая по возрастанию бесконечность», а также «следующая за ней по возрастанию бесконечность» и т.п. Однако невозможно увидеть бесконечную уменьшающуюся последовательность бесконечностей, какую можно получить в случае действительных чисел.
Таким образом, начиная с ℵ0 (мощность множества целых чисел), мы уже видели два разных способа получить «большие бесконечности, чем бесконечность». Один из этих способов выдает мощность множества множеств целых чисел (или, что то же самое, мощность множества действительных чисел), которую мы обозначаем 2ℵ0. Другой способ выдает ℵ1. Можно ли сказать, что 2ℵ0 равно ℵ1? Или скажем иначе: существует ли бесконечность промежуточногоразмера между бесконечностью целых чисел и бесконечностью действительных чисел?
Этот вопрос стоял первым в списке задач Давида Гильберта, предложенных им в 1900 г. Более полувека он оставался одной из великих нерешенных математических задач, пока не получил «решения» (оказавшегося несколько обескураживающим, как вы увидите).
Сам Кантор считал, что промежуточных бесконечностей не существует, и называл это утверждение континуум-гипотезой. Кантор очень сердился на себя за то, что никак не мог ее доказать.
Кроме континуум-гипотезы, существует еще одно утверждение касательно бесконечных множеств, которое никто не мог доказать или опровергнуть, исходя из аксиом Цермело — Френкеля. Это утверждение — печально известная аксиома выбора, в которой говорится, что если у вас имеется (возможно, бесконечное) множество множеств, то можно сформировать новое множество, взяв по одному элементу из каждого множества. Звучит разумно, не правда ли? Вот только если вы принимаете это утверждение, то вам придется признать также, что существует способ разрезать шар на конечное число кусочков, а затем собрать из этих же кусочков новый шар в тысячу раз большего размера. (Это «Парадокс Банаха — Тарского». Следует признать, что отрезать такие «части» ножом довольно проб-лематично…)
Но почему аксиома выбора приводит к таким драматическим последствиям? В основном потому, что утверждает, что некоторые множества существуют, но не дает никакого правила по формированию этих множеств. Как сказал по этому поводу Бертран Рассел, «чтобы взять по одному носку от каждой из бесконечного числа пар носков, требуется аксиома выбора, а для ботинок такой аксиомы не требуется». (Какая разница?)
Оказывается, аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что любое множество может быть вполне упорядоченным: иными словами, элементы любого множество можно попарно поставить в соответствие порядковым числам 0, 1, 2, …, ω, ω + 1, …, 2ω, 3ω, … вплоть до некоторого порядкового числа. Если подумать, к примеру, о множестве действительных чисел, это представляется далеко не очевидным.
Несложно убедиться, что полная упорядоченность подразумевает аксиому выбора: достаточно просто вполне упорядочить всю бесконечность носков, а затем выбрать из каждой пары носков тот, что идет первым по порядку.
Хотите убедиться в обратном? Почему аксиома выбора подразумевает, что любое множество можно полностью упорядочить? Да?
Хорошо! У нас имеется множество A, которое мы хотим полностью упорядочить. К каждому собственному[12] подмножеству B ⊂ A мы применим аксиому выбора, чтобы выбрать элемент f(B) ∈ A — B (где A — B означает множество всех элементов A, которые не являются также элементами B). Теперь мы можем начать упорядочение A так: пусть s0 = f({}), далее пусть s1 = f({s0}), s2 = f({s1}) и т.п.
Может ли этот процесс продолжаться до бесконечности? Нет, не может. Потому что если бы он продолжался до бесконечности, то посредством так называемой «трансфинитной индукции» мы могли бы запихнуть в A произвольно большие бесконечные кардинальные числа. А множество A хотя и бесконечно, но имеет не более чем фиксированный бесконечный размер! Так что процесс этот должен где-то остановиться. Но где? На некотором собственном подмножестве B множества A? Нет, это тоже невозможно, поскольку если бы это было так, то мы просто продолжили бы процесс добавлением f(B). Так что единственное место, где он может остановиться, это само A. Следовательно, A может быть полностью упорядочено.
Ранее я упоминал некие математические сложности, изначально присущие континууму, и есть у меня одна головоломка, некоторым образом связанная с ними.
Вы ведь знаете действительную числовую прямую? Пусть нам нужно объединение открытых отрезков, или интервалов (возможно, бесконечного их числа), которое перекрывает все рацио-нальные точки. Вопрос: обязательно ли сумма длин таких интервалов должна быть бесконечной? Казалось бы, это совершенно естественно, это первое, что приходит в голову! В конце концов, рацио-нальные числа у нас всюду!
На самом деле сумма длин таких интервалов может быть не просто конечной, она может быть сколь угодно близкой к нулю! Просто пронумеруем рацио-нальные числа: r0, r1, r2, и т.п. Затем для каждого i окружим каждое из чисел ri интервалом протяженностью ε/2i.
А вот задачка посложнее: мы хотим иметь подмножество S точек (x, y) в единичном квадрате [0, 1]2, такое, что для любого действительного числа x ∈ [0, 1] существует лишь счетное количество значений y из [0, 1], таких, что (x, y) попадает в S. Можно ли выбрать S так, что для любого (x, y) ∈ [0, 1]2, или (x, y) ∈ S, или (y, x) ∈ S?
Я дам вам два ответа: что такое невозможно и что такое все же возможно.
Начнем с того, почему такое невозможно. Для этого я предположу, что континуум-гипотеза ошибочна. Далее, существует некоторое собственное подмножество A ⊂ [0, 1] мощностью ℵ1. Пусть B — множество всех y, которые фигурируют в точках (x, y) ∈ S на всех x ∈ A. Поскольку для любого x существует счетное количество таких y, мощность множества B также равна ℵ1. Поэтому, раз мы предположили, что ℵ1 меньше чем, 2ℵ0 должно существовать некоторое y0 ∈ [0, 1], не входящее в B. Отметим, что существует ℵ1 действительных чисел x ∈ A, но ни одно из них не удовлетворяет условию (x, y0) ∈ S, и лишь ℵ0 < ℵ1 из них может удовлетворять условию (y0, x) ∈ S, так что существует некоторое x0, для которого (x0, y0) и (y0, x0) не входят в S.
А теперь посмотрим, почему это возможно. Для этого я хочу предположить, что и аксиома выбора, и континуум-гипотеза верны. Согласно континуум-гипотезе, в отрезке [0, 1] имеется только ℵ1 действительных чисел. Тогда, по аксиоме выбора, мы можем вполне упорядочить эти действительные числа и сделать это таким способом, чтобы каждое число имело не более ℵ0предшественников. Далее, пусть (x, y) входит в S тогда и только тогда, когда y ≤ x, где ≤ означает сравнение по отношению к полной упорядоченности (а не к обычному порядку действительных чисел). Тогда для любого (x, y) ясно, что либо (x, y) ∈ S, либо (y, x) ∈ S.
И последняя загадка этой главы касается значения самоуважения и позитивного мышления. Найдется ли теорема, которую можно доказать только приняв за аксиому, что она может быть доказана?
Гёдель, Тьюринг и все-все-все
В предыдущей главе мы говорили о правилах логики первого порядка. Существует поразительная штука, известная как теорема Гёделя о полноте, в которой говорится, что, кроме этих правил, вам ничего и не нужно. Иными словами: если, отталкиваясь от некоторого набора аксиом, вы не можете с использованием этих правил вывести никакого противоречия, то аксиомы эти должны иметь модель (то есть быть внутренне согласованными). И наоборот: если аксиомы несогласованны, то их несогласованность может быть доказана с использованием только этих правил.
Подумайте, что это означает. А означает это, что великую теорему Ферма, гипотезу Пуанкаре или любую другую математическую загадку, которая только придет вам в голову, можно доказать, начав с аксиом теории множеств, а затем применяя эти простенькие правила раз за разом, снова и снова. Вероятно, делать это придется 300 миллионов раз, но все же…
Как же Гёдель доказывает свою теорему о полноте? Доказательство описывают как «вывод семантики из синтаксиса». Мы просто придумываем объекты на заказ по мере того, как их требуют аксиомы! И если мы когда-нибудь наткнемся на несогласованность, то случиться это может лишь по одной причине: что несогласованность присутствовала и в первоначальных аксиомах.
Одним из немедленных следствий теоремы о полноте является теорема Лёвенгейма — Скулема: любой непротиворечивый набор аксиом имеет модель не более чем счетной мощности. (Заметим в скобках: если у вас в фамилии есть умляут, как у Лёвенгейма, — это одно из лучших предзнаменований успеха в математической логике.) Почему? Потому что процесс придумывания объектов, которые требуют аксиомы, может продолжаться даже если бесконечное, то все-таки счетное число шагов!
Печально, что после доказательства теоремы о полноте Гёдель не сделал больше ничего заметного. (Следует пауза для усиления комического эффекта.) Ну хорошо, хорошо, кажется, годом позже он доказал еще теорему о неполноте.
Теорема о неполноте утверждает, что в любом непротиворечивом вычислимом наборе аксиом существует истинное утверждение о целых числах, которое невозможно доказать на основании этих аксиом. Здесь непротиворечивый означает, что из этих аксиом вы не сможете вывести противоречие, а вычислимый означает, что либо аксиом конечное число, либо если их число бесконечно, то, по крайней мере, существует некоторый алгоритм для генерации их всех.
(Если бы у нас не было требования вычислимости, мы могли бы включить в набор аксиом все истинные утверждения о целых числах! На практике этот набор аксиом не является особенно полезным.)
Но погодите! Разве теорема о неполноте не противоречит теореме о полноте, согласно которой, любое утверждение, которое следует из аксиом, может быть доказано исходя из этих аксиом? Придержите этот вопрос; мы проясним его чуть позже.
А сначала давайте посмотрим, как доказывается теорема о неполноте. Обычно говорят, что «доказательство теоремы о неполноте — это высший пилотаж математики, оно занимает 30 страниц и требует сложных построений с привлечением простых чисел», и т.п. Невероятно, но сегодня, через восемьдесят лет после Гёделя, это доказательство по-прежнему представлено в курсах математики именно так!
Ну хорошо, открыть вам секрет? Доказательство теоремы о неполноте занимает примерно две строчки. Оно почти тривиально. Но предупреждаю: чтобы доказать ее в две строчки, вам для начала потребуется представление о компьютере.
Где-то в средних классах школы у меня был приятель, который был очень силен в математике, но, возможно, не так уж силен в программировании. Он хотел написать программу с использованием массивов, но не знал, что такое массив. Что же он сделал? Каждому элементу массива он поставил в соответствие уникальное простое число, а затем их все пере-множил; затем, когда ему требовалось считать из этого массива что-нибудь, он раскладывал это произведение на простые множители. (Если бы он программировал квантовый компьютер, не исключено, что такое решение было бы не самым неудачным!) Во всяком случае, мой приятель тогда делал, по существу, то же самое, что сделал Гёдель. Он придумал хитроумный ход, позволяющий программировать без программирования.
Машины Тьюринга
Так, пора выводить на сцену мистера Т.
В 1936 г. слово «вычислитель» означало человека (как правило, женщину), в чьи обязанности входило проводить вычисления вручную, карандашом на бумаге. Тьюринг хотел показать, что такого «вычислителя» в принципе можно смоделировать при помощи машины. Как должна выглядеть такая машина? Ну, во-первых, она должна иметь возможность где-то записывать свои вычисления. Поскольку нас, в общем-то, не интересует почерк, размер букв и т.п., нам проще всего представить, что расчеты записываются на листе бумаги, расчерченном на квадраты-клеточки, по одному символу в клеточке, а число возможных символов конечно. Традиционно тетрадный лист двумерен, но без потери общности мы можем вообразить и длинную одномерную бумажную ленту. Насколько длинную? Пока будем считать ее настолько длинной, насколько нам нужно.
Что эта машина может делать? Ну, очевидно, она должна уметь считывать символы с ленты и как-то модифицировать их в зависимости от того, что считывает. Для простоты будем считать, что машина считывает символы по одному. Но в таком случае было бы лучше, если бы она умела двигаться по ленте вперед и назад. Было бы также хорошо, если бы после того, как ответ вычислен, она могла бы остановиться! Но встает вопрос: как в любой данный момент машина должна решать, что ей делать? Согласно Тьюрингу, это решение должно зависеть только от двух фрагментов информации: (1) считываемого в настоящий момент символа и (2) текущей «внутренней конфигурации» машины, ее «состояния». На основе внутреннего состояния и считываемого символа машина должна (1) записать какой-то новый символ в текущей клеточке, заменив им тот символ, который находился там прежде (2) сдвинуться по ленте вперед или назад на одну клеточку и (3) переключиться в новое состояние или остановиться.
Наконец, поскольку мы хотим, чтобы эта машина была физически реализуема, число ее различных внутренних состояний должно быть конечно. Это все, что от нее требуется.
Первым результатом Тьюринга было существование «универсальной» машины — машины, работа которой состоит в моделировании любой другой машины, описанной посредством символов на ленте. Иными словами, могут существовать универсальные программируемые вычислители. Нет нужды строить отдельную машину для обслуживания электронной почты, отдельную для проигрывания DVD-дисков, еще одну для игры в Tomb Raider и т.п.: можно построить одну-единственную машину, которая будет моделировать любую специализированную машину, выполняя различные программы, которые хранятся в памяти. Но этот вывод даже не был основным результатом знаменитой статьи Тьюринга.
Каков же был ее основной результат? Он в том, что существует фундаментальная проб-лема, называемая проб-лема остановки, которую не способна решить ни одна программа. Проблема остановки заключается в следующем: дана программа, и мы хотим определить, остановится ли она когда-нибудь. Разумеется, мы можем запустить программу и какое-то время понаблюдать, как она работает, но что, если эта программа не остановится через миллион лет? В какой момент мы должны оставить надежду?
Одним из свидетельств того, что эта проб-лема может оказаться непростой, является тот факт, что если бы могли ее решить, то мы также могли бы решить многие знаменитые нерешенные математические задачи. Так, гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое четное число, равное или большее 4, может быть записано в виде суммы двух простых. Мы, понятно, можем написать программу, которая будет проверять числа 4, 6, 8 и т.п. и остановится только в том случае, если найдет четное число, которое не может быть записано в виде суммы двух простых чисел. Решение вопроса о том, остановится ли когда-либо эта программа, будет эквивалентно выяснению вопроса об истинности или ложности гипотезы Гольдбаха.
Но можем ли мы доказать, что не существует программы, которая решила бы проблему остановки? Именно это и сделал Тьюринг. Его ключевая идея заключается в том, чтобы даже не пытаться анализировать внутреннюю динамику такой программы, если бы она существовала. Вместо этого он просто говорит: предположим, для создания противоречия, что такая программа P существует. Тогда мы можем модифицировать P так, чтобы получить при этом новую программу P′, которая делает следующее. Получив на вход еще одну программу Q, программа P′
1. Работает вечно, если Q останавливается при получении на вход собственного кода, или
2. Останавливается, если Q работает вечно при получении на вход собственного кода.
Теперь мы просто подаем P′ на вход ее собственный код. Согласно приведенным условиям, P′будет работать вечно, если остановится, или остановится, если будет работать вечно. Следовательно, P′ — и, как следствие, P — вообще не может существовать.
Как я уже сказал, если у нас есть результаты Тьюринга, то результаты Гёделя мы получим бесплатно, в качестве бонуса. Почему? Ну предположим, что теорема о неполноте ошибочна, то есть что существует непротиворечивая вычислимая сис-тема доказательства F, на основании которой любое высказывание о целых числах можно либо доказать, либо опровергнуть. Тогда, получив произвольную компьютерную программу, мы могли бы просто начать поиск по всем возможным доказательствам в F и искать до тех пор, пока не обнаружили бы доказательство либо того, что программа остановится, либо того, что она не остановится никогда. Это возможно, ведь утверждение о том, что какая-то конкретная программа остановится, в конечном итоге представляет собой именно высказывание о целых числах. Но это дало бы нам алгоритм решения проблемы остановки, а мы уже знаем, что решить ее невозможно. Следовательно, F не может существовать.
Обдумав все это более тщательно, мы можем выжать даже более сильный результат. Пусть P — программа, которая, получив на вход другую программу Q, пытается решить, остановится ли Q, по изложенной выше стратегии (то есть путем перебора всех возможных доказательств и опровержений высказывания о том, что Q остановится, в некоей формальной сис-теме F). Тогда, как в доказательстве Тьюринга, предположим, что мы модифицируем P и получим новую программу P′, такую, что она
1. Работает вечно, если доказано, что Q при получении на вход собственного кода останавливается, или
2. Останавливается, если доказано, что Q при получении на вход собственного кода работает вечно.
Далее предположим, что мы подаем на вход P′ ее собственный код. В этом случае мы знаем, что P′ будет работать вечно и никогда не обнаружит доказательства или опровержения высказывания о том, что она остановится. Ибо если P′ найдет доказательство того, что остановится, то она будет работать вечно, а если она найдет доказательство того, что будет работать вечно, то остановится, а это противоречие.
Но здесь присутствует очевидный парадокс: почему приведенный аргумент не является сам по себе доказательством того, что P′, получив на вход собственный код, будет работать вечно? И почему P′ не может найти доказательство того, что она будет работать вечно, — и, следовательно, остановится, и, следовательно, работать вечно, и, следовательно, остановится и т.п.?
Ответ в следующем: при «доказательстве» того, что P′ будет работать вечно, мы сделали скрытое предположение, а именно что сис-тема доказательства F непротиворечива. Если бы условия непротиворечивости не было, то вполне могло бы существовать доказательство того, что P′ остановится, хотя в реальности P′ работала бы вечно.
Но это означает, что если F могла бы доказать, что F непротиворечива, то F могла бы также доказать, что P′ будет работать вечно, — и таким образом вновь вытащила бы на свет божий приведенное выше противоречие. Из всего этого можно сделать единственный вывод: если сис-тема F непротиворечива, то F не может доказать собственную непротиворечивость. Этот результат иногда называют второй теоремой Гёделя о неполноте.
Вторая теорема о неполноте устанавливает то, что нам, вероятно, следовало ожидать с самого начала: что математические теории, достаточно напыщенные, чтобы доказывать собственную непротиворечивость, не могут на самом деле похвастать этой самой непротиворечивостью! Если мы хотим доказать, что теория F непротиворечива, то сделать это мы можем только в рамках другой, более мощной теории; в качестве тривиального примера можно привести F + Con(F) (теория F плюс аксиома о непротиворечивости F). Но как мы можем знать, что F + Con(F) само по себе непротиворечиво? Ну, мы можем доказать это только в рамках еще более сильной теории: F + Con(F) + Con(F + Con(F)) (это F + Con(F) плюс аксиома о том, что F + Con(F) непротиворечива). И так до бесконечности. (И даже дальше, чем до бесконечности, в область счетных ординальных чисел.)
Возьмем конкретный пример: вторая теорема о неполноте говорит нам, что самая популярная сис-тема аксиом для целых чисел, арифметика Пеано, не может доказать собственной непротиворечивости. Или, в символьной форме, PA не может доказать Con (PA). Если мы хотим доказать Con (PA), нам необходимо перейти к более сильной сис-теме аксиом, такой как ZF (аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля). В сис-теме ZF мы можем доказать Con (PA) без особого труда, использовав аксиому бесконечности для конструирования бесконечного множества, которое затем служит моделью PA.
С другой стороны, опять же согласно второй теореме о неполноте, ZF не может доказать свою собственную непротиворечивость. Если мы хотим доказать Con (ZF), то простейший способ сделать это — постулировать существование бесконечностей больших, чем все, что может быть определено в рамках ZF. Такие бесконечности называют большими кардинальными числами. (Если уж специалисты по теории множеств говорят про что-то, что оно «большое», то оно действительно большое.) Опять же мы можем доказать непротиворечивость ZF в рамках сис-темы ZF + LC, где LC — это аксиома существования больших кардинальных чисел. Но если мы хотим доказать, что сама сис-тема ZF + LC непротиворечива, то нам потребуется еще более мощная теория, к примеру с бесконечностями, которые будут еще больше.
Быстрый вопрос на понимание: хотя мы не можем доказать Con(PA) в рамках PA, можем мы хотя бы доказать в рамках PA, что из Con(PA) следует Con(ZF)?
Нет, не можем. Потому что тогда мы могли бы также доказать в рамках ZF, что из Con(PA) следует Con(ZF). Но поскольку в ZF можно доказать Con(PA), это означало бы, что в ZF можно доказать Con(ZF), что противоречит второй теореме о неполноте.
Я обещал объяснить, почему теорема о неполноте не противоречит теореме о полноте. Проще всего, вероятно, сделать это через пример. Рассмотрим «самоненавистническую теорию» PA + не (Con(PA)), то есть арифметику Пеано плюс утверждение о ее противоречивости. Нам известно, что если PA непротиворечива, то эта странная теория тоже должна быть непротиворечива, поскольку в противном случае PA доказала бы свою непротиворечивость, чего теорема о неполноте не позволяет. Из этого следует, согласно теореме о полноте, что PA + не (Con(PA)) должна иметь модель. Но как такая модель могла бы выглядеть? В частности, что произошло бы, если бы вы в рамках этой модели просто захотели бы увидеть доказательство противоречивости PA?
Я скажу вам, что произошло бы: аксиомы сказали бы вам, что доказательство противоречивости PA зашифровано некоторым положительным целым числом X. После чего вы сказали бы: «Но что такое X?» И аксиомы сказали бы: «X». А вы сказали бы: «Но что есть X как обычное положительное целое число?»
— Что вы имеете в виду под обычным положительным целым числом?
— Я имею в виду — не какая-то абстрактная сущность, обозначенная каким-то символом, к примеру X, но 1, или 2, или 3, или какое-то другое конкретное целое число, которое получается, если начать с 0 и прибавить 1 конечное число раз.
— Что вы имеете в виду, говоря «конечное число раз»?
— Я имею в виду, ну, один раз, или два, или три раза…
— Но тогда ваше определение образует замкнутый круг!
— Послушайте, вы прекрасно знаете, что я имею в виду, говоря «конечный»!
— Нет-нет-нет! Говорите на языке аксиом.
— Ну хорошо, это ваше X больше или меньше 10500 000?
— Больше. (Аксиомы не глупы и понимают, что если они скажут «меньше», вы сможете просто проверить все меньшие числа и убедиться, что ни в одном из них не зашифровано доказательство противоречивости PA.)
— Так, ладно, что есть X + 1?
— Y.
И так далее. Аксиомы будут и дальше выдавать на ваши запросы всевозможные выдуманные числа, и, считая, что PA непротиворечива, вы никогда не сможете поймать их на противоречии. Смысл теоремы о полноте в том, что все бесконечное множество выдуманных чисел, которые выдают аксиомы, составит модель для PA, но не обычную модель (какой могли быть, к примеру, обычные положительные целые числа)! Если же мы будем настойчиво продолжать разговор об обычной модели, то автоматически перейдем из владений теоремы о полноте во владения теоремы о неполноте.
А помните загадку из главы 2? В которой спрашивалось, существует ли такая теорема, которую можно доказать, только приняв за аксиому, что она может быть доказана? Иными словами, имеет ли «вера в себя» какое-либо формальное значение в математике? Теперь мы уже можем ответить на этот вопрос.
Положим для определенности, что теорема, которую мы хотим доказать, — это гипотеза Римана (RH), а формальная сис-тема, в рамках которой мы хотим ее доказывать, — это теории множеств Цермело — Френкеля (ZF). Предположим, что мы в состоянии доказать в ZF, что если ZF доказывает RH, то RH верна. Тогда, взяв контрапозитивное высказывание, мы можем доказать также в рамках ZF, что если RH ложна, то ZF не доказывает RH. Иными словами, мы можем доказать в рамках сис-темы ZF + не (RH), что не (RH) полностью согласуется с ZF. Но это означает, что теория ZF + не (RH) доказывает собственную непротиворечивость, а это, по Гёделю, означает, что сис-тема ZF + не (RH) противоречива. Но сказать, что ZF + не (RH) противоречива, — это все равно что сказать, что RH есть теорема из ZF. Следовательно, мы доказали RH. В общем, мы обнаруживаем, что если некоторое утверждение может быть доказано принятием аксиомы о том, что оно доказуемо, то оно может также быть доказано и без принятия такой аксиомы. Результат известен как теорема Лёба (опять фамилия с умляутом — Löb), хотя лично мне кажется, что лучше было бы назвать ее теоремой «вы-и-без-того-все-знали».
А помните, чуть раньше мы говорили об аксиоме выбора и континуум-гипотезе? Это естественные высказывания о континууме, которые, поскольку континуум является столь хорошо определенной математической сущностью, непременно должны быть либо истинными, либо ложными. А как вообще разрешаются подобные вещи? Гёдель доказал в 1939 г., что принятие аксиомы выбора (AC) или континуум-гипотезы (CH) не может привести ни к какому противоречию. Иными словами, если бы теории ZF + AC или ZF + CH оказались противоречивы, то только потому, что противоречива сама ZF.
В связи с этим возник очевидный вопрос: можем ли мы принять ложность AC и CH и тоже не получить никакого противоречия? Гёдель работал над этой проблемой, но не сумел получить ответ. Наконец, Пол Коэн в 1963 г. дал положительный ответ, придумав при этом новую технику — «форсинг». (За это он был удостоен единственной медали им. Филдса, выданной когда-либо за работу в области теории множеств и оснований математики.)
Итак, мы теперь знаем, что обычные аксиомы математики не позволяют определить истинность или ложность аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Вы вольны верить в то, что обе они истинны, обе ложны или истинна только одна, и не бояться никаких противоречий[13]. Будьте уверены, мнения математиков об AC и CH до сего дня остаются разделенными, и высказано множество интересных аргументов как за, так и против них (которые у нас, к несчастью, нет времени разобрать подробно).
Позвольте мне закончить наблюдением, которое, возможно, удивит вас: независимость AC и CH от теории множеств ZF сама по себе является теоремой арифметики Пеано. Ибо, в конечном итоге теоремы Гёделя и Коэна о непротиворечивости сводятся к комбинаторным утверждениям о манипуляциях с высказываниями первого порядка, которые в принципе могут быть доказаны непосредственно, без каких бы то ни было размышлений о трансфинитных множествах, которые эти высказывания, по идее, описывают. (На практике перевести эти результаты в комбинаторику было бы ужасающе сложно, и Коэн говорил, что попытка поразмышлять об этих проб-лемах в конечных комбинаторных терминах никуда его не привела. Однако мы знаем, что в теории это можно сделать.) Это прекрасно иллюстрирует то, что представляется мне центральным философским вопросом всего этого дела: говорим ли мы на самом деле когда-нибудь о континууме или только о конечных последовательностях символов, которые говорят о континууме?
Дополнительный бонус
Какое отношение все это имеет к квантовой механике? Сейчас я сделаю героическую попытку обозначить для вас эту связь. До сих пор я старался убедить вас, что, если мы хотим считать мир непрерывным, это порождает глубочайшие сложности. Возьмите, к примеру, ручку: сколько различных позиций она может занимать на поверхности стола? ℵ1? Больше, чем ℵ1? Меньше, чем ℵ1? Мы не хотим, чтобы ответы на «физические» вопросы зависели от аксиом теории множеств!
Ах, вы говорите, что мой вопрос не имеет физического смысла, поскольку положение ручки невозможно измерить с бесконечной точностью? Конечно, но дело в том, что, для того чтобы сделать само это утверждение, нужна физическая теория!
Конечно, само название квантовой механики проистекает из того факта, что многие наблюдаемые величины в этой теории, как, например, энергетические уровни, дискретны — «квантованы». Это кажется парадоксальным, поскольку один из критических аргументов, выдвигаемых кибернетиками против квантовых вычислений, состоит в том, что последние, на их взгляд, являются непрерывной моделью вычислений!
Лично моя точка зрения состоит в том, что квантовую механику, как и классическую теорию вероятностей, следует рассматривать как в своем роде «промежуточную» между непрерывной и дискретной теорией. (Здесь я предполагаю, что гильбертово пространство[14] и пространство вероятностей имеет конечную размерность.) Я имею в виду, что, хотя непрерывные параметры существуют (соответственно амплитуды и вероятности), эти параметры невозможно наблюдать непосредственно, и это, в частности, «заслоняет» нас от странной вселенной аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Нам не нужна разработанная физическая теория, чтобы признать физически бессмысленными вопросы о том, являются ли амплитуды рацио-нальными или иррацио-нальными и существует ли больше или меньше ℵ1 возможных амплитуд. Это непосредственно следует из того факта, что если бы мы хотели узнать точное значение амплитуды, то (даже если забыть об ошибках!) нам потребовалось бы измерить соответствующее состояние бесконечное число раз.
Упражнение
Пусть BB (n), или «n-е число Делового Бобра», — это максимальное число шагов, которые машина Тьюринга с n-состояниями может сделать на пустой первоначально ленте, прежде чем остановится. (Здесь максимум берется по всем машинам Тьюринга с n-состояниями, которые рано или поздно остановятся.)
1. Докажите, что BB (n) растет быстрее, чем любая вычислимая функция.
2. Пусть S = 1/BB (1) + 1/BB (2) + 1/BB (3) + …
Является ли S вычислимым действительным числом? Иными словами, существует ли алгоритм, который, получив на вход положительное целое число k, выдаст на выходе рацио-нальное число S′, такое, что |S – S′| < 1/k?
Дополнительная литература
Прекрасным дополнением материала этой главы может стать книга Торкеля Францена «Теорема Гёделя. Неполный путеводитель по ее правильному и неправильному использованию» (Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse, by Torkel Franzén: A. K. Peters Ltd, 2005).
Разум и машины
Пришла пора нам заняться тем, чего все вы, я знаю, ждете: философской битвой на тортах на тему мозга, машин и разума!
Однако сначала давайте закончим разговор о вычислимости. Есть одна концепция, которая будет нужна нам в этой главе снова и снова; речь идет о концепции оракула. Идея достаточно очевидна: мы допускаем, что у нас имеется некий «черный ящик», или «оракул», который мгновенно решает некоторую сложную вычислительную проблему, а затем смотрим, что из этого выйдет! (На первом курсе я однажды завел с профессором разговор о том, что было бы, если бы у нас была некая гипотетическая «фея NP-полноты» — существо, которое мгновенно отвечало бы на вопрос, является ли данная булева формула выполнимой. Профессору пришлось меня поправить: на самом деле их называют не «феями», а «оракулами». Так намного профессио-нальнее!)
Судя по всему, первым оракулы исследовал Тьюринг в 1938 г. в своей диссертации на степень доктора философии. Очевидно, всякий, кто способен написать целую диссертацию об этих воображаемых сущностях, должен быть чрезвычайно чистым теоретиком — человеком, который ни за что на свете не хотел бы заниматься чем-то практически полезным. В случае Тьюринга это, безусловно, так и было, — в самом деле, несколько лет после защиты докторской диссертации, с 1939 по 1943 г., он потратил на изучение некоторых мудреных преобразований симметрии в 26-буквенном алфавите[15].
Будем говорить, что задача A сводима, по Тьюрингу, к задаче B, если A может быть решена машиной Тьюринга при наличии оракула для B. Иными словами, «A не сложнее B»: если у нас есть гипотетическое устройство для решения B, мы можем решить также и A. Две задачи эквивалентны по Тьюрингу, если каждая из них сводима по Тьюрингу к другой. Так, к примеру, задача о том, можно ли доказать некое утверждение на базе аксиом теории множеств, эквивалентна по Тьюрингу проблеме остановки: если вы можете решить одну из них, вы можете решить и вторую.
Далее, степень Тьюринга, или степень неразрешимости, составляют множество всех задач, эквивалентных по Тьюрингу некоей данной задаче. Можно ли привести примеры степени неразрешимости? Мы с вами уже видели два таких примера: это (1) множество вычислимых задач и (2) множество задач, эквивалентных по Тьюрингу проблеме остановки. Сказать, что эти степени неразрешимости не равны, — все равно что сказать, что проб-лема остановки неразрешима.
Существуют ли степени неразрешимости выше двух названных? Иными словами, существует ли задача сложнее проблемы остановки, такая, что мы будем не в состоянии ее решить даже с помощью оракула по проблеме остановки? Ну, можно рассмотреть следующую «суперпроблему останова»: пусть у вас есть машина Тьюринга с оракулом по проблеме остановки, определите, остановится ли она?! Можем ли мы доказать, что суперпроб-лема остановки неразрешима, даже если у нас будет оракул для обычной проблемы остановки? Да, можем! Мы просто возьмем оригинальное доказательство, при помощи которого Тьюринг доказал, что проб-лема остановки неразрешима, и «сдвинем все на уровень вверх», дав всем машинам оракул по проблеме остановки. Все в доказательстве будет работать в точности как прежде, а мы, чтобы отразить этот факт, скажем, что доказательство «релятивизируется».
А вот более тонкий вопрос: существует ли задача промежуточной сложности между множеством вычислимых задач и задачей остановки? Этот вопрос первым задал Эмиль Пост в 1944 г., а ответили на него в 1954 г. Пост и Стивен Клини (хотя в первоначальной формулировке задачи у Поста было добавлено дополнительное условие, названное «рекурсивной перечислимостью», и только два года спустя Ричард Фридберг и Альберт Мучник показали, как можно его выполнить). Ответ был «да». На самом деле у нас есть и более сильный результат: существуют две задачи A и B, каждая из которых разрешима при наличии оракула для проблемы остановки, но ни одна из них не разрешима при наличии оракула для другой. Эти задачи строятся посредством бесконечного процесса, цель которого — устранить любую машину Тьюринга, способную свести A к B или B к A. К несчастью, получающиеся в результате задачи выглядят в высшей степени неестественно; не похоже, что что-то подобное может возникнуть на практике. И даже сегодня у нас нет ни единого примера «естественной» задачи с промежуточной степенью неразрешимости.
После прорыва в решении задачи Поста структура степеней неразрешимости по Тьюрингу исследовалась в таких подробностях, что трудно себе представить. Вот, к примеру, один из простейших вопросов: если две задачи A и B сводимы к задаче остановки, то должна ли существовать задача C, сводимая к A и B, такая, что любая задача, сводимая как к A, так и к B, сводима также и к C? Ну, чем бы дитя ни тешилось! Но мы, пожалуй, дошли до точки, в которой некоторые скажут: не пора ли нам перейти к следующей теме… (Кстати говоря, ответ на приведенный вопрос: «нет».)
Ну хорошо, главная философская идея, стоящая за понятием вычислимости, — так называемый тезис Чёрча — Тьюринга. Назван он в честь Тьюринга и его научного руководителя Алонзо Чёрча, хотя вопрос о том, что они сами думали об этом «их» тезисе, остается открытым! Сам тезис, по сути, заключается в том, что любая функция, которую «естественно рассматривать как вычислимую», вычислима на машине Тьюринга. Или, иными словами, любая «разумная» модель вычисления даст вам либо то же множество вычислимых функций, что и модель машины Тьюринга, либо его собственное подмножество.
Возникает очевидный вопрос: к какому классу отнести это утверждение? Быть может, это эмпирическое утверждение о том, какие функции могут быть вычислены в физической реальности? Или это определение, объясняющее смысл слова «вычислимый»? Или то и другое понемногу?
Как бы то ни было, тезис Чёрча — Тьюринга можно считать чрезвычайно успешным представителем тезисов. Как вам известно, — и мы поговорим об этом позже, — квантовые вычисления представляют серьезный вызов для так называемого «расширенного тезиса Чёрча — Тьюринга»: что любая функция, которую естественно рассматривать как эффективновычислимую, является эффективно вычислимой на машине Тьюринга. Но, на мой взгляд, оригинальный тезис Чёрча — Тьюринга до сих пор не встретил ни одного серьезного вызова — ни как утверждение о физической реальности, ни как определение «вычислимости».
С другой стороны, несерьезных вызовов тезису Чёрча — Тьюринга было немало. Более того, есть целые конференции и журналы, посвященные этим вызовам, — погуглите по термину «сверхтьюринговые вычисления» или «гипервычисления». Я читал кое-что на эту тему, в основном там идут примерно такие рассуждения: предположим, вы можете выполнить первый шаг некоторого вычисления за одну секунду, следующий шаг за полсекунды, следующий за четверть секунды, следующий за восьмую долю и т.п. Тогда за две секунды вы выполните бесконечное количество вычислений! Ну, в таком виде все это звучит немного глупо, так что можно немного подсыпать перчику, добавив «до кучи» какую-нибудь черную дыру или еще что-нибудь. Разве смогут узколобые реакционеры — сторонники Тьюринга что-нибудь возразить? (Это напоминает мне шутку про суперкомпьютер, который был настолько быстр, что мог выполнить бесконечный цикл за 2,5 секунды.)
Конечно, мы должны серьезно усомниться в том, что если бы Природа собиралась подарить нам такие громадные вычислительные возможности, то она сделала бы это так обыденно, так неинтересно. Не заставила бы нас потрудиться или еще что. Но, должен признать: чтобы по-настоящему понять, почему предложения по сверхтьюринговым вычислениям не проходят, вам потребуются пределы энтропии по Бекенштейну, Буссо и другим — они суть часть того немногого, что физики, по их мнению, знают о квантовой гравитации и о чем мы поговорим немного позже. Так что тезис Чёрча — Тьюринга — даже его оригинальный, нерасширенный вариант — действительно связан с некоторыми глубочайшими вопросами физики. Но мне представляется, что ни квантовые вычисления, ни аналоговые, ни что-либо другое не смогли бросить этому тезису серьезный вызов за все 75 лет с момента его появления.
Вот еще одно возражение к приведенной выше идее вычислений в геометрической прогрессии. Мы более или менее понимаем, почему эта модель не физична: мы уверены, что само понятие времени начинает рушиться, когда мы доходим интервалов около 10–43 секунды (планковское время). Мы не знаем в точности, что там происходит. Тем не менее ситуация представляется ни в малейшей степени не похожей на квантовые вычисления (к примеру). В квантовых вычислениях, как мы увидим, никто не имеет никаких количественных представлений о том, где теория может нарушиться, а компьютер — перестать работать, что естественно порождает гипотезу о том, что он, быть может, и не перестанет работать.
Можно, конечно, сказать, что по достижении планковского времени начинаются по-настоящему хитрые вещи. Почему бы просто не сказать, что на практике нас всегда ограничивает шум и несовершенство мира?
Вопрос в следующем: почему мы ограничены? Почему мы не можем хранить в регистре действительное (вещественное) число? Мне кажется, что если попытаться сделать рассуждение точным, то в конце концов мы все равно будем говорить о планковском масштабе.
Если мы интерпретируем тезис Чёрча — Тьюринга как утверждение о физической реальности, оно должно охватывать все в этой реальности, включая самодовольную нейронную сеть, имеющуюся у нас между ушами. Это, разумеется, приводит нас прямо на изрытое воронками поле интеллектуального сражения, куда я и обещал вас привести.
В качестве исторического замечания интересно отметить, что возможность существования мыслящих машин не относится к тем идеям, которые пришли к человеку постепенно, после нескольких десятков лет пользования компьютерами. Нет, они возникли мгновенно, в ту самую минуту, когда разговор впервые зашел о компьютерах как таковых. Такие люди, как Лейбниц, Беббидж, Лавлейс, Тьюринг и фон Нейман, с самого начала понимали, что компьютер станет не просто очередной новинкой вроде парового двигателя или тостера, — что компьютер обладает свойством универсальности (не важно, называли они его так или нет), и потому сложно даже говорить о компьютерах, не говоря одновременно о самих себе.
А теперь я прошу вас отложить на несколько минут эту книгу и прочитать вторую по известности работу Тьюринга «Вычислительные машины и разум»[16].
Какова основная идея этой статьи? Я считаю, что это призыв против животного, или мясного, шовинизма. Конечно, Тьюринг приводит кое-какие научные доводы, кое-какие математические аргументы, кое-какие эпистемологические соображения. Но под всем этим лежит единственный моральный аргумент. А именно: если бы компьютер взаимодействовал с нами так, что был бы неотличим от человека, то, конечно, мы все равно могли бы сказать, что «на самом деле» компьютер не думает, что это всего лишь моделирование. Но на тех же основаниях мы могли бы заявить, что на самом деле другие люди не думают, что они просто действуют так, как будто думают. Так что же заставляет нас заниматься подобной интеллектуальной акробатикой в одном случае и отвергать все с порога в другом?
Если вы позволите мне откомментировать сказанное с моей собственной пристрастной позиции (как будто я когда-нибудь упускаю возможность это сделать…), то именно в этом моральном вопросе, в вопросе двойных стандартов Сёрлу, Пенроузу и всем остальным «скептикам сильного ИИ» нечего мне предложить. В самом деле, можно приводить весомые и убедительные аргументы против возможности существования мыслящих машин. Единственная проб-лема этих аргументов состоит в том, что они одновременно являются аргументами против возможности существования мыслящего мозга!
К примеру: один из популярных аргументов состоит в том, что если компьютер представляется разумным, то это лишь отражение человеческого разума, который его запрограммировал. Но что если человеческий разум — это лишь отражение эволюционного процесса длиной в миллиарды лет, который и дал ему начало? Что неизменно разочаровывает меня всякий раз, когда я читаю скептиков ИИ, так это их неспособность рассматривать эти параллели честно. «Квалиа», то есть первичные ощущения, и «близость» других людей принимаются как нечто само собой разумеющееся. Сомнению подвергается только квалиа машин.
Возможно, на это скептик мог бы ответить: я уверен, что другие люди думают, потому что я точно знаю, что сам я думаю, а другие люди выглядят, в общем-то, примерно так же, как я: у них тоже по пять пальцев на руках, волосы подмышками и т.п. Но робот-то выглядит иначе: он сделан из металла, у него есть антенна, он с трудом перемещается по комнате и т.п. Поэтому даже если робот действует так, как будто умеет думать, кто знает, думает ли он на самом деле? Но если я принимаю этот аргумент, то почему не пойти дальше? Почему я не могу сказать: я признаю, что белые люди думают, но что касается чернокожих и азиатов… кто знает? Выглядят они слишком непохоже на меня.
На мой взгляд, все сказанное об искусственном интеллекте можно разделить на две категории: те 70%, которые содержатся где-то в работе Тьюринга 1950 г., и еще 30%, что появились в результате полувека более поздних исследований.
Так что сегодня, спустя шестьдесят с лишним лет, мы можем сказать кое-что, что удивило бы Алана Тьюринга. Что именно? Ну, во-первых, насколько мал оказался прогресс в этом направлении по сравнению с ожиданиями! Вы ведь помните, что Тьюринг сделал проверяемое предсказание?
Я уверен, что лет через пятьдесят станет возможным программировать работу машин с емкостью памяти около 109 так, чтобы они могли играть в имитацию настолько успешно, что шансы среднего собеседника установить присутствие машины через пять минут после того, как он начнет задавать вопросы, не поднимались бы выше 70%.
Какова судьба этого предсказания? Во-первых, отметим, что предсказание о собственно компьютерах оказалось чертовски точным. Тьюринг предсказал, что через 50 лет (т.е. в 2000 г.) мы будем программировать компьютеры с емкостью памяти примерно в 109 (т.е. 1 гигабайт).
Но что с программированием компьютеров, способных пройти тест на имитацию человека? Какова судьба этого предсказания Тьюринга?
Ну, некоторые из вас, возможно, слышали о программе под названием ELIZA, которую написал в 1966 г. Джозеф Вейценбаум. Эта программа моделирует психотерапевта, который все, что бы вы ему ни сказали, возвращает вам же в виде вопросов. Вейценбаум выяснил поразительную вещь: многие люди готовы открыть этой программе душу! И иногда, если рассказать, что беседовали они с программой (причем чрезвычайно простой), они не хотят этому верить.
Много лет назад кому-то пришла в голову блестящая идея взять оригинальную программу ELIZA, запустить ее в чат провайдера America Online и посмотреть, что из этого получится. Если зайти на сайт http://fury.com/aoliza, можно увидеть там ужасно смешные (к счастью, анонимные) диалоги, в которых люди пытаются соблазнить программу, рассказывая ей о своих изменах и т.п. Вот одна из моих любимых бесед, в которой человек, прежде чем приступить к амурным домогательствам, сказал программе, что планирует в ближайшее время получить степень бакалавра бизнес-администрирования, а затем «вступить в корпоративное сотрудничество с компанией Starbucks».
Парень: Мне кажется, тебе нравится играть с моим сознанием
ELIZA: Твоим сознанием?
Парень: Дразнить меня, отказываясь участвовать в моих фантазиях
ELIZA: Твоих фантазиях?
Парень: О крышесносном сексе с тобой
ELIZA: А это как-то связано с тем фактом, что ты собираешься получить степень бакалавра, а потом вступить в корпоративное сотрудничество с компанией Starbucks?
В настоящее время искусство беседы между машиной и человеком продвинулось вперед по сравнению с тем, что показано в этом примере, но не слишком сильно. Создается впечатление, что на самом деле нам нужно пересмотреть тест Тьюринга: необходимо оговорить, что если мы хотим проверить интеллект компьютера, то и человек, который ведет беседу с машиной, должен обладать каким-то минимальным уровнем интеллекта.
Разумеется, часть проблемы здесь в том, что все эти люди были уверены, что разговаривают с человеком, а при прохождении теста Тьюринга человек будет пытаться отличить человека от компьютера. Так что нельзя, конечно, считать подобные беседы в чатах настоящим тестом Тьюринга; это просто забавно. Однако на протяжении уже пятнадцати лет человек по имени Хью Лёбнер проводит конкурс[17], условия которого намного ближе к тому, что имел в виду Тьюринг. Здесь людям, участвующим в испытаниях, говорят, что их задача — отличить человека от компьютера, но многие беседы в записи выглядят не менее уныло, чем прежде, причем с точки зрения как машинного интеллекта, так и человеческого. (К примеру, женщину, которая пыталась завести интеллектуальную беседу о Шекспире, сочли компьютером, потому что «не может быть, чтобы человек знал столько всего о Шекспире…»)
Вы можете спросить: что если мы поручим вести разговор не человеку, а компьютеру? Оказывается, это вовсе не гипотетическая ситуация. В 2006 г. человек по имени Луис фон Ан получил премию Мак-Артура за (помимо всего прочего) работу над «капчами» — теми самыми тестами, которые используются на сайтах для отличения настоящих живых пользователей от спамботов. Я уверен, что вы с ними встречались, — знаете, такие прямоугольнички со странными изогнутыми буквами и цифрами, которые вы должны перепечатать. Ключевое свойство этих тестов — то, что компьютер должен уметь их генерировать и оценивать, но не пройти сам! (Похоже на то, как профессора готовят материалы для контрольных…) Только человек, причем любой человек, должен уметь проходить такие тесты. По сути, эти тесты используют слабостиИИ. (Впрочем, еще они пользуются вычислительной сложностью создания необратимых функций, до обсуждения которой мы дойдем позже.)
У капчей есть один интересный аспект: их создание уже привело к «гонке вооружений» между их программистами и программистами ИИ. Когда я учился в Беркли, несколько моих однокурсников написали программу[18], способную пройти капчу под названием Gimpy в примерно 30% случаев. Так что в каждом подобном случае капчи приходится усложнять, после чего творцы ИИ вновь берутся за дело, и т.п. Кто победит?
Вот видите: всякий раз, когда вы заводите себе новый аккаунт на почтовом сервере, вы непосредственно сталкиваетесь с вековой загадкой о том, что значит быть человеком…
Несмотря на все, что я сказал по поводу теста Тьюринга, кое--какие решительные успехи в области ИИ, безусловно, имели место. Все мы знаем о Каспарове и компьютере Deep Blue, слышали о компьютере Watson фирмы IBM (это тот компьютер, который выиграл в «Свою игру» у человеческого чемпиона Кена Дженнингса). Может быть, менее известно, что в 1996 г. при помощи программы под названием Otter была решена алгебраическая задача, продержавшаяся 60 лет и известная как гипотеза Роббинса[19]; в свое время над ней работали Тарский и другие знаменитые математики. (Судя по всему, несколько десятилетий Тарский давал эту задачу своим лучшим студентам. Со временем, однако, он начал давать ее своим худшим студентам…) Формулировка задачи проста: можно ли, имея следующее три аксиомы:
A или (B или C) = (A или B) или C
A или B = B или A
не (не (A или B) или не (A или не (B))) = A,
вывести в качестве следствия, что не (не (A)) = A?
Позвольте мне подчеркнуть, что это доказательство непохоже, к примеру, на доказательство Аппеля и Хакена гипотезы о четырех красках, где роль компьютера заключалась в основном в проверке тысяч вариантов. В данном случае все доказательство заняло 17 строк. Человек вполне способен проверить его вручную, ну и, скажем, я сам мог бы предложить такое решение (в принципе!).
Что еще? Есть мнение, что уже сегодня существует достаточно сложная сис-тема ИИ, которой почти все вы пользовались сегодня утром и будете еще пользоваться в течение дня. Что за сис-тема? Правильно, Google.
Вы можете взглянуть на любой из этих примеров — Deep Blue, гипотеза Роббинса, Google, наконец, Watson — и сказать, что это не настоящий ИИ. Это всего лишь сис-тема массивного поиска, поддержанная хитроумными программами. Замечу, что от подобных разговоров исследователи ИИ начинают лезть на стену. Они говорят: если бы в 1960-е гг. вы сказали кому-нибудь, что через 30 лет мы сможем обыграть в шахматы гроссмейстера мирового уровня, и спросили бы, можно ли будет считать такую сис-тему искусственным интеллектом, вам бы ответили: разумеется, это будет ИИ! Но теперь, когда мы знаем, как это сделать, никто уже не считает это настоящим ИИ — это просто поиск. (Философы тоже жалуются на подобное: как только некое направление философии дает какой-то конкретный результат, оно тут же перестает называться философией, а начинает именоваться математикой или физикой!)
И еще один момент, который мы сегодня осознаем, но который во времена Тьюринга еще не осознавали до конца. Дело в том, что мы, пытаясь моделировать человеческий интеллект, соревнуемся с миллиардом лет эволюции. А это чертовски сложно. Одно из неочевидных следствий этого обстоятельства заключается в том, что намного проще запрограммировать компьютер на победу над Гарри Каспаровым в шахматной игре, чем научить компьютер распознавать человеческие лица при разных условиях освещения. Часто наиболее сложными для ИИ задачами оказываются те, что с легкостью выполняет любой пятилетний ребенок: структуры для их выполнения так прочно встроены в мозг эволюцией, что мы даже не задумываемся о них.
Были ли за последние 60 лет новые озарения и прорывы в отношении теста Тьюринга? На мой взгляд, очень немного. С одной стороны, была знаменитая «попытка озарения», известная как Китайская комната Сёрла. Эта штука была предложена около 1980 г. как аргумент в пользу того, что даже компьютер, который пройдет тест Тьюринга, не будет по-настоящему разумным. Суть дела здесь примерно в следующем. Допустим, вы не говорите по-китайски. Вы сидите в закрытой комнате, и кто-то передает вам через окошечко в стене листочки бумаги с вопросами, написанными по-китайски. При этом вы, справляясь с некой книгой инструкций, можете отвечать на эти вопросы (тоже по-китайски). В результате вы можете вести осмысленную беседу на китайском языке, не понимая при этом (по условию) ни слова по-китайски! Получается, что манипуляции с символами не обеспечивают понимания.
Как мог бы сторонник сильного ИИ ответить на подобные аргументы? Ну, он мог бы сказать: вы, может, и не понимаете китайского, но это делает за вас инструкция! Или, если хотите, понимание китайского — это эмерджентное свойство сис-темы, состоящей из вас самих и справочника, в том же смысле, в каком понимание родного языка есть эмерджентное свойство нейронов человеческого мозга.
Сёрл отозвался на эти возражения так: прекрасно, а теперь просто заучите книгу инструкций наизусть! После этого не будет уже никакой «сис-темы», помимо вашего мозга, но вы по-прежнему не будете «понимать» китайский. На что сторонник ИИ отвечает: в этом случае тоже присутствует «сис-тема»! Предположим, вы заучили инструкцию, тогда нам следует различать «первоначального» вас и новое, смоделированное существо, родившееся в результате вашего следования заученным правилам, — существо, которое, может быть, объединяет с вами тот единственный факт, что вы с ним обитаете в одном черепе. Такой ответ может показаться безумным, но только человеку, который никогда не изучал информатику. Любой компьютерщик совершенно спокойно скажет, что один вычислительный процесс (скажем, интерпретатор языка LISP) может породить другой, никак с ним не связанный вычислительный процесс (скажем, игру по управлению космическим аппаратом) посредством просто строгого следования некоторым правилам.
Лично я не знаю — об этом мы поговорим чуть позже, — является ли вывод мысленного эксперимента с китайской комнатой верным или неверным. Я не знаю, какие условия необходимы или достаточны для того, чтобы какая-то физическая сис-тема «понимала» китайский язык; я уверен, что этого не понимает ни сам Сёрл, ни кто бы то ни было еще. Но если рассматривать историю с китайской комнатой как рассуждение, то в нем есть некоторые аспекты, которые меня всегда раздражали. Один из них — неосознанная апелляция к интуитивным понятиям («это всего лишь инструкция, чтобы просто зачитывать ответы») в вопросе как раз того сорта, где, как мы должны понимать, на интуицию можно полагаться меньше всего. Второе — это двойные стандарты: идея о том, что кучка нервных клеток может понимать китайский, принимается не просто как очевидная, но как совершенно беспроблемная и не вызывающая даже намека на вопросо том, почему напечатанная инструкция не может тоже понимать китайский. Третье, что раздражает меня в истории с китайской комнатой, — то, как старается автор дистанцироваться от возможной ошибки при выборе картины, или, если сформулировать иначе, раздражает попытка обойти весь вопрос вычислительной сложности чисто за счет внешних атрибутов. Нам предлагается представить себе, как кто-то перебирает клочки бумаги без какого бы то ни было понимания или представления об их содержании — примерно как глупый первокурсник, который пишет в контрольной (a + b) 2 = a2 + b2. Но о каком количестве клочков бумаги мы говорим?Насколько толстой должна быть книга инструкций и с какой скоростью вы должны отыскивать в ней соответствующее место, чтобы вести осмысленную беседу по-китайски хотя бы приблизительно в реальном времени? Если бы каждая страница книги соответствовала одному нейрону мозга человека, для которого китайский — родной язык, то мы, вероятно, говорили бы о книге инструкций размером по крайней мере с Землю, нужное место на страницах которой искали бы полчища роботов, передвигающихся с околосветовой скоростью. Если рассматривать ситуацию именно так, то не так уж сложно, наверное, представить, что порожденная нами громадная китайскоязычная сущность может обладать чем-то, что мы готовы назвать пониманием или проникновением в суть[20].
Разумеется, все, кто говорит о подобных вещах, буквально на цыпочках обходят вопрос сознания. Понимаете, сознание обладает странным дуализмом: с одной стороны, есть мнение, что это самая загадочная из всех известных нам сущностей, а с другой — мы не только воспринимаем ее непосредственно, но в определенном смысле это единственная вещь, которую мы воспринимаем непосредственно. Ну, вы знаете: cogito ergo sum[21] и все такое прочее. К примеру, я в принципе могу ошибаться, считая, что на мне голубая рубашка, — может, у меня галлюцинации или еще что, — но я никак не могу ошибаться в том, что я воспринимаю ее голубой. (Ну а если могу, то это называется бесконечным регрессом.)
Хорошо, а есть ли у нас еще что-нибудь, что также дает ощущение абсолютной уверенности? Правильно, математика! Кстати говоря, я считаю, что именно сходством между математикой и субъективным восприятием в значительной степени объясняются «квазимистические» наклонности многих математиков. (Я уже слышу, как некоторые математики морщатся. Простите!) Физикам полезно понимать: когда говоришь с математиком, дело не обязательно в том, что он боится реального мира и потому уходит в этакую интеллектуальную мастурбацию. Может быть, для этого человека реальный мир просто никогда не был особенно реален!
Вот что я имею в виду. Возьмите компьютерное доказательство гипотезы о четырех красках, которую я уже мельком упоминал. Это доказательство разрешило великую математическую задачу, державшуюся целый век, но сделало это посредством сведения ее к скучному перечислению тысяч конкретных случаев. Почему некоторые математики недовольны этим доказательством или, по крайней мере, надеются на появление другого, лучшего? Потому что компьютер «мог сделать ошибку»? Ну, это довольно слабый аргумент, поскольку доказательство было проверено несколькими независимыми группами программистов с использованием разного оборудования и программного обеспечения; к тому же человек и сам делает множество ошибок!
Мне кажется, суть разногласий здесь сводится к тому, что есть определенный смысл, в котором гипотеза о четырех красках доказана, и есть смысл, в котором многие математики понимают доказательство, — и смыслы эти не совпадают. Для многих математиков утверждение нельзя считать доказанным в тот момент, когда некий физический процесс (это может быть классический расчет, квантовый расчет, интерактивный протокол или еще что-то) завершается и говорит, что оно доказано, какими бы серьезными ни были причины считать этот физический процесс достоверным. Скорее так: утверждение считается доказанным, когда они (математики) чувствуют, что их разум может непосредственно воспринять его истинность.
Конечно, трудно обсуждать подобные вещи прямо. Я пытаюсь указать лишь, что «враждебность к роботам» у многих людей представляет собой, вероятно, комбинацию из двух ингредиентов:
1. Непосредственно воспринимаемая уверенность в том, что сами они обладают сознанием — что они воспринимают цвета, звуки, положительные целые числа и т.п., независимо от того, делают ли это все остальные, и
2. Уверенность в том, что если бы они были всего лишь вычислительным процессом, то они не могли бы обладать сознанием в этом смысле.
К примеру, я считаю, что возражения Пенроуза против сильного ИИ базируются именно на этих двух факторах. Я считаю, что его критика теоремы Гёделя — всего лишь занавесочка на окне, добавленная позже.
Для тех, кто думает так (и я сам — в соответствующем настроении), признание за роботом права на сознание представляется в каком-то странном смысле эквивалентным отрицанию собственного сознания. Существует ли достойный выход из этой дилеммы, или, иными словами, хоть какой-нибудь выход, не основанный на совершенно шовинистических двойных стандартах, когда к самим себе применяются одни правила, а к роботам — другие?
Мне больше всего нравится выход, который продвигает философ Дэвид Чалмерс[22]. Суть того, что предлагает Чалмерс, состоит в «философской редукции NP-полноты», то есть в сведении одной загадки к другой. Он говорит, что если компьютеры когда-нибудь научатся имитироватьлюдей во всех наблюдаемых отношениях, то мы будем вынуждены рассматривать их как обладающие сознанием, в точности по тем же причинам, по которым мы рассматриваем окружающих нас людей как обладающих сознанием. Что же касается того, как они могут обладать сознанием, — ну, мы при этом будем понимать это точно так же хорошо или точно так же плохо, как мы понимаем, как кучка нейронов может обладать сознанием. Да, это загадка, но в данном случае одна загадка, кажется, не так уж сильно отличается от другой.
Загадки
[Почти хорошо определенная загадка.] Можем ли мы считать без потери общности, что компьютерная программа имеет доступ к собственному исходному коду?
[Расплывчатая, плохо определенная загадка.] Если бы то, что до XIX века называлось водой, оказалось CH4, а не H2O, что это было бы — по-прежнему вода или что-то другое?
Ответы на упражнения из предыдущей главы
Вспомним, что BB(n), или «n-е число Делового Бобра», — это наибольшее число шагов, которые машина Тьюринга с n--состояниями может сделать на чистой первоначально ленте, прежде чем остановится.
Первой задачей было доказать, что BB(n) растет быстрее, чем какая бы то ни было вычислимая функция.
Предположим, что существует вычислимая функция f(n), такая, что f(n) > BB(n) для любого n. Тогда, имея машину Тьюринга M с n-состояниями, мы можем сначала вычислить f(n), а затем смоделировать работу M вплоть до f(n)-го шага. Если M не остановилась до этого момента, то мы можем быть уверены, что она не остановится никогда, потому что f(n) больше максимального числа шагов, которые может сделать произвольная машина с n-состояниями. Но это дает нам способ решить проблему остановки, что, как мы уже знаем, невозможно. Следовательно, функция f не существует.
Таким образом, функция BB(n) растет очень, очень, очень быстро. (На случай, если вам любопытно, приведу несколько ее первых значений, вычисленных неленивыми людьми, у которых слишком много свободного времени: BB(1) = 1, BB(2) = 6, BB(3) = 21, BB(4) = 107, BB(5) ≥ 47 176 870. Разумеется, эти значения зависят от конкретных деталей того, как определены машины Тьюринга.)
Второй задачей было определить, является ли
вычислимым действительным числом. Иными словами, существует ли алгоритм, который на основе положительного целого k выдает рацио-нальное число S', такое, что |S – S'| < 1/k?
Что, эта задача оказалась посложнее для вас? Хорошо, давайте заглянем в ответ. Ответ отрицательный: это число не является вычислимым. Потому что, если предположить его вычислимость, мы получим алгоритм для вычисления самого BB(n), что, как мы знаем, невозможно.
Примем по индукции, что мы уже вычислили BB(1), BB(2),…, BB(n – 1). Тогда рассмотрим сумму «членов высшего порядка»:
Если S вычислимо, то Sn тоже должно быть вычислимым. Но это означает, что мы можем аппроксимировать Sn с точностью до 1/2, 1/4, 1/8 и так далее, до тех пор, пока интервал, в котором мы ограничили Sn, перестанет включать в себя 0. Когда это произойдет, мы получим верхнюю оценку для 1/Sn. Поскольку 1/BB(n + 1), 1/BB(n + 2) и т.п. намного меньше, чем 1/BB(n), любая верхняя оценка для 1/Sn немедленно выдает верхнюю оценку также и для BB(n). Но, получив верхнюю оценку для BB(n), мы можем вычислить и сам BB(n) путем простого моделирования всех машин Тьюринга с n-состояниями. Так что, считая, что мы умеем вычислять S, мы получаем возможность вычислить ВВ(n) (а мы уже знаем, что это невозможно). Следовательно, S не является вычислимым.
Палеосложность
По любым объективным критериям теория вычислительной сложности по праву занимает место в ряду величайших интеллектуальных достижений человечества — наряду с приручением огня, изобретением колеса и теорией вычислимости. Тот факт, что ее не преподают в средней школе, — всего лишь историческая случайность. Во всяком случае, нам теория сложности определенно понадобится для всего остального, что мы собираемся делать далее в этой книге, так что следующие пять или шесть глав будут посвящены ей. Прежде чем погрузиться с головой в новую тему, отступим немного назад и порассуждаем о том, куда мы направляемся.
Что я пытаюсь сделать? Я пытаюсь показать вам концептуальную основу Вселенной, преждечем вывести на сцену квантовую механику. В квантовой механике поразительно то, что она, будучи небрежным эмпирическим открытием, тем не менее меняет некоторые основополагающие вещи! Некоторые не меняет, а некоторые, в общем-то, непонятно, меняет или нет. Но если мы хотим обсудить, как квантовая механика изменила мир, то нам лучше заранее разобраться в том, как он выглядел до появления квантовой механики.
Полезно разбить теорию вычислительной сложности на исторические эпохи:
1950-е гг.: поздний тьюрингозой
1960-е гг.: заря асимптотического века
1971 г.: астероид Кука — Левина; вымирание диагоналозавров
начало 1970-х гг.: Карпийский взрыв
1978 г.: ранний криптозой
1980-е гг.: рандомизейская эра
1993 г.: извержение вулкана Разборудич; вымирание комбинатавров
1994 г.: нашествие квантодактилей
с середины 1990-х гг. до наших дней: дерандомизейская эра.
Эта глава будет посвящена «палеосложности», то есть теории сложности до появления классов P и NP и NP-полноты, когда на земле царили диагоналозавры. Затем в главе 6 речь пойдет о Карпийском взрыве, в главе 7 — о рандомизейской эре, в главе 8 — о раннем криптозое, а в главе 9 — о нашествии квантодактилей.
Ранее мы говорили о теории вычислимости. Мы видели, что некоторые задачи вычислимыми не являются, к примеру если дано некоторое утверждение о положительных целых числах и требуется сказать, истинно оно или ложно. (Если бы мы могли ответить на этот вопрос, то мы могли бы решить и проблему остановки, что, как мы уже знаем, невозможно.)
А теперь предположим, что у нас есть некоторое утверждение о действительных числах, к примеру такое:
для любых действительных x и y верно (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2,
и мы хотим знать, истинно оно или ложно. В данном случае оказывается, что процедура выяснения ответа на этот вопрос существует, — это доказал Тарский в 1930-е гг., — по крайней мере, когда в утверждении присутствуют только сложение, умножение, сравнение, константы 0 и 1, кванторы общности и существования (но нет экспонент и тригонометрических функций).
Интуитивно понятно, что если все наши переменные принадлежат множеству действительных, а не целых чисел, то все поневоле получится гладким и непрерывным, и невозможно построить такие гёделевские высказывания, как «данное высказывание не может быть доказано».
(Если добавить сюда же экспоненциальную функцию, то, как недавно доказано, у нас по-прежнему не будет способа закодировать гёделевы высказывания с точностью до одной нерешенной задачи в области анализа[23]. Но если мы добавим экспоненциальную функцию и к тому же перейдем от действительных чисел к комплексным, то мы снова сможем кодировать гёделевы высказывания — и теория вновь станет неразрешимой! Понимаете, почему? Ну, если у нас будут комплексные числа, мы сможем принудительно сделать n целым, сказав: мы хотим, чтобы e2πin равнялось 1. И тогда мы вернемся к тому, с чего начинали с целыми числами.)
Но тогда положение воспринималось так: о'кей, мы нашли алгоритм, позволяющий определить истинность или ложность любого высказывания о действительных числах! Можно расходиться по домам! Задача решена!
Беда в том, что если разобраться, сколько шагов требуется этому алгоритму для выяснения истинности высказывания из n символов, то окажется, что это число растет, как громадная лесенка из экспонент: Я читал в биографии[24] Тарского, что когда в 1950-е гг. на сцену вышли реальные компьютеры, первым делом кому-то пришло в голову применить алгоритм Тарского для оценки высказываний о действительных числах. И оказалось, что это безнадежно, мало того, это было бы безнадежно даже для сегодняшних компьютеров! А для компьютеров 1950-х гг. это было безнадежно безнадежно... безнадежно.
Итак, в настоящее время мы говорим о вычислительной сложности. (Или, по крайней мере, это делает большинство из нас.) Идея следующая: вы задаете верхнюю границу некоторого ресурса, который может использовать ваш компьютер. Самые очевидные ресурсы — это (1) время и (2) объем памяти, но можно определить и множество других ресурсов. (На моем сайте Зоопарка cложности[25] вы найдете около 500 вариантов.)
Одно из самых первых открытий состоит в том, что если спросить, сколько можно вычислить за 10 миллионов шагов, или с использованием 20 миллиардов бит памяти, то ничего не выяснишь. Ваша теория вычисления окажется игрушкой произвольного выбора параметров в базовой модели. Иными словами, вы будете заниматься вовсе не теоретической информатикой — вы будете заниматься архитектурой, а это, конечно, бесконечно интересная сама по себе тема, которая никогда не даст вам скучать, но это не наша тема.
Так что вместо этого вам придется задавать более неопределенный вопрос: сколько всего можно вычислить за время, которое растет линейно (или квадратично, или логарифмически) с ростом размеров задачи? Такая постановка вопроса позволит вам игнорировать постоянные коэффициенты.
Итак, определим TIME(f(n)) как класс задач, для которых каждый пример размером n решаем за время, которое растет по линейному закону f(n). Здесь под «решаемым» мы понимаем то, что может решить некоторый конкретный тип идеализированного компьютера (скажем, машины Тьюринга), который мы фиксируем в качестве «опорного». Ключевой эмпирический факт, на который опирается вся теория, состоит в том, что не слишком важно, какой именно тип идеализированного компьютера мы выберем, до тех пор пока мы остаемся в некоторых широких рамках (к примеру, мы рассматриваем только последовательные, детерминистские, классические компьютеры, а не квантовые компьютеры или еще что-то подобное).
Аналогично SPACE(f(n)) — это класс задач, решаемых нашей опорной машиной с использованием объема памяти (пространства), растущего по линейному закону f(n).
Что можно сказать о взаимоотношениях между этими классами? Понятно, что для любой функции f(n) TIME(f(n)) содержится в SPACE(f(n)). Почему? Потому что за один шаг по времени машина Тьюринга может получить доступ максимум к одной ячейке памяти.
Что еще? Вы, надо понимать, согласны, что TIME(n2) входит в TIME(n3). Вот вам вопрос: оно заключено строго внутри? Иными словами, можно ли решить за время n3 больше задач, чем за время n2?
Оказывается, можно. Это следствие фундаментального открытия, получившего название теоремы об иерархии (по времени); эту теорему доказали Хартманис и Штернс в середине 1960-х гг., за что были удостоены премии Тьюринга. (Не хочу принизить их вклад в науку, но тогда премия Тьюринга котировалась не особенно высоко! Конечно, чтобы ее добиться, нужно было знать о существовании премии, а знали о ней немногие.)
Посмотрим, как это доказывается. Нужно найти задачу, решаемую за время n3, но не за n2. Что это может быть за задача? Это простейшая вещь, какую только можно себе представить: ограниченный во времени аналог проблемы остановки Тьюринга.
Пусть M — машина Тьюринга; остановится ли M не более чем за n2,5 шагов? (Здесь n2,5 — всего лишь некоторая функция, лежащая между n2 и n3.)
Ясно, что мы можем решить приведенную задачу за n3 шагов, промоделировав M на n2,5шагов и посмотрев, остановится она или нет. (Более того, мы можем решить эту задачу за что-то вроде n2,5 log n шагов. Конечно, при моделировании нам всегда нужен какой-то запас, но его можно сделать чрезвычайно маленьким.)
А теперь предположим, что существует программа P, способная решить эту задачу за n2 шагов, и придем к противоречию. Ясно, что, используя P как подпрограмму, мы могли бы получить новую программу P′, которая ведет себя следующим образом. Получив программу M на вход, P′
1. Работает до бесконечности, если M останавливается не более чем через n2,5, получив на вход собственный текст, или
2. Останавливается через n2,5 шагов, если M делает больше, чем n2,5 шагов, получив на вход свой собственный текст.
Кроме того, P′ делает все это не более чем за n2,5 шагов (точнее, за n2 шагов плюс некоторая добавка).
Что мы делаем дальше? Ну конечно, подаем P′ на вход ее собственный текст! И обнаруживаем, что P′ должна делать противоположное тому, что делает сейчас: работать вечно, если останавливается, или останавливаться, если работает вечно. Это дает нам противоречие, из которого следует, что P вообще не может существовать.
Очевидно, выбор между n3 и n2 не имеет особого значения. Можно поставить вместо этого выбор между n17 и n16, между 3n и 2n и т.п. Но тут возникает интересный вопрос: можно ли подставить сюда любые функции f и g, такие, что f растет значительно быстрее g? Удивительно, но ответ — нет! Функция g должна обладать свойством, известным как конструируемость во времени, которое означает (в основном), что существует некоторая программа, которая останавливается за g (n) шагов, получив на вход n. Без этого свойства программа P′ не знала бы, на сколько шагов нужно моделировать M, и доказательство бы не прошло.
Вообще говоря, любая функция, которая может вам встретиться в обычной жизни, будет конструируемой во времени. Но в начале 1970-х гг. специалисты по теории вычислительной сложности придумали несколько необычных, стремительно растущих функций, которые не являются таковыми. И для этих функций вы реально можете получить произвольно большие прорехи в иерархии вычислительной сложности! К примеру, существует функция f, такая, что TIME(f(n)) = TIME(2f(n)). Бреееед.
Аналогом теоремы иерархии (по времени) является теорема иерархии (по памяти), которая утверждает, что существует задача, решаемая при наличии n3 бит памяти, но не решаемая при наличии n2 бит.
Ну хорошо, следующий вопрос: в информатике нас обычно интересует наиболее быстрый алгоритм решения той или иной задачи, однако очевидно ли, что у каждой задачи есть самый быстрый алгоритм? Или может существовать задача, которая допускает бесконечный ряд алгоритмов, в котором каждый последующий быстрее предыдущего, но медленнее какого-то еще?
В противоположность тому, что вы могли бы подумать, это не просто теоретический кабинетный вопрос — это конкретный, очень практический кабинетный вопрос! В качестве примера рассмотрите задачу перемножения двух матриц n × n. Очевидный алгоритм занимает время O(n3). В 1968 г. Штрассен предложил более сложный алгоритм, занимающий время O(n2,78). За этим последовала длинная цепь улучшений, кульминацией которой стал алгоритм Копперсмита и Винограда с оценкой O(n2,376). После этого 23 года ничего не менялось, пока в 2011 г., незадолго до того, как эта книга отправилась в печать, Стозерс[26] и затем Василевская[27]объявили об улучшениях, дающих алгоритм с оценкой O(n2,373). Но конец ли это? Может быть, существует алгоритм перемножения матриц за время порядка n2? Или более странная возможность: может ли быть, что для любого ε > 0 существует алгоритм перемножения матриц n × n за время O(n2+ε), но по мере приближения ε к нулю эти алгоритмы становятся все более и более сложными, и так до бесконечности?
Понимаете, кое-что в материале о палеосложности по-настоящему нетривиально! (Может, тираннозавр рекс и был динозавром, но зубы у него были весьма острые!) В данном случае имеется результат 1967 г., известный как теорема ускорения Блума, который утверждает, что задачи, для которых нет самого быстрого алгоритма, действительно существуют. И не только это: существует задача P, такая, что для любой функции f, если для P имеется алгоритм на O(f(n)), для нее имеется также алгоритм на O(log f(n))!
Посмотрим, как это происходит. Пусть t(n) — оценка вычислительной сложности. Наша цель определить функцию f на множестве целых чисел со значениями в {0, 1}, такую, что если f может быть вычислена за O(t(n)) шагов, то она может быть вычислена также за O(t(n – i)) шагов для любого положительного целого i. Тогда, считая, что t растет достаточно быстро, получаем сколь угодно сильное ускорение: к примеру, если мы зададим t(n):= 2t(n–1), то с определённостью t(n – 1) = O(log t(n)).
Пусть M1, M2,… будет упорядоченным списком машин Тьюринга. Далее, пусть Si = {M1, …, Mi} — множество, состоящее из первых i машин. Вот что мы делаем: получая на вход целое n, мы проходим по всем i от 1 до n. На i-й итерации мы моделируем все машины в Si, не «вычеркнутые» на итерациях от 1-й до (i – 1)-й. Если ни одна из этих машин не останавливается не более чем за t(n – i) шагов, то задаем f(i) = 0. В противном случае пусть Mj будет первой машиной, которая остановится не более чем за t(n – i) шагов. Затем определяем f(i) как 1, если Mj выдает 0, и как 0, если Mj выдает 1. (Иными словами, мы заставляем Mj ошибиться при вычислении f(i).) Мы также «вычеркиваем» Mj в том смысле, что Mj не нужно будет моделировать в дальнейших итерациях. Так определяется функция f.
Конечно, f(n) можно вычислить за O(n2t(n)) шагов, просто смоделировав всю описанную выше итеративную процедуру. Ключевое наблюдение таково: для любого целого i, если мы жестко пропишем результат итераций с 1-й по i-ю в наш алгоритм моделирования (то есть сообщим алгоритму, какие Mj вычеркиваются в этих итерациях), мы можем пропустить итерации 1… i и перейти сразу к итерации i + 1. Более того, считая, что мы начинаем с итерации i + 1, мы можем вычислить f(n) всего за O(n2t(n – i) шагов вместо O(n2t(n)) шагов. Так что чем больше информации мы вычислим предварительно, тем быстрее алгоритм будет работать при достаточно больших входных n.
Чтобы превратить эту идею в доказательство, главное, что нужно сделать, — это показать, что моделирование итеративной процедуры — практически единственный способ вычислить f, или, более точно, что любой алгоритм вычисления f требует по крайней мере t (n – i) шагов для некоторых i. Это, в свою очередь, подразумевает, что для вычисления f не существует более быстрых алгоритмов.
Дополнительная литература
В следующих нескольких главах мы продолжим разбор теории вычислительной сложности. Однако для тех читателей, которых невозможно насытить информацией и которые действительно хотят глубоко разобраться в этом предмете, назову несколько своих любимых книг: Computational Complexity by Christos Papadimitriou (Addison-Wesley, 1994); Computational Complexity: A Modern Approach, by Sanjeev Arora and Boaz Barak (Cambridge University Press, 2009); и The Nature of Computation, by Cristopher Moore and Stephan Mertens (Oxford University Press, 2011).
Загадка 1 из предыдущей главы
Можем ли мы считать без потери общности что компьютерная программа имеет доступ к собственному тексту? В качестве простого примера зададимся вопросом: существует ли программа, которая на выходе распечатывает сама себя?
Ответ: да, такие программы существуют. Более того, проходят даже конкурсы на то, кто напишет самую короткую самораспечатывающуюся программу. На международном конкурсе IOCCC (International Obfuscated C Code Contest)[28] несколько лет назад победила необычайнокороткая программа. Догадайтесь, сколько в ней было символов: 30? 10? 5?
В победившей программе был ровно нуль знаков. (Подумайте об этом!) Правда, пустой файл нельзя все же назвать по-настоящему кошерной программой на языке C, но, судя по всему, некоторые компиляторы готовы скомпилировать его в программу, которая не будет ничего делать.
Хорошо, хорошо, но что если мы хотим получить нетривиальную программу, которая печатает сама себя? В этом случае стандартный фокус состоит в том, чтобы проделать примерно следующее (вы можете самостоятельно перевести это на свой любимый язык программирования):
Напечатать следующее дважды, второй раз в кавычках.
"Напечатать следующее дважды, второй раз в кавычках."
В общем, если вы хотите, чтобы программа имела доступ к собственному исходному коду, фокус в том, чтобы разделить программу на три части: (1) часть, которая на самом деле делает что-то полезное (она не обязательна); (2) «копировщик»; и (3) строка, которая будет копироваться. Строка, которую копируют, должна состоять из полного кода программы, включая копировщик. (Иными словами, она должна состоять из частей (1) и (2).) Тогда, прогнав копировщик дважды, мы получим свеженькую копию частей (1), (2) и (3).
Эту идею придумал фон Нейман в самом начале 1950-х. Вскоре после этого два человека (мне кажется, их звали Крик и Уотсон) нашли физическую сис-тему, которая на самом деле следует этим правилам. Мы с вами, вместе со всеми живыми существами Земли, по существу, представляем собой живые компьютерные программы такого содержания:
Сделать ребенка, который действует по нижеследующей инструкции, а также содержит копию этой инструкции в своих репродуктивных органах.
"Сделать ребенка, который действует по нижеследующей инструкции, а также содержит копию этой инструкции в своих репродуктивных органах."
Загадка 2 из предыдущей главы
Если бы вода не была H2O, была бы она по-прежнему водой?
Ага, это на самом деле не есть хорошо определенный вопрос: все его содержание сводится к тому, что мы подразумеваем под словом вода. Задает ли вода «условия»: если вещество xпрозрачное и мокрое, годится для питья и не имеет вкуса, образует при замерзании лед и т.п., то xи есть вода? При такой постановке вопроса само понятие воды можно определить, сидя в кресле, путем перечисления необходимых и достаточных условий того, чтобы нечто можно было считать водой. Затем мы выходим наружу — и все, что удовлетворяет нашим условиям, является водой по определению. Именно так считали Фреге и Рассел; в этом случае подразумевается, что все, что обладает «интуитивно понятными» свойствами воды, водой и является, вне зависимости от того, H2O это или не H2O.
Другой подход к этому вопросу, ставший визитной карточкой Саула Крипке[29], заключается в том, что слово вода «жестко обозначает» вполне конкретное вещество (H2O). С этой позиции мы сегодня можем точно сказать, что, когда древние греки или вавилоняне говорили о воде, они на самом деле имели в виду H2O, хотя и не понимали этого. Интересно, что в этом случае «вода = H2O» — необходимая истина, открытая путем эмпирических наблюдений. Нечто с теми же интуитивными свойствами, как у воды, но с другой химической структурой уже не было бы водой.
Крипке утверждает, что если принять точку зрения, предполагающую «жесткое обозначение», то одно из ее следствий будет связано с проблемой взаимоотношений сознания и тела. Идея в следующем: мечта редукциониста — объяснить сознание в терминах нейронных импульсов, точно так же, как наука объяснила воду как вещество с химической формулой H2O. Но Крипке говорит, что аналогия между двумя ситуациями неполна. В случае воды мы можем по крайней мере говорить осмысленно о какой-то гипотетической субстанции, которая выглядит и ощущается как вода, на вкус как вода и т.п., но имеет формулу, отличную от H2O, и потому не является водой. Но предположим, что мы обнаружили бы, что боль всегда связана со срабатыванием определенных нервов, названных C-волокнами. Могли бы мы тогда сказать, что боль — это и есть срабатывание C-волокон? Если бы нечто ощущалось как боль, но имело иное нейробиологическое происхождение, сказали бы мы, что оно ощущается как боль, но болью не является? Вероятно, нет. Все, что ощущается как боль, и есть боль, по определению! Из-за этой разницы Крипке считает, что мы не можем говорить, что боль «есть» срабатывание C-волокон, в том же смысле, в каком мы можем говорить, что вода «есть» H2O.
Надеюсь, вы еще не заскучали. Чуваки, это считается одним из величайших философских озарений последних сорока лет! Я серьезно! Что ж, если вас это не заинтересовало, то философия — не ваша стезя.
P, NP и все-все-все
Мы уже видели, что если хотим добиться чего-то в исследовании вычислительной сложности, то нам следует говорить об асимптотическом поведении: не о том, какие задачи могут быть решены за 10000 шагов, а о том, для каких задач примеры размера n могут быть решены за cn2шагов при n, стремящемся к бесконечности. Мы видели TIME (f(n)) — класс всех задач, решаемых за O (f(n)) шагов, и SPACE (f(n)) — класс всех задач, решаемых с использованием O (f(n)) бит памяти.
Но если мы действительно хотим продвинуться дальше, полезно принять еще более грубую модель, в которой различаются полиномиальное и экспоненциальное время, но не различаются времена O(n2) и O(n3). С такой позиции мы будем рассматривать всякую полиномиальную оценку как «быструю», а всякую экспоненциальную оценку — как «медленную».
Я понимаю, что мне сразу же возразят: что, если проб-лема решаема за полиномиальное время, но полином получается 50000-ного порядка, то есть с n50000? Или что, если задача занимает экспоненциальное время, но экспонента имеет вид 1,00000001n? Мой ответ в высшей степени прагматичен: если подобные случаи будут регулярно возникать в практических задачах, то, скорее всего, мы использовали неверную абстракцию. Но до сих пор не было оснований считать, что мы используем неверный подход. Среди крупных задач, решаемых за полиномиальное время, — а это распознавание, линейное программирование, проверка на простоту и т.п. — большая часть и правда имеет практически реализуемые алгоритмы. А из крупных задач, решение которых, по нашему мнению, требует экспоненциального времени, — доказательство теорем, минимизация схемы и т.п. — большинство на самом деле не имеет практичных алгоритмов. Итак, перед вами эмпирический скелет, на котором держится и наш жир, и наши мускулы.
Живой уголок
Пришла пора встретиться с самыми базовыми кассами сложности — агнцами и козлищами нашего Зоопарка cложности.
P есть класс задач, решаемых машиной Тьюринга за полиномиальное время. Иными словами, P есть объединение классов TIME(nk) по всем положительным целым k. (Обратите внимание: под «задачей» мы всегда будем подразумевать задачу разрешимости — задачу, где входные данные представляют собой n-битные строки, а ответом может быть «да» или «нет».)
PSPACE есть класс задач, решаемых с использованием полиномиального объема памяти (но без ограничения по времени). Иными словами, это объединение классов SPACE(nk) по всем целым k.
EXP есть класс задач, решаемых за экспоненциальное время. Иными словами, это объединение TIME(2
Разумеется, P содержится в PSPACE. Я утверждаю также, что PSPACE содержится в EXP. Почему? Ну конечно же: машина с nk бит памяти может побывать в 2
Далее, NP есть класс задач, для которых, если ответ «да», то существует полиномиального размера доказательство этого, которое вы можете проверить за полиномиальное время. (Если вам интересно, сокращение NP означает «недетерминированный полиномиальный».) Я мог бы дать больше технических подробностей, но проще всего привести пример: скажем, я даю вам 10000-значное число и спрашиваю, есть ли у него делитель, заканчивающийся на 3. Ну, в принципе, поиск ответа на этот вопрос может занять долгое-долгое времяТМ. Но если ваш аспирант найдет для вас такой делитель, то вы сможете с легкостью проверить полученный результат: не обязательно доверять в этом смысле аспиранту (а это всегда плюс).
Я утверждаю, что NP содержится в PSPACE. Почему? А вот почему: в полиномиальном объеме памяти вы можете обойти все возможные nk-битные доказательства и проверить их одно за другим. Если ответ «да», то одно из доказательств сработает, а если ответ «нет», то не сработает ни одно из них.
Разумеется, P содержится в NP: если вы можете ответить на вопрос сами, то кто-то еще может убедить вас в том, что ответ «да» (если, конечно, он на самом деле «да»), вообще ничего вам не говоря.
Конечно, возникает вопрос, а не равны ли P и NP. Иными словами, если вы можете эффективно признать ответ, то не можете ли вы также эффективно найти его? Возможно, вам уже приходилось слышать об этом вопросе.
Что я могу сказать в общем о соотношении между P и NP? Этот вопрос часто и с удовольствием описывают как «вероятно, центральную нерешенную задачу теоретической информатики». Это смешное преуменьшение. Проблема P и NP — один из глубочайших вопросов, которые когда-либо задавали себе человеческие существа.
И не только: это одна из семи задач, за решение которых Математический институт имени Клэя[30] обещал по миллиону долларов! Какая честь! Представьте: наши друзья-математики решили, что проб-лема «P и NP» не менее важна, чем гипотеза Ходжа или даже существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса! (Очевидно, ее не собирались включать в этот достойный список, пока не опросили народ и не убедились в том, что она достаточно важна.)
Измерить важность проб-лемы «P и NP» можно, к примеру, так. Если бы задачи класса NP были разрешимы, то математическое творчество можно было бы автоматизировать. Способность проверить доказательство влекла бы за собой способность найти доказательство. Любой сегодняшний планшет или древний компьютер обладал бы мыслительной мощью Архимеда или Гаусса. Просто запрограммировав свой компьютер и запустив программу, вы, вероятно, могли бы немедленно решить не только проблему «P и NP», но и остальные шесть «задач тысячелетия». (Или пять, поскольку гипотеза Пуанкаре уже доказана.)
Но если дело обстоит так, то почему не очевидно, что P не равно NP? Ведь Бог не мог быть настолько великодушен, чтобы наделить нас столь экстравагантными возможностями! Ведь физическая интуиция говорит нам, что поиск посредством грубой силы неизбежен! (Леонид Левин говорил мне, что Фейнмана — короля или, быть может, придворного шута физической интуиции — трудно было убедить даже в том, что «P и NP» — нерешенная проб-лема!)
Ну хорошо, мы, конечно, верим, что P ≠ NP. На самом деле мы не верим даже в то, что существует общий способ решать NP-задачи, который работает намного лучше, чем тупой перебор всех возможностей. Но, если вы хотите понять, почему так трудно доказывать подобные вещи, позвольте мне кое-что вам рассказать.
Допустим, вы получили N-значное число, но вы не хотите раскладывать его на множители, а хотите всего лишь узнать, простое это число или составное.
Или, скажем, вам дан список первокурсников с пометками о том, кто с кем готов вместепоселиться, и вы хотите расселить всех так, чтобы желания как можно большего числа молодых людей исполнились.
Или, скажем, вам даны две ДНК-последовательности, и вы хотите знать, сколько кусочков потребуется вставить и вырезать, чтобы превратить одну из последовательностей в другую.
Разумеется, все это прекрасные примеры тех экспоненциально сложных NP-задач, о которых мы ведем речь! Разумеется, решать их тоже нужно грубой силой, то есть перебором!
Только на самом деле это не так. Оказывается, для всех этих задач имеются хитрые алгоритмы, позволяющие решать их за полиномиальное время! Главный вызов, с которым сталкивается любое доказательство P ≠ NP, — это необходимость отделить по-настоящему сложные NP-задачи от тех, которые только кажутся сложными. Я сейчас не просто излагаю некую философскую истину. На протяжении многих лет были предложены десятки предполагаемых доказательств неравенства P ≠ NP, но почти все их можно было бы отвергнуть практически с порога по той простой причине, что если бы они работали, то все те алгоритмы с полиномиальным временем, о существовании которых нам достоверно известно, были бы запрещены.
Подведем итог. Существуют задачи, такие как проверка на простоту и распределение студентов по комнатам, для которых специалисты по информатике сумели разработать (нередко после десятилетий безуспешных попыток) алгоритмы, способные их решить за полиномиальное время. Но существуют и другие задачи, такие как доказательство теорем, для которых нам не известны алгоритмы, работающие принципиально лучше грубого перебора. Но неужели это все, что мы можем сказать: что у нас есть куча NP-задач, и что для некоторых из них мы нашли быстрые алгоритмы, а для остальных — не нашли?
Оказывается, мы можем сказать кое-что гораздо более интересное, чем это. Мы можем сказать, что почти все «сложные» задачи представляют собой одну и ту же «сложную» задачу в разных обличьях — в том смысле, что если бы у нас был полиномиальный алгоритм для любой из них, то у нас были бы полиномиальные алгоритмы и для всех остальных. Это — главный результат теории NP-полноты, которую создали в начале 1970-х гг. Кук, Карп и Левин.
В общем, так: мы определяем задачу B как «NP-трудную», если любая NP-задача может быть эффективно сведена к B. Что, скажите на милость, это означает? Это означает, что если бы у нас был оракул, способный мгновенно решить задачу B, то мы могли бы решить любую NP задачу за полиномиальное время.
Так мы приходим к понятию редукции, или сведения, которое называется сведением по Куку. Существует также более слабое понятие сведения, называемое сведением по Карпу. В случае сведения по Карпу задачи A к задаче B мы настаиваем, что должен существовать алгоритм с полиномиальным временем, превращающий любой пример A в пример B, который имеет такой же ответ.
В чем же разница между Куком и Карпом?
Вот в чем: если речь идет о сведении по Куку, то при решении задачи A нам приходится вызывать оракул для задачи B более одного раза. Мы можем даже вызывать оракул адаптивно, то есть так, что каждый его вызов зависит от исхода предыдущих вызовов. Сведение по Карпу слабее в том смысле, что мы не позволяем себе подобных вольностей. Удивительно, но факт: почти все известные нам случаи сведения — это сведения по Карпу. На практике редко возникает нужда в инструменте такой мощи, как сведение по Куку.
Далее, мы называем задачу NP-полной, если она одновременно является NP-трудной и принадлежит NP. Иными словами, NP-полные задачи — «труднейшие» задачи в NP, задачи, которые воплощают в себе трудность любой другой NP-задачи. И вот первый вопрос: очевидно ли, что NP-полные задачи хотя бы существуют?
Я утверждаю, что это очевидно. Почему?
Ну, рассмотрим следующую задачу, называемую «Дык»: нам дана машина Тьюринга полиномиального времени M, и мы хотим знать, существует ли входная строка из nk бит, которую M принимает[31]. Я утверждаю, что любой случай любой NP-задачи может быть превращен за полиномиальное время в пример для «Дык» с тем же ответом. Почему? Дык! Потому что именно это означает принадлежность задачи к NP!
Открытие Кука, Карпа и Левина состояло не в том, что NP-полные задачи существуют, — это очевидно, — но скорее в том, что многие естественные задачи являются NP-полными.
Королем этих естественных NP-полных задач является задача выполнимости логических формул 3-SAT. (Откуда я знаю, что это и правда король? Ну как же, об этой задаче рассказывали в телешоу NUMB3RS.) В этой задаче нам дается n булевых переменных x1, …, xn, а также формула — некий набор логических ограничений, называемых предложениями, в каждом из которых фигурирует не более трех переменных:
x2 или x5 или не (x6) не (x2) или x4 не (x4) или не (x5) или x6 …
Вопрос в том, существует ли какой-нибудь способ задать переменным x1, …, xn значения «истина» или «ложь» так, чтобы все предложения формулы оказались выполнены (то есть значение каждого из них было «истина»).
Очевидно, что задача 3-SAT относится к классу NP. Почему? Верно: потому что если кто-то даст вам работающий комплект x1, …, xn, то проверить факт его пригодности несложно!
Наша цель — доказать, что 3-SAT является NP-полной. Что для этого требуется? Ну, необходимо показать, что, если у нас есть оракул для 3-SAT, мы можем с его помощью решить не только 3-SAT за полиномиальное время, но и вообще любую NP-задачу. Кажется, очень непросто! Однако чуть позже, зад-ним числом, вы увидите, что делается это почти тривиально.
Доказательство складывается из двух этапов. Этап 1 — показать, что если бы мы могли решить 3-SAT, то мы могли бы решить и более «общую» задачу выполнимости для булевой схемы (CircuitSAT). Этап 2 — показать, что, имея возможность решить CircuitSAT, мы могли бы решить любую NP задачу.
В CircuitSAT нам задается булева схема и… погодите-ка. Инженеры, слушайте внимательно: в информатике в «схеме» никогда не бывает ни контуров, ни циклов! В ней также нет резисторов и диодов и вообще никаких таких странных вещей. Для нас схема — это просто объект, где для начала у вас есть n булевых переменных x1, …, xn, а затем вы можете сколь угодно долго определять новые переменные, которые получаются из уже определенных посредством операций и, или и не. Примерно так:
xn+1:= x3 или xn xn+2:= не (xn+1) xn+3:= x1 и xn+2 …
Последнюю переменную в списке мы назначаем «выходом» схемы. Тогда наша цель в задаче CircuitSAT — решить, существует ли набор x1, …, xn, такой что на выходе схемы получается «истина».
Я утверждаю, что если бы мы могли решить 3-SAT, то мы могли бы решить и задачу CircuitSAT. Почему?
Потому что все, что нам нужно сделать, — это отметить, что каждая реализация CircuitSAT есть на самом деле замаскированная реализация 3-SAT! Всякий раз, когда мы проделываем операции и, или или не, мы соотносим одну новую переменную с одной или двумя старыми. И любое такое соотношение может быть выражено набором предложений, в каждом из которых задействовано не более трех переменных. Так, к примеру,
xn+1:= x3 или xn
превращается в
xn+1 или не (x3) xn+1 или не (xn) не (xn+1) или x3 или xn.
Итак, этап 1 пройден. На этапе 2 нужно показать, что если мы можем решить CircuitSAT, то можем решить любую NP-задачу.
Ну хорошо, рассмотрим некоторый пример некоторой NP-задачи. Тогда, по определению NP, существует машина Тьюринга полиномиального времени M, такая, что ответ будет «да» в том и только том случае, когда существует полиномиального размера строка-свидетель w, которую M принимает.
Далее, при наличии этой машины Тьюринга, наша цель — создать схему, которая «имитировала» бы M. Иными словами, мы хотим, чтобы набор входных переменных, при котором схема дает на выходе «истину», существовал в том и только том случае, если существует строка w, которую M принимает.
Как этого добиться? Просто: возьмем и определим весь набор переменных целиком! В нем у нас будет переменная, равная «истине» в том и только том случае, если 37-й бит ленты машины M принимает значение 1 на 42-м шаге по времени. Еще у нас будет переменная, равная «истине» в том и только том случае, если 14-й бит принимает значение 1 на 52-м шаге по времени. А еще у нас будет переменная, которая равна «истине» в том и только том случае, если считывающая головка M будет находиться в 15-м внутреннем состоянии и на 74-й позиции ленты на 33-м шаге по времени. Ну, вы поняли идею.
Затем, записав всю эту кучу переменных, мы записываем также хренову тучу логических соотношений между ними. Если 17-й бит ленты равен 0 на 22-м шаге по времени, а считывающая головка в это время и близко не подходит к 17-му биту, то этот самый 17-й бит и на 23-м шаге по времени останется равным 0. Если считывающая головка на 44-м шаге по времени находится во внутреннем состоянии 5 и считывает на этом шаге 1, а внутреннее состояние 5 по считывании 1 переходит во внутреннее состояние 7, то на 45-м шаге по времени считывающая головка будет находиться во внутреннем состоянии 7. И так далее, и тому подобное. Единственные переменные, на которые не накладываются ограничения, — это те, что составляют строку w на первом шаге по времени.
Ключевой момент здесь в том, что, хотя это очень большая куча переменных и отношений, это все же полиномиальная куча. Поэтому мы получаем полиномиального размера пример CircuitSAT, который выполним в том и только том случае, если существует w, которую машина M принимает.
Мы только что доказали знаменитую теорему Кука — Левина: задача 3-SAT является NP-полной. Эту теорему можно считать «точкой инфицирования» вирусом NP-полноты. С того момента, как она была доказана, вирус распространился на тысячи других задач. Вот что я имею в виду: если вы хотите доказать, что ваша любимая задача является NP-полной, то все, что вам нужно сделать, — это доказать, что она столь же трудна, как какая-то другая задача, принадлежность которой к NP-полным уже доказана. (Вообще говоря, вам также нужно доказать, что она принадлежит классу NP, но это, как правило, тривиально.) Так что здесь наблюдается эффект «деньги к деньгам»: чем для большего числа задач доказана NP-полнота, тем проще ввести в этот клуб новую задачу. В самом деле, к 1980-м или 1990-м гг. доказывание NP-полноты задач стало такой рутиной, и это так хорошо научились делать, что (за редкими исключениями) две главных конференции по вычислительной сложности STOC и FOCS перестали публиковать новые доказательства NP-полноты.
Я приведу вам крохотную выборку задач, NP-полнота которых была доказана в самом-самом начале.
Раскраска карты. На заданной карте можно ли раскрасить каждую страну в красный, зеленый или синий цвет таким образом, чтобы никакие две соседние страны не оказались одного цвета? (Интересно, что если разрешены только две краски, то нетрудно решить, возможна ли такая раскраска, — почему? С другой стороны, если разрешены четыре краски, то это возможно всегда, по крайней мере в случае, когда карта рисуется на плоскости, — об этом говорит знаменитая теорема о четырех красках. Так что и в этом случае задача решается просто. Только в случае трех красок задача становится NP-полной.)
Компания. Если имеется некоторое множество из N старшеклассников, с которыми некто и данные о том, кто из старшеклассников с кем готов сидеть в школьной столовой за одним столом, то найдется ли компания из N/3 старшеклассников, готовых сидеть всей компанией за одним большим столом?
Упаковка. Если имеется набор коробок заданных размеров, то можно ли уложить их в багажник вашего автомобиля?
И т.п., и т.п.
Повторю еще раз: хотя эти задачи могут показаться совершенно не связанными между собой, на самом деле это одна и та же задача в разном облачении. Если любая из них имеет эффективное решение, то все они имеют такое решение, и P = NP. Если любая из них не имеет эффективного решения, то ни одна из них такого решения не имеет, и P ≠ NP. Чтобы доказать P = NP, достаточно показать, что какая-то NP-полная задача (не важно, какая именно) имеет эффективное решение. Чтобы доказать P ≠ NP, достаточно показать, что какая-то NP-полная задача не имеетэффективного решения. Один за всех и все за одного.
Итак, существуют, с одной стороны, P-задачи, а с другой — NP-полные задачи. А есть ли что-нибудь в промежутке? (Вам следовало бы уже привыкнуть к подобным «промежуточным» вопросам — мы видели их и в теории множеств, и в теории вычислимости!)
Если P = NP, то NP-полные задачи являются одновременно и P-задачами, так что ответ, очевидно, нет.
Но что если P ≠ NP? В этом случае красивый вывод, известный как теорема Ладнера, говорит, что между P и NP-полными должны существовать «промежуточные» задачи, иными словами, задачи, принадлежащие NP, но не являющиеся ни NP-полными, ни решаемыми за полиномиальное время.
Как можно было бы сконструировать такую промежуточную задачу? Я предложу идею. Первым делом нужно определить некоторую чрезвычайно медленно растущую функцию t. Затем для заданной 3-SAT реализации F размера n задача будет состоять в том, чтобы установить, удовлетворены ли сразу два условия: F выполнима и t(n) нечетна. Иными словами: если t(n) нечетна, то ответ дает решение задачи 3-SAT, тогда как если t(n) четна, то результат уже «нет».
Если вы задумались о том, чем мы занимаемся, то мы чередуем длинные интервалы NP-полной задачи с длинными интервалами пустоты! Интуитивно представляется, что каждый интервал 3-SAT должен устранять еще один алгоритм полиномиального времени для нашей задачи, поскольку мы используем допущение, что P ≠ NP. Аналогично каждый пустой интервал должен исключать очередное сведение NP-полноты, где мы вновь используем допущение, что P ≠ NP. Это гарантирует, что задача не относится ни к P, ни к NP-полным. Основной технический фокус здесь — заставить интервалы удлиняться с экспоненциальной скоростью. Получив на вход сигнал размера n, мы можем смоделировать весь итеративный процесс вплоть до n за время, полиномиальное по n. Это гарантирует, что наша задача по-прежнему относится к NP.
Помимо P и NP, есть еще один крупный класс сложности — co-NP, «дополнение» к NP. Задача относится к co-NP, если ответ «нет» может быть проверен за полиномиальное время. У любой NP-полной задачи имеется соответствующая ей co-NP-полная задача. Здесь мы имеем невыполнимость, нераскрашиваемость карты и т.п.
Хорошо, но почему вообще кому-то должно прийти в голову определять такую глупость? Потому что тогда мы можем задать новый вопрос: равны ли NP и co-NP? Иными словами, если булева формула невыполнима, существует ли по крайней мере короткое доказательство того, что она невыполнима, даже если нахождение этого доказательства потребовало бы экспоненциального времени? Ответ, опять же, состоит в том, что мы этого не знаем.
Конечно, если P = NP, то NP = co-NP. (Почему?) С другой стороны, в другом направлении ничего не известно: возможно, P ≠ NP, но при этом все же NP = co-NP. Так что если доказательство P ≠ NP покажется вам слишком простым, можете попробовать вместо этого доказать NP ≠ co-NP!
Пора, кажется, упомянуть еще один, особый класс сложности — класс, который мы, специалисты по квантовым вычислениям, знаем и любим: NP ∩ co-NP.
Это класс, для которого или ответ «да», или ответ «нет» имеет эффективно проверяемое доказательство. В качестве примера рассмотрим задачу разложения целого числа на простые множители. За свою жизнь я встречал, должно быть, по крайней мере два десятка людей, которые «знали», что задача разложения относится к NP-полным и потому алгоритм Шора — а он позволяет нам проводить факторизацию на квантовом компьютере — позволяет нам также решать на квантовом компьютере NP-полные задачи. Очень часто такие люди чрезвычайно уверены в своем «знании».
Прежде чем мы станем разбираться в возможной NP-полноте разложения на простые множители, позвольте мне по крайней мере объяснить, почему я считаю, что задача разложения не относится к классу P. Могу ли я сказать, что никто не может эффективно решить ее на практике? Хотя это не слишком хороший аргумент, все, безусловно, рассчитывают, что эта задача не относится к P. Следует признать, что у нас нет столь же серьезных причин считать, что факторизация не относится к P, какие есть считать, что P ≠ NP. Мнение о том, что факторизация, может быть, все же относится к P и мы просто недостаточно знаем о теории чисел, чтобы доказать это, можно даже счесть почти респектабельным. Если вы потратите две секунды, чтобы обдумать это, то поймете, что задача разложения на простые множители имеет глубокие отличия от известных NP-полных задач. Если я дам вам булеву формулу, то у нее может вообще не оказаться удовлетворяющих всем условиям входных данных, дающих на выходе истину, может оказаться один набор таких данных, а может оказаться их 10 триллионов. Вы просто не можете знать этого заранее. Но если я дам вам 5000-значное целое число, то вы, вероятно, не сможете сразу сказать, на какие множители оно раскладывается, но будете точно знать, что оно имеет одно и только одноразложение. (Насколько я помню, парень по имени Евклид доказал это довольно давно.) Уже это говорит нам, что разложение на простые множители — в чем-то «особая» задача: в отличие от того, что нам вроде бы известно о NP-полных задачах, факторизация обладает некоей структурой, которую алгоритмы могут попытаться использовать. И алгоритмы действительно ее используют: нам известен классический алгоритм под названием «решето числового поля», позволяющий разложить n-значное целое число на множители примерно за 2n1/3 шагов, а не за ~2n/2 шагов, которые потребовались бы для перебора всех возможных делителей. (Кстати, а почему только ~2n/2 шагов, а не ~2n?) И, разумеется, нам известен алгоритм Шора, позволяющий разложить n-битное целое число за ~ n2 шагов на квантовом компьютере, то есть за квантовое полиномиальное время. Вопреки популярному мнению, мы не знаем квантового алгоритма, позволяющего решать NP-полные задачи за полиномиальное время. Если бы такой алгоритм существовал, то он наверняка резко отличался бы от алгоритма Шора.
Но можем ли мы указать конкретно, чем именно разложение на простые множители отличается от известных NP-полных задач в терминах теории вычислительной сложности? Да, можем. Во-первых, чтобы превратить разложение на множители в проблему разрешимости (да-или-нет), нам придется задавать примерно такие вопросы: если дано положительное целое число N, то имеет ли N простой множитель с последней цифрой 7? Я утверждаю, что эта задача относится не просто к NP, но к NP ∩ co-NP. Почему? Ну, предположим, кто-то дал вам вариант разложения N на простые множители. Разложение существует только одно. Поэтому если в нем имеется простой множитель с последней цифрой 7, это можно проверить, и если такого множителя нет, это можно проверить тоже.
Вы можете сказать: «Но откуда мне знать, что мне на самом деле дали разложение на простые множители? Конечно, если кто-то дает мне набор чисел, я могу убедиться в том, что при перемножении они дают N, но откуда мне знать, что все они простые?» Для этого вам придется принять на веру кое-что, о чем я уже говорил: что если вы хотите просто проверить, простое это число или составное, а не найти сами сомножители, то сделать это можно за полиномиальное время. О'кей, если вы с этим согласны, то задача разложения на простые множители относится к классу NP ∩ co-NP.
Из этого мы можем заключить, что если разложение на множители — NP-полная задача, то NPдолжен равняться co-NP. (Почему?) А поскольку мы не верим, что NP = co-NP, то можно считать это сильным доводом (хотя и не доказательством) в пользу того, что, несмотря на всех тех людей, о которых я вам рассказывал, факторизация не является NP-полной задачей. Если мы это принимаем, остается только два варианта: факторизация либо относится к классу P, либо является одной из тех «промежуточных» задач, чье существование гарантируется теоремой Ладнера. Большинство специалистов склоняется ко второму варианту, хотя и с меньшей уверенностью, чем наша уверенность в том, что P ≠ NP.
На самом деле может оказаться даже, что P = NP ∩ co-NP, но при этом все равно P ≠ NP. (Такой вариант подразумевал бы, что NP ≠ co-NP.) Так что если вам кажется слишком простым доказательство обоих утверждений — и P ≠ NP, и NP ≠ co-NP, то вашей следующей целью может стать доказательство утверждения P ≠ NP ∩ co-NP!
Если P, NP и co-NP недостаточно, чтобы поколебать ваш мир, вы можете обобщить эти классы в гигантскую кучу, которую мы, специалисты по теоретической информатике, называем полиномиальной иерархией.
Обратите внимание, что вы можете представить любую реализацию NP-задачи в форме:
Существует ли n-битная строка X, такая, что A (X) = 1?
Здесь A — функция, вычислимая за полиномиальное время.
Аналогично вы можете представить любую задачу co-NP в форме:
Верно ли A (X) = 1 для любого X?
Но что произойдет, если добавить к этому еще один квантор, примерно так:
Существует ли X, такой, что A (X, Y) = 1 для любого Y?
Для любого X существует ли Y, такой, что A (X, Y) = 1?
Такие задачи приводят нас к двум новым классам сложности, которые называются Σ2P и Π2P соответственно. Π2P — это «дополнение» к Σ2P в том же смысле, в каком co-NP есть дополнение к NP. Кроме того, мы можем добавить и третий квантор:
Существует ли X, такой, что для любого Y существует Z, такой, что A (X, Y, Z) = 1?
Для любого X существует ли Y, такой, что для любого Z имеем A (X, Y, Z) = 1?
Это дает нам классы сложности Σ3P и Π3P соответственно. Должно быть очевидно, как обобщить это до ΣkP и ΠkP для любого большего k. (На полях отмечу, что когда k = 1 мы получаем Σ1P = NP и Π1P = co-NP. Почему?) Затем, взяв объединение этих классов по всем положительным целым k, мы получаем полиномиальную иерархию PH.
Эта полиномиальная иерархия в самом деле представляет собой существенное обобщение NPи co-NP — в том смысле, что даже если бы у нас был оракул для NP-полных задач, совершенно неясно, как мы бы могли использовать его для решения, скажем, Σ2P-задач. С другой стороны, я утверждаю (просто для того, чтобы еще усложнить ситуацию), что если P = NP, то вся полиномиальная иерархия схлопнется до одного P! Почему?
Верно: если P = NP, то мы могли бы взять наш алгоритм для решения NP-полных задач за полиномиальное время и модифицировать его так, чтобы он вызывал сам себя в качестве подпрограммы. И это позволило бы нам «сплющить PH паровым катком»: сначала смоделировать NP и co-NP, затем Σ2P и Π2P и т.п. по всей иерархии.
Подобно этому несложно доказать, что если NP = co-NP, то вся полиномиальная иерархия схлопнется до NP (или, иными словами, до co-NP). Если Σ2P = Π2P, то вся полиномиальная иерархия схлопнется до Σ2P, и так далее. Если немного подумать, это дает нам целую бесконечную последовательность обобщений гипотезы P ≠ NP, таких, что каждую последующую доказать «труднее», чем предыдущую. Почему нас вообще интересуют эти обобщения? Потому что часто случается так, что при изучении некоторой гипотезы с условным именем Ля-ля мы не можем доказать, что Ля-ля верна, и не можем даже доказать, что если бы Ля-ля была неверна, то Pбыл бы равен NP. Но — и в этом вся изюминка — мы можем доказать, что если бы Ля-ля была неверна, то полиномиальная иерархия схлопнулась бы до второго или третьего уровня. А это некоторый аргумент в пользу того, что Ля-ля все-таки верна.
В общем, добро пожаловать в теорию вычислительной сложности!
Я уже рассказывал о том, что многие задачи имеют неочевидные алгоритмы, выполнимые за полиномиальное время, и мне показалось, что следует дать вам хотя бы один пример. Давайте рассмотрим одну из простейших и элегантнейших задач во всей теоретической информатике — так называемую задачу о стабильном браке. Случалось вам видеть ее прежде? Не случалось?
Ну хорошо, пусть у нас имеется N мужчин и N женщин. Наша цель — переженить их всех. Мы считаем для простоты, что все они нормальной сексуальной ориентации. (Переженить геев и лесбиянок технически сложнее, но это тоже решаемо за полиномиальное время!) Считаем также, для простоты и без особой потери общности, что каждый из этих людей предпочитает состоять в браке, а не быть одиноким.
Итак, каждый мужчина оценивает женщин, начиная с той, которую он выбрал бы первой, и заканчивая самым последним из возможных вариантов выбора. Женщины, в свою очередь, оценивают мужчин. Никаких связей нет.
Очевидно, не каждый мужчина сможет жениться на женщине, которая понравилась ему больше всех, и не каждая женщина сможет выйти замуж за лучшего из мужчин. Жизнь, как известно, несправедлива.
Так что попробуем найти что-нибудь послабее. Скажем, что вариант распределения мужчин и женщин по парам стабилен, если никакой мужчина и никакая женщина в нем, не связанные узами брака друг с другом, не предпочитают друг друга своим законным супругам. Иными словами, вы можете презирать своего мужа, но никакой мужчина, который нравится вам больше, чем он, не предпочитает одновременно вас своей жене, так что ничто не побуждает вас расстаться с мужем. Это весьма, хм, желанное качество — то, что мы называем «стабильностью».
Таким образом, наша цель как коллективной свахи состоит в том, чтобы найти стабильный способ переженить их всех с учетом заданных предпочтений мужчин и женщин.
Первый очевидный вопрос: всегда ли существует стабильный вариант распределения мужчин и женщин на пары? Как вы считаете? Да? Нет? Оказывается, такое распределение существует, но простейший способ доказать это — просто дать алгоритм его нахождения!
Давайте сосредоточимся на вопросе о том, как найти такой вариант. В целом существует N! способов распределения наших женихов и невест по парам. И надо надеяться, хотя бы ради наших потенциальных новобрачных, что нам не придется перебирать их все.
К счастью, действительно не придется. В начале 1960-х гг. Гейл и Шейпли придумали алгоритм полиномиального — более того, линейного — времени для решения этой задачи. Прелесть его в том, что он в точности соответствует варианту, который вы могли бы предложить, начитавшись викторианских любовных романов. Позже они обнаружили, что этот самый алгоритм уже используется с 1950-х гг., но не для организации массовых бракосочетаний, а для распределения студентов-медиков по больницам на интернатуру. Мало того, больницы и медицинские школы до сих пор пользуются одной из версий этого алгоритма.
Но вернемся к нашим мужчинам и женщинам. Если мы хотим переженить их всех при помощи алгоритма Гейла — Шейпли, то в качестве первого шага нам нужно нарушить симметрию между полами и решить: какой пол «делает предложение»? Поскольку дело происходило в начале 1960-х гг., можете сами представить, каким был ответ. Предложение всегда делали мужчины.
Таким образом, мы проходим цикл по всем мужчинам. Первый мужчина делает предложение той женщине, которая больше всего ему понравилась. Она временно принимает предложение. Затем следующий мужчина делает предложение женщине, которая у него стоит «первой в списке». Она временно принимает предложение и т.п. Но что происходит, когда мужчина делает предложение женщине, которая уже, хотя и временно, приняла предложение другого мужчины? В этом случае она выбирает из них того, кто ей больше нравится, и дает второму отставку! Когда мы в следующий раз дойдем до этого мужчины в процессе циклического перебора всех мужчин, он сделает предложение женщине, которая стояла в его списке второй. И если она его отвергнет, то в третий раз, когда мы до него доберемся, он сделает предложение третьей в списке женщине. И так далее, пока все не переженятся. Просто, не правда ли?
Первый вопрос: почему этот алгоритм завершается за линейное время?
Верно: потому что каждый мужчина делает предложение одной и той же женщине не более одного раза. Поэтому общее число предложений не превышает N2, и именно столько памяти нам потребуется, чтобы записать в самом начале список предпочтений.
Второй вопрос: почему, когда алгоритм завершает работу, все оказываются состоящими в браке?
Верно: потому что если бы это было не так, то кому-то из женщин не поступило бы ни одного предложения, а кто-то из неженатых мужчин не сделал бы ей предложения. Но это невозможно. Со временем мужчина, которого никто не хочет, останется единственным неженатым и сделает предложение женщине, которую тоже никто больше не захотел.
Третий вопрос: почему распределение, рожденное этим алгоритмом, будет стабильным?
Верно: потому что если бы это было не так, то возникла бы одна семейная пара (скажем, Боб и Алиса) и другая семейная пара (скажем, Чарли и Ева), такие, что и Боб, и Ева предпочитают друг друга своим супругам. Но в таком случае Боб должен был сделать предложение Еве прежде, чем Алисе. И если Чарли тоже сделал предложение Еве, то Ева тоже сразу дала бы понять, что предпочитает Боба. Возникает противоречие.
В частности, мы показали, как и было обещано, что существует стабильное распределение на пары, а именно распределение, полученное посредством алгоритма Гейла — Шейпли.
Задачи
1. Мы видели, что задача 3-SAT относится к NP-полным. Напротив, оказывается, что задача 2-SAT — вариант, в котором в каждом предложении разрешены лишь две переменные, — решается за полиномиальное время. Объясните, почему.
2. Вспомним, что EXP — это класс задач, решаемых за экспоненциальное время. Можно определить также класс NEXP: класс задач, для которых ответ «да» может быть проверен за экспоненциальное время. Иными словами, NEXP для EXP то же самое, что NP для P. Далее, мы не знаем, верно ли P = NP, и не знаем также, верно ли EXP = NEXP. Но мы точно знаем, что если P = NP, то EXP = NEXP. Почему?
3. Покажите, что P не равняется SPACE(n) (множеству задач, решаемых с использованием линейного объема памяти). Подсказка: вам не нужно доказывать, что P не входит в SPACE(n) или что SPACE(n) не входит в P, нужно доказать только, что верно то или другое.
4. Покажите, что если P = NP, то существует алгоритм полиномиального времени, позволяющий не только определить, является ли булева формула выполнимой, но и найти входную строку, для которой она выполняется, если таковая существует.
5. [Повышенной сложности.] Приведите в явном виде алгоритм, позволяющий найти входную строку (если таковая существует), для которой выполняется формула, и выполняемый за полиномиальное время, при условии, что P = NP. (Если формула невыполнима, ваш алгоритм может вести себя произвольным образом.) Иными словами, приведите алгоритм для задачи 4, который можно реализовать и выполнить прямо сейчас, без привлечения какой бы то ни было подпрограммы, которая, как вы полагаете, существует, но которую вы не в состоянии описать.
Случайность
В последних двух главах мы говорили о вычислительной сложности до начала 1970-х гг. Здесь мы добавим в уже закипающее варево новый ингредиент — нечто, что возникло в нашем контексте примерно в середине 1970-х гг. и что теперь пропитывает понятие вычислительной сложности в такой степени, что сложно представить без него любое действие в этой области. Этот новый ингредиент — концепция случайности.
Конечно, если вы хотите изучать квантовые вычисления, то первым делом вам придется разобраться в рандомизированных вычислениях. Я имею в виду, что квантовые амплитуды только тогда становятся нам интересны, когда отражают какое-то поведение, которое не отражают классические вероятности: контекстуальность, интерференцию, запутанность (в противовес корреляции) и т.п. Так что мы не можем даже начать разговор о квантовой механике, не поняв сначала, с чем, собственно, мы ее сравниваем.
Итак, что такое случайность? Вообще-то это глубокий философский вопрос, но я человек простой. Поэтому мы имеем некоторую вероятность p, представляющую собой действительное число в единичном интервале [0, 1]. Это и есть случайность.
Но разве не было в этой области крупного достижения в 1930-е гг., когда Колмогоров подвел под вероятность аксиоматический базис? Да, было! Но в этой главе нас интересует только распределение вероятностей по конечному числу событий, так что тонкие вопросы интегрируемости, измеримости и т.п. у нас не возникнут. На мой взгляд, теория вероятностей — это еще один пример области, в которой математики сразу же уходят в пространства бесконечных размерностей, чтобы решить для себя проблему безделья и найти побольше нетривиальных задач для решения! И это прекрасно — чем бы дитя ни тешилось. Я вовсе не критикую. Но нам в теоретической информатике вполне хватает возни с выбором из 2n вариантов. Выбор из 2ℵ0нужен нам, как пятое колесо в телеге.
Ну хорошо, пусть нам дано некоторое «событие» A — скажем, что завтра пойдет дождь, и мы можем говорить о действительном числе Pr [A], лежащем в [0, 1], которое представляет собой вероятность того, что A произойдет. (Или, скорее, вероятность, с которой мы думаем, что A произойдет, — но я уже говорил вам, что я человек простой.) Кроме того, вероятности различных событий состоят в некоторых очевидных отношениях, но нам, возможно, полезно будет посмотреть их в явном виде, на случай, если вы никогда их не видели.
Во-первых, вероятность того, что A не произойдет, равна 1 минус вероятность того, что A произойдет:
Pr[не (A)] = 1 – Pr[A].
Согласны? Я так и думал.
Во-вторых, если у нас есть два события, A и B, то
Pr[A или B] = Pr[A] + Pr[B] – Pr[A и B].
В-третьих, непосредственное следствие из вышесказанного, известное как неравенство Буля, или аддитивное неравенство или граница объединения:
Pr[A или B] ≤ Pr[A] + Pr[B].
Или на обычном языке: если маловероятно, что вы утонете, и маловероятно, что станете жертвой удара молнии, то у вас хорошие шансы на то, что вы и не утонете, и не погибнете от удара молнии, независимо от того, повышает или понижает удар молнии ваши шансы утонуть. Один из немногих поводов для оптимизма в этой жизни.
Несмотря на тривиальность, граница объединения является, вероятно, самым полезным фактом во всей теоретической информатике. Я лично использую это свойство раз по 200 в каждой своей статье.
Что еще? Если задана случайная числовая переменная X, то математическое ожидание X, или E[X], определяется как Σk Pr[X = k]k. Тогда если даны две произвольные случайные переменные X и Y, то
E[X + Y] = E[X] + E[Y].
Это называется линейностью математического ожидания, и это, вероятно, второй по полезности факт во всей теоретической информатике после границы объединения. Опять же самое важное здесь — что любые зависимости между X и Y не имеют значения.
Может быть, выполнятся также и соотношение
E [XY] = E[X] E[Y]?
Разумеется, не выполняется! Впрочем, выполняется, если X и Y независимы, но не в общем случае.
Еще один важный факт — неравенство Маркова (или скорее одно из его многочисленных неравенств): если X ≥ 0 есть неотрицательная случайная переменная, то для любого k
Pr[X ≥ kE[X]] ≤ 1/k.
Почему? Ну, если бы X слишком часто имело значение, слишком во много раз превосходящее его математическое ожидание, то даже если бы все остальное время X было равно 0, этого все равно было бы недостаточно, чтобы скомпенсировать отклонение матожидания.
Неравенство Маркова сразу же ведет к третьему полезнейшему факту теоретической информатики, известному как граница Чернова. Граница Чернова, по сути, означает, что если вы бросили монетку 1000 раз и при этом 900 раз выпал орел, то очень велики шансы на то, что монетка неправильная. Именно на эту теорему неявно опираются менеджеры казино, когда решают, посылать ли своих горилл ломать ноги игроку после крупного выигрыша.
Теоретически пусть h — число выпадений орла при бросании правильной монетки n раз. Тогда один из способов определить границу Чернова — это
где c — постоянная, которую вы можете уточнить, если не помните. (Ну хорошо, хорошо: c = 2 годится.)
Как мы можем доказать границу Чернова? Ну, есть такой простой фокус: пусть xi = 1, если i-я монетка падает орлом, и xi = 0, если решкой. Рассмотрим математическое ожидание, не самой суммы x1 + … + xn, а ее экспоненты exp (x1 + … + xn). Поскольку броски монетки, по идее, не должны коррелировать между собой, мы имеем
Теперь мы можем просто воспользоваться неравенством Маркова, а затем взять логарифмы обеих сторон, чтобы получить границу Чернова. Я избавлю вас от скучных вычислений (или, скорее, себя избавлю).
Для чего нам нужна случайность?
Даже великие древние — Тьюринг, Шеннон и фон Нейман — понимали, что источник случайных чисел может оказаться полезен при написании программ. Так, к примеру, еще в 1940-е и 1950-е гг. физики придумали метод математического моделирования, названный методом Монте-Карло, для изучения какого-то странного вопроса, который им был в тот момент интересен и который был как-то связан с имплозией, или направленным внутрь взрывом, полых плутониевых шаров. Метод Монте-Карло означает просто сбор информации о типичном или среднем поведении возможно сложной динамической сис-темы не путем явного вычисления средних значений различных интересующих вас величин, а просто путем моделирования сис-темы много раз с различными случайными начальными состояниями и сбора статистических данных. Статистическая выборка — скажем, различных способов, которыми полый плутониевый шар может сделать Большой Бабах, — это совершенно законное использование случайности.
Существует великое множество причин, по которым вам может потребоваться случайность: помешать перехвату шифрованных сообщений, избежать блокировки при работе проколов связи и т.п. Но в пределах теории вычислительной сложности обычное назначение случайности — «размазать ошибку», то есть взять алгоритм, который работает на большинстве входных данных, и превратить его в алгоритм, который работает на всех входных данных большую часть времени.
Посмотрим пример рандомизированного алгоритма (алгоритма с элементом случайности). Предположим, я описываю вам число следующим образом: начинаю с 1 и затем многократно добавляю, вычитаю или умножаю два числа, которые уже были упомянуты ранее (как в карточной игре «24»). Примерно так:
a = 1
b = a + a
c = b2
d = c2
e = d2
f = e – a
g = d – a
h = d + a
i = gh
j = f – i.
Вы можете самостоятельно убедиться (если возникнет такое желание), что j, «выход» приведенной выше программы, равняется нулю. А теперь рассмотрите следующую обобщенную задачу: если дана такая программа, будет у нее на выходе 0 или нет? Как можно это определить?
Ну, один из способов — просто выполнить программу и посмотреть, что получится у нее на выходе! В чем проб-лема?
Верно: даже если программа сама по себе очень короткая, числа, которые она выдает на промежуточных этапах, могут быть громадными — то есть вам может потребоваться экспоненциально много цифр, чтобы хотя бы записать их. Так может получиться, к примеру, если программа раз за разом получает новое число путем возведения предыдущего в квадрат. Так что тупое моделирование в такой ситуации вряд ли окажется эффективным.
Что еще можно сделать? Ну, предположим, у нас в программе n операций. Тогда можно попробовать следующий фокус: для начала взять случайное простое число p из n2 знаков. Затем смоделировать работу программы, но все вычисления делать по модулю p. Здесь возникает сверхважный момент, который для начинающих часто становится ловушкой: единственное, где нашему алгоритму разрешается использовать случайность, — это в моменты его собственноговыбора, в данном случае — в момент выбора случайного простого числа p. Нам не разрешается рассматривать никакие усреднения по возможным программам, поскольку программа является просто входом в алгоритм, а со входом у нас все плохо!
Что мы можем сказать о приведенном выше алгоритме? Ну, он, безусловно, будет эффективен, то есть он будет выполняться за время, полиномиальное по отношению к n. Кроме того, если результат окажется не равен нулю по модулю p, то можно однозначно заключить, что он и вообще не равен нулю. Однако это оставляет без ответа два вопроса:
1. Предполагая, что результат равен 0 по модулю p, насколько уверены вы можете быть в том, что это не просто удачное совпадение и что результат и в самом деле равен 0?
2. Как выбрать случайное простое число?
Что касается первого вопроса, пусть x — результат работы программы. Тогда |x| не может быть больше 22n, где n — число действий, поскольку самый быстрый доступный нам способ получения больших чисел заключается в последовательном возведении в квадрат. Из этого сразу же следует, что у x может быть не более 2n простых делителей.
С другой стороны, сколько существует простых чисел из n2 знаков? Знаменитая теорема о числе простых чисел дает ответ на этот вопрос: примерно 22n/
С первым вопросом разобрались. Теперь ко второму: как выбрать случайное простое число из n2 знаков? Наш старый приятель, теорема о числе простых чисел, говорит нам, что если выбрать просто случайное число из n2 знаков, оно окажется простым примерно в одном случае из n2. Так что вам нужно всего лишь выбирать раз за разом случайные числа; примерно через n2 попыток вы, вероятно, наткнетесь на простое число! Но почему, вместо того чтобы перебирать случайные числа, нельзя просто взять какое-то фиксированное число, а затем прибавлять к нему по единице, пока не дойдешь до простого числа?
Да, конечно, это сработает при условии одного весьма сильного обобщения гипотезы Римана! Нужно лишь, чтобы эти самые n2-значные простые числа были более или менее равномерно распределены по числовой прямой, так чтобы вы не могли в результате чистого невезения угодить на экспоненциально длинный промежуток, где все числа будут составными. Даже обобщенная гипотеза Римана не может вам этого гарантировать; впрочем, существует еще так называемая гипотеза Крамера — вот она может.
Разумеется, мы всего лишь свели задачу выбора случайного простого числа к другой задаче, а именно: как определить, выбрав случайное число, что оно простое? В предыдущей главе я упоминал, что определить, простое число или составное, оказывается, намного проще, чем действительно разложить число на множители. До недавнего времени задача проверки на простоту служила еще одним примером задачи, где, казалось, необходимо использовать случайность, мало того, она была бабушкой всех таких задач.
Идея состояла в следующем. Малая теорема Ферма (не путать с Великой теоремой Ферма!) гласит, что если p — простое число, то xp = x(mod p) для любого целого x. Так что если вы нашли x, для которого xp ≠ x(mod p), то вы можете быть уверены, что p — число составное, хотя по-прежнему ничего не будете знать о его делителях. А потому если вам долго и упорно не удаетсянайти такое x, для которого xp ≠ x(mod p), то можно с высокой степенью уверенности сказать, что p — простое.
Увы, эта простая идея не работает. Оказывается, существуют составные числа p, которые «притворяются» простыми в том смысле, что для них xp = x(mod p) для любого x. Первые несколько таких «притворщиков» (названных числами Кармайкла) — это 561, 1105, 1729, 2465 и 2821. Конечно, если бы «притворщиков» было лишь конечное число и мы бы их все знали, все было бы прекрасно. Но Олфорд, Грэнвилл и Померанс[32] показали в 1994 г., что чисел-«притворщиков» существует бесконечно много.
К счастью, еще в 1976 г. Миллер и Рабин нашли способ разоблачить притворщиков, слегка изменив тот же тест. Иными словами, они нашли такую модификацию теста Ферма, которая всегда проходит при простом p, а вот в случае составного — с высокой вероятностью не проходит. Отсюда был получен рандомизированный алгоритм проверки на простоту за полиномиальное время.
Затем, лет десять назад, произошел прорыв, о котором вы, вероятно, слышали. Аграваль, Кайал и Саксена[33] нашли детерминированный алгоритм полиномиального времени, позволяющий определить, является ли число простым. Это прорывное открытие не имеет совершенно никакого практического применения, поскольку у нас давно есть более быстрые рандомизированные алгоритмы, для которых вероятность ошибки можно без труда низвести до величины меньшей, чем вероятность падения астероида на ваш компьютер в разгар вычислений. Но знать, что такой алгоритм существует, очень приятно.
Просуммируем сказанное. Мы хотели получить эффективный алгоритм, который проверял бы программу, целиком состоящую из операций сложения, вычитания и умножения, и определял бы, получится ли в результате вычислений 0. Я дал вам такой алгоритм, но он нуждается в случайности в двух местах: во-первых, при выборе некоторого случайного числа и, во-вторых, при проверке этого случайного числа на простоту. Оказалось, что второе применение случайности не принципиально, поскольку у нас теперь есть детерминированный полиномиальный по времени алгоритм проверки на простоту. Но как быть с первым использованием случайности? Может быть, в нем тоже нет нужды? Так вот, по состоянию на 2013 г. никто этого еще не знает! Но орудия главных теоретических калибров уже долбят эту проблему, и ситуация легко может измениться. Справьтесь о том, как развивается эта ситуация, в материалах вашей местной конференции по теоретической информатике.
Отлично, пора нам определить кое-какие классы сложности. (Да, если подумать, когда не пораэто делать?)
Когда мы говорим о вероятностных вычислениях, скорее всего, речь идет об одном из следующих четырех классов сложности, которые Джон Гилл[34] определил в работе, опубликованной в 1977 г.
PP (Probabilistic Polynomial-Time, вероятностный за полиномиальное время). Ну да, видимо, даже сам Гилл признавал, что это сокращение не самое удачное. Оно ведь произносится… нет, у нас серьезная книга, и я не допущу юмора на уровне седьмого класса. В сущности, PP— это класс всех проблем разрешимости, для которых существует рандомизированный алгоритм за полиномиальное время, который принимает с вероятностью большей 1/2, если ответ «да», либо меньшей 1/2, если ответ «нет». Иными словами, мы представляем себе специфическую машину Тьюринга M, получающую не только n-битную входную строку x, но и неограниченный источник случайных битов. Если x — это «да-строка», то по крайней мере половину случайных битовых данных M должна принимать; тогда как если x является «нет-строкой», то по крайней мере половину случайных битовых данных M должна отвергать. Более того, M должна останавливаться после некоторого числа шагов (число это обязано быть полиномиальным по n).
Вот стандартный пример PP-задачи: если дана булева формула Φ с n переменными, то дает ли по крайней мере половина из 2n возможных комбинаций входных переменных результат «истина»? (Кстати говоря, в точности как поиск ответа на вопрос, существует ли удовлетворительная входная комбинация, относится к числу NP-полных задач, так и здесь можно показать, что задача с голосованием является PP-полной, то есть любая другая PP-задача эффективно сводится к ней.)
Хорошо, почему же тогда PP не стыкуется с нашим интуитивным представлением о задачах, решаемых рандомизированными алгоритмами?
Верно: потому что мы хотим избежать ситуаций типа «флоридского пересчета»[35]! Там, где речь идет о PP, алгоритм волен принимать с вероятностью 1/2 + 2–n, если ответ «да», и вероятностью 1/2 – 2–n, если ответ «нет». Но как простому смертному различить эти два случая в реальности? Если n равняется, скажем, 5000, то нам придется накапливать статистику за период времени, превышающий возраст Вселенной!
Кроме того, PP — чрезвычайно большой класс, к примеру, он определенно включает в себя NP-полные задачи. Почему? Ну, если дана булева формула φ с n переменными, вы можете сделать так: с вероятностью 1/2 – 2–2n принять не глядя, а в противном случае выбрать случайное размещение и принять его в том и только том случае, если оно удовлетворяет φ. Тогда полная вероятность принятия у вас получится больше 1/2, если по крайней мере одно выполнимое размещение для Φ существует, и меньше 1/2, если такого размещения не существует.
По факту специалисты по теории вычислительной сложности считают, что PP строгобольше NP, хотя, как обычно, доказать этого мы не можем.
Приведенные выше соображения заставили Гилла определить более «разумный» вариант PP, вот такой.
BPP (Bounded-Error Probabilistic Polynomial-Time, вероятностный за полиномиальное время с ограниченной ошибкой). Это класс проблем разрешимости, для которых существует рандомизированный алгоритм за полиномиальное время, который принимает с вероятностью большей 2/3, если ответ «да», или меньшей 1/3, если ответ «нет». Иными словами, при любых входных данных такой алгоритм может ошибаться с вероятностью не более 1/3.
В отношении 1/3 важно исключительно то, что это какая-то положительная константа, меньшая 1/2. Любая такая константа подошла бы не хуже. Почему? Ну, предположим, нам задан BPP-алгоритм, который ошибается с вероятностью 1/3. При желании мы можем без труда модифицировать этот алгоритм так, чтобы он ошибался с вероятностью не более, скажем, 2–100. Как?
Верно: нужно просто прогнать этот алгоритм несколько сот раз, а затем вывести ответ, который составил большинство! Если мы проведем T независимых испытаний и возьмем более частый ответ, то наша добрая подруга, граница Чернова, заверит нас, что мы ошибемся при этом с вероятностью, убывающей экспоненциально относительно T.
На самом деле мы не просто могли бы заменить 1/3 любой другой константой, меньшей 1/2; мы могли бы даже заменить ее на 1/2 – 1/p(n), где p — произвольный полином.
Так что же такое BPP? Если хотите, это класс всех задач, которые возможно решить при помощи компьютера во Вселенной, где правит классическая физика.
RP (Randomized Polynomial-Time, рандомизированный, полиномиального времени). Как я уже говорил, вероятность ошибки алгоритма BPP можно без труда уменьшить до такой степени, что она будет меньше вероятности попадания астероида в ваш компьютер. И этого достаточно для большинства приложений: скажем, для отслеживания доз облучения в больнице, для шифрования многомиллиардных банковских операций или для управления пусками ядерных ракет. Но как насчет доказывания теорем? В некоторых приложениях рисковать просто нельзя.
Вот тут-то мы и приходим к RP — к классу задач, для которых существует рандомизированный алгоритм за полиномиальное время, который принимает с вероятностью более 1/2, если ответ «да», или с вероятностью нуль, если ответ «нет». Сформулируем иначе: если алгоритм принимает хотя бы раз, то вы можете быть абсолютноуверены, что ответ «да». Если алгоритм отвергает варианты один за другим, то вы можете очень уверенно предполагать (но не гарантировать), что ответ «нет».
У RP есть очевидное «дополнение», называемое co-RP. Это просто класс задач, для которых существует рандомизированный алгоритм за полиномиальное время, который принимает с вероятностью 1, если ответ «да», или с вероятностью менее 1/2, если ответ «нет».
ZPP (Zero-Error Probabilistic Polynomial-Time, вероятностный, полиномиального времени, с нулевой ошибкой). Этот класс может быть определен как пересечение RP и co-RP — класс задач, относящихся к обоим этим классам одновременно. Можно также сказать, что ZPP — это касс задач, решаемых рандомизированным алгоритмом за полиномиальное время, который обязан выдавать верный ответ всякий раз, когда он его выдает, но в части случаев (до половины) может выдавать ответ «не знаю». Опять же можно дать и такую эквивалентную формулировку: ZPP — это класс задач, решаемых алгоритмом, который никогда не ошибается, но время выполнения которого ожидаемо полиномиальное.
Иногда можно увидеть, как BPP-алгоритмы называют алгоритмы Монте-Карло, а ZPP-алгоритмы — алгоритмы Лас-Вегаса. Мне случалось даже встречать RP-алгоритмы под названием «алгоритмы Атлантик-Сити»[36]. Такая терминология всегда казалась мне глупой. (Может, существуют еще и алгоритмы индейских резерваций?)
Изобразим графически известные отношения между базовыми классами сложности, которые встречались нам уже в этой книге. Отношения, о которых я не рассказывал в явном виде, оставлены в качестве упражнений для читателей (то есть для вас).
Вас, может быть, удивит, но мы до сих пор не знаем, входит ли BPP в NP. Но подумайте: даже если бы BPP-машина принимала с вероятностью, близкой к 1, как бы вы доказали это детерминированной программе-верификатору за полиномиальное время, вовсе не склонной вам верить? Конечно, вы могли бы показать верификатору некоторое количество случайных прогонов машины, но и после этого она бы продолжала подозревать вас в том, что вы специально подобрали образцы так, чтобы получить желаемый ответ.
К счастью, ситуация не настолько неприятна, как кажется: мы по крайней мере знаем, что BPPвходит в NPNP (то есть в NP с NP-оракулом) и, следовательно, во второй уровень полиномиальной иерархии PH. Сипсер, Гач и Лаутеман доказали это в 1983 г. Это доказательство я вообще-то собираюсь пропустить, технически оно достаточно сложное. Если вам интересно, посмотреть можно здесь[37].
Кстати говоря, если мы знаем, что BPP входит в NPNP, то относительно BQP мы ничего такого не знаем. BQP — это класс задач, решаемых за полиномиальное время на квантовом компьютере. BQP в этой книге пока официально не представлен, — вам придется подождать еще пару глав! — но я хочу предвосхитить в какой-то степени его появление и рассказать, чем он, судя по всему, не является. Иными словами, что, как нам известно, верно в отношении BPP такого, о чем мы не можем сказать, верно ли оно в отношении BQP? Включение в PH — это лишь первый из трех примеров, с которыми мы познакомимся в этой главе.
В теории вычислительной сложности случайность оказывается весьма тесно связана с другой концепцией, известной как неоднородность, хотя мы рассмотрим эту связь немного позже. Неоднородность, по существу, означает, что вы должны выбрать свой алгоритм для каждой длины входной сроки n. Спрашивается, почему бы вам желать сделать такую глупость? А помните, в главе 5 я показывал вам теорему ускорения Блума, которая гласит, что можно конструировать причудливые задачи, у которых не может быть самого быстрого алгоритма, но только бесконечная последовательность алгоритмов, где каждый последующий быстрее предыдущего на достаточно больших входных строках? В таком случае неоднородность позволила бы вам выбирать из всехалгоритмов и тем самым достигать оптимального результата. Иными словами, если задана входная строка длины n, вы могли бы просто выбрать алгоритм, который будет самым быстрым для входных строк этой конкретной длины!
Но даже в мире с неоднородностью, уверены специалисты по теории вычислительной сложности, должны существовать серьезные ограничения на то, что может быть эффективно вычислено. Желая поговорить об этих пределах, мы пользуемся терминологией, придуманной Карпом и Липтоном в 1982 г.[38] Карп и Липтон определили, класс сложности P/f(n), или P с советом размера f(n), как состоящий из всех задач, решаемых за детерминированное полиномиальное время на машине Тьюринга при помощи f(n)-битной «строки совета» an, зависящей только от длины входной строки n.
Вы можете думать о полиномиальной по времени машине Тьюринга как об аспиранте, а о строке совета an как о мудрости его научного руководителя. Как и большинство руководителей, он бесконечно мудр, благожелателен и надежен. Он ничего так не жаждет, как помогать своим аспирантам решать проблемы с их диссертациями, то есть определять, являются ли их входные строки x из {0, 1}n да-строками или нет-строками. Но, опять же как большинство научных руководителей, он слишком занят, чтобы выяснять, над какими конкретно задачами работают в данный момент его аспиранты. Поэтому он просто выдает им всем один и тот же совет an, позволяя каждому применить его к своим входным данным x.
Можно было бы изучить совет, который не заслуживал бы доверия, и я в свое время занимался этим. Я определил несколько классов сложности, основанных на совете, не заслуживающем доверия, но в обычном определении совета мы считаем, что он доверия заслуживает.
Нам будет особенно интересен класс P/poly, который состоит из всех задач, решаемых за полиномиальное время с использованием совета полиномиального размера. Иными словами, P/poly есть объединение P/nk по всем положительным целым k.
Далее, возможно ли, что P = P/poly? В качестве первого (тривиального) наблюдения я заявляю: ответ «нет» — P строго содержится в P/poly и, более того, в P/1. Иными словами, даже с единственным битом совета вы в состоянии сделать больше, чем вообще без совета. Почему?
Верно! Рассмотрим следующую задачу:
Если задана входная строка длиной n, определите, остановится ли n-я машина Тьюринга.
Мало того, что эта задача не входит в P, она даже не является вычислимой, ведь она представляет собой не что иное, как медленное, «унарное» шифрование проблемы остановки. С другой стороны, ее легко решить при помощи единственного бита совета, который зависит только от длины входной строки n. Ибо этот бит совета способен просто сказать вам, чему равен ответ!
Вот еще один способ понять мощь совета: если число задач в P — всего лишь счетная бесконечность (почему?), то число задач в P/1 — бесконечность уже несчетная (почему?).
С другой стороны, один тот факт, что с советом можно решить намного-намного больше задач, чем без него, не означает, что совет поможет вам решить любую конкретную задачу, которая вас, возможно, интересует. В самом деле, второе несложное наблюдение состоит в том, что совет не всемогущ: существуют задачи, не входящие в P/poly. Почему?
Ну, здесь можно привести простой аргумент с диагонализацией. Я покажу даже более сильный результат: существуют задачи, не входящие в P/nlog n. Пусть M1, M2, M3, … — список полиномиальных по времени машин Тьюринга. Кроме того, зафиксируем длину входной строки n. Я утверждаю, что существует булева функция f: {0, 1}n → {0, 1}, которую первым n машинам (M1,…, Mn) не удается вычислить даже при наличии любой nlog n-битной строки совета. Почему? Просто посчитаем: существует 2
Почему для меня так важен совет? Во-первых, он появляется снова и снова, даже если нас, к примеру, интересуют лишь однородные вычисления. Даже если мы хотим узнать всего лишь, можно ли дерандомизировать BPP, оказывается, что и этот вопрос имеет отношение к совету. Так что совет очень тесно связан с остальными понятиями вычислительной сложности. По существу, можно считать, что алгоритм с советом ничем не отличается от бесконечной последовательности алгоритмов, точно как мы видели в случае теоремы ускорения Блума. Это всего лишь алгоритм, где по мере увеличения длины входной строки вам приходится использовать все новые идеи и добиваться все большего ускорения. Совет можно, в частности, рассматривать так.
Могу привести и другой аргумент. Совет можно воспринимать как «сублимированное» вычисление. Существуют некие громадные вычислительные мощности, результат работы которых мы затем сушим, прессуем и заключаем в вакуумную оболочку, превращая в удобную строку полиномиального размера, и выкладываем на полку в отделе пресервов, где вы можете ее взять и разогреть в микроволновке до готовности к работе.
Совет формализует возможность того, что подобные результаты некоторого невычислимого процесса существуют где-то во Вселенной с начала времен. В конце концов, первоначальное состояние Вселенной нам достоверно неизвестно. Обычный аргумент в пользу того, что это оправданное предположение, состоит в том, что из какого бы состояния ваш компьютер ни начинал, есть какой-то физический процесс, который привел его в это состояние. Можно полагать, что это лишь полиномиальный по времени физический процесс. Следовательно, вы могли бы смоделировать весь процесс, приведший компьютер в это состояние, обратным ходом до самого Большого взрыва, если бы потребовалось. Но есть ли в этом смысл?
Разумеется, все это время мы с вами танцевали вокруг настоящего вопроса: может ли совет помочь нам в решении задач, которые нас действительно интересуют, таких как NP-полные задачи? В частности, верно ли, что NP ⊂ P/poly? Интуитивно представляется, что вряд ли: булевых формул размера n экспоненциально много, так что если бы вы даже получили каким-то образом от Бога строку совета полиномиального размера, то как бы это помогло вам определить выполнимость больше чем крохотной части этих формул?
Но — и я уверен, что для вас это станет полнейшим шоком, — мы не можем доказать, что этоневозможно. Правда, в данном случае у нашего невежества есть хорошее оправдание, поскольку если P = NP, то, очевидно, верно также и NP ⊂ P/poly. Но вот вопрос: если бы нам удалосьдоказать P ≠ NP, то доказали бы мы тем самым, что NP ⊄ P/poly? Иными словами, следует ли из NP ⊂ P/poly, что P = NP? Увы, мы не знаем ответа даже на этот вопрос.
Но, как и в случае с BPP и NP, ситуация не настолько неприятна, как кажется. Карпу и Липтону все же удалось доказать в 1982 г., что если NP ⊂ P/poly, то полиномиальная иерархия PHсхлопывается до второго уровня (то есть до NPNP). Иными словами, если вы верите, что полиномиальная иерархия бесконечна, вы должны также верить, что NP-полные задачи не решаются эффективно неоднородными алгоритмами.
Эта теорема Карпа — Липтона — самый известный пример очень обширного класса результатов теории вычислительной сложности, класса, который описывают формулировкой «если бы ослы умели свистеть, то свиньи умели бы летать». Иными словами, если бы одна вещь, в истинность которой никто не верит, была бы истинна, то истинна была бы и другая вещь, в истинность которой тоже никто не верит! Интеллектуальный онанизм, говорите? Чепуха! Интересно здесь то, что обе эти вещи, в истинность которых никто не верит, прежде казались совершенно не связанными одна с другой.
Замечание немного не в тему, но доказательство теоремы Карпа — Липтона будет поинтереснее целой бочки карпов. Поэтому рассмотрим его прямо сейчас. Предположим, что NP⊂ P/poly; нужно доказать, что полиномиальная иерархия схлопнется до второго уровня, или, что эквивалентно, что co-NPNP = NPNP. Рассмотрим произвольную задачу в co-NPNP, примерно такую:
Для всех n-битных строк x существует ли n-битная строка y, такая, что Φ (x, y) дает результат «истина»?
(Здесь Φ — некоторая произвольная полиномиального размера булева формула.)
Нам нужно найти вопрос из NPNP, то есть вопрос, в котором квантор существования идет впереди квантора общности, ответ на который совпадает с ответом на приведенный выше вопрос. Но что это может быть за вопрос? Уловка тут вот в чем: сначала мы используем квантор существования, чтобы угадать полиномиального размера строку совета an. Затем мы используем квантор общности, чтобы угадать строку x. Наконец, мы используем строку совета an, — вместе с предположением, что NP ⊂ P/poly, — чтобы самостоятельно угадать y. Таким образом:
Существует ли строка совета an, такая, что для всех n-битных строк x булева формула φ(x, M(x, an)) дает результат «истина»?
Здесь M — это полиномиальная по времени машина Тьюринга, которая при заданном входе x и совете an выдает в качестве результата n-битную строку y, такую, что φ(x, y) дает при вычислении «истину» всякий раз, когда такой y существует. По аналогии с одной из задач предыдущей главы мы можем без труда построить такую M при условии, что умеем решать NP-полные задачи в P/poly.
Ну хорошо, я уже рассказывал, что неоднородность тесно связана со случайностью — настолько, что трудно говорить об одной, не упоминая другой. Так что в конце этой главы я хочу рассказать вам о двух моментах, связывающих случайность и неоднородность: о простой связи, открытой Адлеманом в 1970-е гг., и второй, глубокой, которую открыли Импальяццо, Нисан и Вигдерсон в 1990-е гг.
Простая связь заключается в том, что BPP ⊂ P/poly, иными словами, неоднородность по крайней мере столь же мощна, как и случайность. Почему так, как вы считаете?
Ну давайте посмотрим, почему. Имея некоторое BPP-вычисление, первое, что мы делаем, — это усиливаем вычисление до экспоненциально малой ошибки. Иными словами, мы повторяем вычисление, скажем, n2 раз, а затем выводим ответ, полученный в большинстве случаев, так что вероятность сделать ошибку падает с 1/3 до примерно 2
Далее. Сколько существует входных строк длины n? Верно: 2n. И для каждой входной строки лишь 2
Итак, мы увидели простую связь между случайностью и неоднородностью. Прежде чем переходить к глубокой связи, позвольте мне сделать два замечания.
1. Даже если P ≠ NP, вас может заинтересовать, могут ли NP-полные задачи решаться за вероятностное полиномиальное время. Иными словами, входит ли NP в BPP? Понятно, что мы уже можем сказать кое-что конкретное по этому поводу. Если NP ⊆ BPP, то, разумеется, NP ⊂ P/poly (поскольку BPP ⊂ P/poly). Но это означает, что PH схлопывается по теореме Карпа — Липтона. Так что если вы верите, что полиномиальная иерархия бесконечна, то вы верите также, что NP-полные задачи не имеют эффективного решения рандомизированными алгоритмами.
2. Если неоднородность может моделировать случайность, то не может ли она также моделировать квантовость? Иными словами, верно ли, что BQP ⊂ P/poly? Вообще-то мы не знаем, но считается, что скорее всего да. Доказательство Адлемана (что BPP входит в P/poly) полностью рассыплется, конечно, если заменить BPP на BQP. Но это ставит интересный вопрос: а почему оно рассыплется? В чем принципиальная разница между квантовой теорией и классической теорией вероятностей, заставляющая это доказательство работать в одном случае, но не в другом? Я оставлю этот вопрос вам в качестве упражнения.
Ну хорошо, перейдем теперь к глубокой связи. Помните задачу проверки на простоту, о которой речь шла ранее в этой главе? С годами эта задача сползала все ниже и ниже по иерархии сложности, как обезьянка с ветки на ветку:
Очевидно, что проверка на простоту входит в co-NP.
В 1975 г. Пратт показал, что она входит в NP.
В 1977 г. Соловей, Штрассен и Рабин показали, что она входит в co-RP.
В 1992 г. Адлеман и Хуанг показали, что она входит в ZPP.
В 2002 г. Аграваль, Кайал и Саксена показали, что она входит в P.
Общий проект по превращению рандомизированных алгоритмов в детерминированные называется дерандомизацией (согласитесь, подобное слово может понравиться только специалисту по теоретической информатике). История задачи проверки на простоту — поистине впечатляющий пример успеха этого проекта. Но с успехом приходит и очевидный вопрос: любой ли рандомизированный алгоритм можно дерандомизировать? Иными словами, верно ли, что P равно BPP?
Опять же мы не знаем ответа на этот вопрос. Обычно, если мы не знаем, равны ли два класса сложности, «по умолчанию» они предполагаются различными. Так было и с P и BPP — зловещая музыка — до последнего времени. Однако в последние полтора десятка лет всё новые появляющиеся свидетельства убедили почти всех нас в том, что P = BPP. Мы не можем здесь сколько-нибудь глубоко разобрать эти свидетельства. Но позвольте мне процитировать одну теорему, просто чтобы показать вам, на что это похоже.
Теорема (Импальяццо — Вигдерсон, 1997)[39]. Пусть существует задача, решаемая за экспоненциальное время и не решаемая за субэкспоненциальное время даже при помощи строки совета субэкспоненциального размера. Тогда P = BPP.
Обратите внимание, как эта теорема связывает дерандомизацию с неоднородностью и, в частности, с доказыванием того, что определенные задачи трудны для неоднородных алгоритмов. Предположение, безусловно, представляется правдоподобным. С нашей сегодняшней точки зрения вывод (что P = BPP) также представляется правдоподобным. И все же впечатление таково, что они не имеют никакого отношения друг к другу. Так что про эту теорему можно было бы сказать: «Если ослы умеют кричать по-ослиному, то свиньи умеют хрюкать».
Откуда берется эта связь между случайностью и неоднородностью? Она исходит из теории генераторов псевдослучайных последовательностей. Мы познакомимся с псевдослучайными генераторами гораздо подробнее в следующей главе, когда будем говорить о криптографии. Но в основе своей псевдослучайный генератор — это всего лишь функция, принимающая на вход короткую строку (называемую зерном) и выдающая на выходе длинную строку таким образом, что если зерно случайно, то выходная строка выглядит случайной. Очевидно, выход не может быть случайным, поскольку в нем недостаточно энтропии: если зерно имеет длину k бит, то возможных выходных строк может быть лишь 2k, независимо от их длины. Однако мы хотим лишь, чтобы никакой алгоритм полиномиального времени не мог успешно отличить выход псевдослучайного генератора от «настоящей» случайности. Разумеется, нам также хотелось бы, чтобы функция, превращающая зерно в выходную последовательность, была вычислима за полиномиальное время.
Уже в 1982 г. Энди Яо понял, что если бы можно было создать «достаточно хороший» псевдослучайный генератор, то можно было бы и доказать, что P = BPP. Почему? Ну предположим, что для любого целого k у вас имеется способ растянуть O(log n)-битное зерно в n-битную выходную псевдослучайную последовательность за полиномиальное время таким способом, что никакой алгоритм, выполняющийся за время nk, не мог бы успешно отличить ее от истинно случайной последовательности. И предположим, у вас есть BPP-машина, работающая за время nk. В таком случае вы можете просто сделать цикл по всем возможным зернам (которых существует лишь полиномиальное количество), скормить соответствующие выходные данные BPP-машине, а затем выдать в качестве результата ответ, составивший большинство. Вероятность того, что BPP-машина принимает, получив на вход псевдослучайную строку, должна быть примерно равна вероятности того, что она принимает, получив на вход по-настоящему случайную строку, поскольку иначе машина легко отличит случайные строки от псевдослучайных, вопреки нашему предположению!
Но какова во всем этом роль неоднородности? Вот в чем дело: кроме случайной (или псевдослучайной) строки, BPP-машина получает входную строку x. И нам нужно, чтобы дерандомизация работала для всех x. Но это означает, что для целей дерандомизации мы должныдумать об x как о строке совета, исходящей от некоего сверхразумного советчика с единственной целью замаскировать псевдослучайный генератор. Понимаете, поэтому-то нам и нужна была задача, трудная даже при наличии совета: нам нужно построить генератор псевдослучайной последовательности, неотличимой от случайной даже в присутствии «советчика» x.
Подведем итоги: если бы мы могли доказать, что определенные задачи достаточно трудны для неоднородных алгоритмов, то мы доказали бы, что P = BPP.
Это ведет нас к третьему различию между BPP и BQP: если большинство специалистов верит, что P = BPP, то опять же большинство определенно не верит, что P = BQP. (В самом деле, мы не можем в это верить, если мы верим, что разложение на простые множители — трудная задача для классических компьютеров.) У нас нет программы «деквантизации», которой можно было бы приписать хотя бы малую долю успеха программы дерандомизации. Опять же создается впечатление, что между квантовой теорией и классической теорией вероятностей существует принципиальная разница, которая позволяет некоторым идеям (таким как идеи Сипсера, Гача и Лаутемана, Адлемана, Импальяццо — Вигдерсона) работать для второй, но не для первой.
Кстати говоря, Кабанец и Импальяццо[40] (и другие) сумели продемонстрировать нечто обратное — в определенном смысле — теоремам дерандомизации. Они показали, что если мы хотим доказать, что P = BPP, то нам придется доказать, что определенные задачи трудны для неоднородных алгоритмов. Это можно воспринимать как своеобразное объяснение причины, по которой никому еще не удалось доказать, P = BPP, хотя это и предполагается. Говоря точнее, дело в том, что если вы хотите доказать, P = BPP, то вам придется доказывать, что определенные задачи трудны, а если вы хотите доказать, что эти задачи трудны, то вы (по крайней мере косвенно) должны будете разбираться с вопросом о P и NP. В теории вычислительной сложности едва ли не любой вопрос в конце концов сходится к проблеме P и NP.
Загадки
1. Вы с приятелем хотите бросать монетку, но единственная монетка, которая у вас имеется, явно неправильная: на ней выпадает орел с некоторой фиксированной, но неизвестной вероятностью p. Сможете ли вы с помощью этой монетки смоделировать бросание настоящей честной монетки? (Я имею в виду, идеально честной, а не просто приблизительно честной.)
2. n человек встали в круг. У каждого из них на голове либо красная, либо синяя шляпа, полученные случайно, равномерно и независимо. Каждый может видеть шляпы всех остальных, но не свою собственную. Эти люди хотят устроить голосование на тему того, является ли число красных шляп четным или нечетным. Все голосуют одновременно, так что голоса друг на друга не влияют. Какова максимальная вероятность, с которой люди могут выиграть в этой игре? (Под «выиграть» я подразумеваю, что результат голосования будет соответствовать истине.) Считать для простоты, что число n нечетное.
Крипто
Ответы на загадки из главы 7
Загадка 1. Нам дана неправильная монетка, при бросании которой орел выпадает с вероятностью p. При помощи этой монетки нужно «построить» механизм моделирования честной монетки.
Решение. Нужное нам решение — это так называемый фокус фон Неймана: бросаем монетку дважды, интерпретируя ОР как орла, а РО как решку. (Если выпадут ОО или РР, пробуем еще раз.) Теперь «орел» и «решка» равновероятны, поскольку в любом заданном испытании то и другое возникает с вероятностью p (1 – p). Следовательно, такая модель монетки работает честно (при условии, что выпадает ОР или РО).
Загадка 2. n человек сидят по кругу. У каждого из них на голове либо красная, либо синяя шляпа, полученные случайно, равномерно и независимо. Каждый может видеть шляпы всех остальных, но не свою собственную. Основываясь только на том, что видит, каждый высказывает свое мнение: является число красных шляп нечетным или нет. Существует ли схема, при которой результат голосования будет верным с вероятностью, большей 1/2?
Решение. Каждый человек определяется с голосованием так: если число видимых ему синих шляп больше, чем число видимых красных шляп, он голосует в соответствии с четностью числа видимых красных шляп. В противном случае — голосует наоборот. Если число красных шляп отличается от числа синих на две или больше, то эта схема срабатывает точно. Если нет, схема может и не сработать. Однако вероятность того, что число красных шляп отличается от числа синих меньше чем на 2, невелика — O (1/√N).
Крипто
Криптография уже более 3000 лет играет заметную роль в истории человечества. Немало войн было выиграно или проиграно благодаря хитроумности или глупости криптосис-тем. Если вам кажется, что я преувеличиваю, почитайте «Взломщиков кодов» Дэвида Кана[41] — и не забывайте, что эта книга написана еще до того, как стала известна крупнейшая криптографическая история всех времен: взлом нацистского военно-морского шифра во Второй мировой войне командой с участием Алана Тьюринга.
И все же, хотя криптография тысячелетиями влияла на человеческие дела, события последних тридцати лет полностью — да, именно полностью! — изменили наши представления о ней. Если нанести на шкалу времени основные математические открытия в области криптографии, то вы увидите несколько отметок в античности, несколько, может быть, от Средневековья до XIX века, одно в 1920-е гг. (одноразовые ключи), еще несколько во время и около Второй мировой войны — а затем, после рождения теории вычислительной сложности в 1970-е гг., они пойдут сплошным потоком, одно за одним…
Наше путешествие по истории криптографии начнется со знаменитого и жалкого «шифра Цезаря», использовавшегося в Римской империи. В нем обычное послание превращается в шифрованный текст простым добавлением 3 к номеру каждой буквы (с замыканием алфавита в кольцо, так что после Z снова идет A). Таким образом, D превращается в G, Y становится B, а DEMOCRITUS выглядит как GHPRFULWXV. Были и более сложные варианты шифра Цезаря (он же шифр замены), но при наличии достаточного количества зашифрованного текста все их нетрудно взломать при помощи (например) частотного анализа присутствия букв в зашифрованном тексте. Правда, это не очень-то останавливает людей в использовании подобных вещей! Представьте себе, совсем недавно, в 2006 г., глава сицилийской мафии[42] был наконец-то пойман после 40 лет охоты потому, что использовал шифр Цезаря — его оригинальную версию — для отправки записок своим подчиненным!
Может ли существовать криптосис-тема, безопасная с точки зрения теории информации, то есть доказуемо надежная вне зависимости от того, сколько компьютерного времени есть у перехватившей сообщение стороны на его взлом? Поразительно (если вы никогда прежде об этом не слышали), но ответ на этот вопрос оказывается положительным, и еще более поразительно, что такая сис-тема была открыта только в 1920-е гг. По причинам, о которых мы поговорим чуть позже, прототип сис-темы, безопасной согласно теории информации, называется одноразовым ключом. Идея проста: текстовое сообщение представляется в виде двоичной строки p, над которой производится операция исключающего «или» (xor) со случайной двоичной ключевой строкой kтой же длины. То есть зашифрованный текст c равен p ⊕ k, где знаком ⊕ обозначается побитовое сложение по модулю 2.
Получатель (которому известна k) может расшифровать шифрованное послание при помощи еще одной операции исключающего «или»:
c ⊕ k = p ⊕ k ⊕ k = p.
Для стороны, перехватившей послание и не знающей k, зашифрованный текст — это просто строка случайных бит, поскольку результатом операции исключающего «или» между произвольной строкой (посланием) и случайной строкой является еще одна случайная строка. Проблема с одноразовыми ключами, конечно, в том, что и отправителю, и получателю должен быть известен ключ, не менее длинный, чем само послание. Более того, если один и тот же ключ будет использован для шифрования двух или более посланий, то криптосис-тема перестанет быть безопасной с точки зрения теории информации. (Отсюда и название — «одноразовый ключ».) Чтобы понять, почему, предположим, что два текста p1 и p2 шифруются при помощи одного и того же ключа k и дают в результате шифрованные тексты c1 и c2 соответственно. Тогда мы имеем
c1 ⊕ c2 = p1 ⊕ k ⊕ p2 ⊕ k = p1 ⊕ p2,
и, следовательно, перехвативший может получить строку p1 ⊕ p2. Само по себе это может оказаться, а может и не оказаться полезным, но это, по крайней мере, позволяет противнику получить какую-то информацию об исходном тексте. Но ведь это всего лишь математическая диковинка, не правда ли? Ну, в 1940-е годы Советы проявили небрежность и использовали повторно некоторые из своих одноразовых ключей. В результате Агентство нацио-нальной безопасности АНБ в рамках проекта VENONA сумело восстановить некоторые (хотя и не все) зашифрованные таким способом сообщения. Кажется, именно так были пойманы Юлиус и Этель Розенберги.
В 1940-е гг. Клод Шеннон доказал, что теоретически надежная криптография требует, чтобы у отправителя и получателя был общий ключ длиной не менее длины того сообщения, которое они хотят передать. Как почти все результаты Шеннона, задним числом этот вывод кажется тривиальным. (Хорошо начинать с самого начала!) Вот его доказательство: если имеются шифрованный текст и ключ, лучше, чтобы исходный текст восстанавливался по этим данным однозначно. Иными словами, при любом фиксированном ключе функции, преобразующей исходный текст в шифрованный, лучше быть инъективной. Но из этого сразу же следует, что для заданного шифрованного текста c число исходных текстов, из которых в принципе мог получиться c, не превышает числа ключей. Иными словами, если возможных ключей меньше, чем исходных текстов, то противник сможет исключить некоторые из исходных текстов — те, из которых c не получится ни при каком значении ключа. Поэтому наша криптосис-тема не будет совершенно надежной. Следовательно, если мы хотим совершенной надежности, нужно иметь по крайней мере столько же ключей, как и исходных текстов — или, что эквивалентно, ключ должен содержать по крайней мере столько же бит, сколько содержится в исходном тексте.
Я уже упоминал, что передавать друг другу и хранить ключи громадной длины, как правило, непрактично, — даже КГБ не удавалось проделывать это без сучка без задоринки! Потому нам нужна криптосис-тема, которая позволяет обходиться менее длинными ключами. Конечно, результат Шеннона подразумевает, что такая сис-тема не будет надежной с точки зрения теории информации. Но что, если мы немного снизим требования? В частности, что, если мы будем считать, что перехвативший ограничен полиномиальным временем? Этот вопрос естественным образом переводит нас к нашей следующей теме…
Генераторы псевдослучайных последовательностей
Как я упоминал в предыдущей главе, генератор псевдослучайной последовательности PRG — это, по существу, функция, которая принимает на вход короткую, по-настоящему случайную строку и выдает на выходе длинную, кажущуюся случайной строку. В более формальной формулировке, генератор псевдослучайной последовательности — это функция f, которая обладает следующими свойствами:
1. f преобразует n-битную входную строку, именуемую зерном, в p(n)-битную выходную строку, где p(n) — некоторый полиномиал, больший n.
2. f вычислима за полиномиальное по отношению к n время.
3. Для любого полиномиального по времени алгоритма A, именуемого противником, разность
|Prn-битные строки x [A принимает f(x)] – Prp(n)-битные строки y [A принимает y]|
пренебрежимо мала — под этим я подразумеваю, что она уменьшается быстрее, чем 1/q(n) для любого полиномиального q. (Разумеется, уменьшение с экспоненциальной скоростью еще лучше.) Или, обычным языком, никакой полиномиальный по времени противник не может отличить выход f от по-настоящему случайной строки с каким бы то ни было непренебрежимым смещением.
Вы можете задаться вопросом: насколько «резиновый» псевдослучайный генератор нам нужен? Чего мы добиваемся? Растянуть n-битное зерно до 2n бит? До n2 бит? До n100 бит? Оказывается ответ не имеет значения.
Почему? Потому что, даже если у нас есть псевдослучайный генератор f, который всего лишь растягивает n бит в n + 1 бит, мы можем рекурсивно применять его к его собственному выходу и таким образом растянуть n бит в p(n) бит для любого полиномиального p. Более того, если выход этого рекурсивного процесса будет эффективно отличим от случайной p(n)-битной строки, то выход самой f тоже окажется эффективно отличимым от случайной (n + 1)-битной строки, что противоречит первоначальному предположению! Конечно, кое-что здесь нужно доказывать, но это можно доказать, а я на этом остановлюсь[43].
Итак, я утверждаю, что если псевдослучайный генератор существует, то можно построить вычислительно надежную криптосис-тему с использованием коротких шифровальных ключей. Понимаете, почему?
Верно: сначала при помощи псевдослучайного генератора растягиваем короткий шифровальный ключ в длинный — такой же длинный, как и шифруемое сообщение. Затем делаем вид, что этот длинный ключ по-настоящему случаен и используем его точно так же, как использовали бы одноразовый ключ!
Почему эта схема надежна? Как всегда в современной криптографии, будем рассуждать через сведение. Предположим, что имея только зашифрованное сообщение, противник может узнать что-то об исходном тексте за полиномиальное время. Но мы уже видели, что если шифровальный ключ действительно случаен, то это невозможно. Тогда получается, по существу, что противник сумел отличить псевдослучайный ключ от случайного. Но это противоречит нашей посылке о том, что никакой полиномиальный алгоритм не способен их различить!
Нельзя не признать, что все эти рассуждения носят изрядно абстрактный и концептуальный характер. Конечно, имея генератор псевдослучайной последовательности, мы могли бы делать чудесные вещи, но есть ли у нас основания полагать, что псевдослучайные генераторы существуют?
Для начала тривиальное наблюдение: PRG может существовать только в том случае, если P ≠ NP. Почему?
Верно: потому что если P = NP, то, имея случайную будто бы строку y, мы могли бы за полиномиальное время определить, существует ли короткое зерно x, такое что f(x) = y. Если yслучайна, то такого зерна почти наверняка нет, так что если оно все же существует, то мы можем быть почти уверены в том, что строка y не случайна. Таким образом, мы можем отличить выход fот истинной случайности.
Ну хорошо, будем считать, что P ≠ NP. Можем ли мы привести конкретные примеры функций, которые считаются генераторами псевдослучайных последовательностей?
Одним из примеров такой функции может служить так называемый генератор Блюм — Блюма — Шуба[44]. Вот как он работает: выберем большое составное число N. Тогда зерно x будет случайным элементом ZN. Имея это зерно, сначала вычисляем x2 mod N, (x2)2 mod N, ((x2)2)2mod N и т.п. Затем объединяем в цепочку младшие биты в двоичных представлениях этих чисел и выдаем все это на выход как псевдослучайную строку f(x).
Блюм с соавторами сумели показать, что если бы у нас был полиномиальный алгоритм различения f(x) и случайной строки, то (опуская некоторые технические подробности) мы могли бы использовать этот алгоритм для разложения N на простые множители за полиномиальное время. Или, что эквивалентно, если разложение на простые множители — трудная задача, то алгоритм Блюм — Блюма — Шуба есть генератор псевдослучайной последовательности. Вот вам еще один пример, когда для «доказательства» того, что какая-то задача является трудной, мы показываем, что если бы она была простой, то простой была бы и какая-то другая задача, которую мы считаем трудной.
Увы, мы не считаем разложение на простые множители трудной задачей, по крайней мере в мире, где существуют квантовые компьютеры! Можем ли мы обосновать надежность наших псевдослучайных генераторов какими-то другими соображениями, более серьезными с квантовой точки зрения? Да, можем. Существует множество способов построения функций — кандидатов на роль псевдослучайных генераторов, и у нас нет причин полагать, что квантовые компьютеры смогут взломать их все. Ведь функцию — кандидата на роль PRG можно построить даже на кажущейся непредсказуемости, скажем, одномерного клеточного автомата, известного как «Правило 110» и описанного Стивеном Вольфрамом в его революционной книге, крушащей основы и сдвигающей парадигму.
Разумеется, нашей мечтой было бы обосновать надежность PRG при помощи наименее слабого из всех возможных предположений — самого P ≠ NP! Но при попытках сделать это математики сталкиваются с двумя интересными проб-лемами.
Первая проб-лема состоит в том, что в задаче «P и NP» рассматривается только наихудшийслучай. Представьте, что вы генерал или президент банка и что кто-то пытается продать вам сис-тему шифрования, у которой, согласно рекламным материалам, существует послание, которое трудно расшифровать. Вы понимаете, в чем тут сложность: и для сис-тем шифрования, и для PRG нам нужны NP-задачи, трудные в среднем, а не только в наихудшем случае. (Технически нам нужны задачи, которые трудны в среднем по отношению к некоторому распределению по входным данным с эффективной выборкой, не обязательно равномерному.) Но никто пока не смог доказать, что такие задачи существуют, даже если принять за факт, что P ≠ NP.
Это не означает, однако, что мы ничего не знаем о трудности в среднем случае. В качестве примера рассмотрим задачу нахождения кратчайшего вектора. В ней задана решетка L в пространстве Rn, состоящая из всех целочисленных линейных комбинаций некоторых заданных векторов v1, …, vn в Rn. Задача в том, чтобы аппроксимировать длину кратчайшего ненулевого вектора в L с точностью до некоторого мультипликативного коэффициента k.
Задача нахождения кратчайшего вектора — одна из немногих задач, для которых мы можем доказать эквивалентность наихудшего и среднего случая (то есть что средний случай здесь нисколько не менее труден, чем наихудший), по крайней мере когда коэффициент аппроксимации k достаточно велик. Основываясь на этой эквивалентности, Айтаи, Дворк[45], Регев[46] и др. построили криптосис-темы и генераторы псевдослучайных последовательностей, надежность которых опирается на трудность задачи нахождения кратчайшего вектора в наихудшем случае. К несчастью, те же свойства, что позволили нам в данном случае доказать эквивалентность наихудшего и среднего случаев, делают маловероятной NP-полноту задачи для релевантных значений k. Представляется более вероятным, что задача нахождения кратчайшего вектора является промежуточной между P и NP-полными, так же как, по современным представлениям, и задача разложения на простые множители.
Ну хорошо, предположим, что мы просто примем как данность, что NP-полные задачи являются трудными в среднем случае. Даже в этом случае при попытке использовать NP-полные задачи для построения генератора псевдослучайной последовательности возникает еще одна проб-лема. Дело в том, что задача взлома псевдослучайного генератора, судя по всему, просто имеет неподходящую «форму» для того, чтобы быть NP-полной. Что я имею в виду? Вспомните, как мы доказываем NP-полноту некоторой задачи B: мы берем задачу A, о которой заранее известно, что она NP-полная, и придумываем полиномиальный по времени способ сведения, превращающий «да-случаи» A в «да-случаи» B, а «нет-случаи» A в «нет-случаи» B. В ситуации с задачей взлома PRG «да-случаями», надо полагать, были бы псевдослучайные строки, а «нет-случаями» — истинно случайные строки (или, может быть, наоборот).
Видите здесь проблему? Если нет, позвольте мне разжевать еще подробнее: как нам описать «истинно случайную строку» для того, чтобы сводить к ней? Весь смысл истинной случайности строки в том, что мы не можем описать ее чем бы то ни было более коротким, чем она сама! Правда, в этом аргументе полно дыр, одна из которых состоит в том, что процедура сведения может быть рандомизирована. Тем не менее из этого можно сделать некоторый вывод: если задача взлома PRG NP-полная, то доказывать это нужно как-то совершенно иначе, чем в тех доказательствах NP-полноты, к которым мы привыкли.
Односторонние функции
Односторонние функции — близкие родственники псевдослучайных генераторов. На интуитивном уровне односторонней называется функция, которую легко вычислить, но трудно обратить. Более формально, функция f преобразования из n бит в p(n) бит является односторонней, если выполняется следующее:
1. f вычислима за полиномиальное время от n.
2. Для любого полиномиального по времени противника A вероятность того, что функция A успешно инвертирует f,
Prn-битные строки x [f(A (f(x))) = f(x)],
пренебрежимо мала, то есть меньше, чем 1/q(n) для любого полиномиального q.
Событие f(A(f(x))) = f(x) фигурирует в определении вместо простого A(f(x)) = x, чтобы учесть тот факт, что f может иметь несколько обратных функций. С таким определением мы рассматриваем алгоритмы A, которые находят хоть что-нибудь в прообразе f(x), не обязательно сам x.
Я утверждаю, что из существования генераторов псевдослучайных последовательностей следует существование односторонних функций (OWF). Можете сказать, почему?
Верно: потому что PRG и есть OWF!
Ну хорошо, тогда можете доказать, что из существования OWF следует существование PRG?
Ага, это чуть посложнее! Основная причина в том, что выход OWF f не обязан выглядеть случайным для того, чтобы f было трудно инвертировать. И в самом деле, потребовалось больше десяти лет работы, — вершиной ее стала огромная статья, опубликованная в 1999 г. Хостадом, Импальяццо, Левиным и Луби[47], — чтобы понять, как построить генератор псевдослучайной последовательности из любой односторонней функции. Благодаря работе Хостада и др. мы сегодня знаем, что односторонние функции существуют в том и только том случае, если существуют псевдослучайные генераторы. Доказательство здесь, как можно ожидать, довольно сложное, а сведение не слишком реально, так как коэффициент «растягивания» может быть порядка n40! Из-за таких фокусов термин «полиномиальное время» пользуется дурной репутацией, но к счастью, это исключение, а не правило! Если мы примем, что односторонняя функция — это некоторая перестановка, то доказательство становится намного проще (его провел Яо еще в 1982 г.)[48], а сведение идет намного быстрее. Но, разумеется, результат получается менее общий.
До сих пор мы ограничивались рассмотрением криптосис-тем с закрытым ключом, в которых считается самоочевидным, что отправитель и получатель владеют общим секретным ключом. Но как могли бы вы обрести общий секретный ключ, скажем, с сайтом Amazon.com прежде, чем передадите им номер своей кредитной карты? Вы что, пошлете им ключ по электронной почте? Да... но если вы хотите так поступить, то лучше будет зашифровать свое сообщение при помощи другого секретного ключа, и так далее до бесконечности!
Решение, конечно, состоит в том, чтобы лично встретиться с работником фирмы Amazon в полночь в заброшенном гараже. Нет, погодите… Я хотел сказать, что решение — воспользоваться сис-темой шифрования с открытым ключом.
Криптография с открытым ключом
Поразительно, если подумать, что такая фундаментальная идея была высказана только в 1970-е гг. Физики уже причесывали Стандартную модель элементарных частиц, а криптографы все еще топтались на месте где-то на уровне Коперника!
Итак, как же возникла криптография с открытым ключом? Первыми изобретателями — или, скорее, первооткрывателями — были Эллис, Кокс и Уильямсон, работавшие в GCHQ (британский аналог американского Агентства нацио-нальной безопасности АНБ/NSA) в начале 1970-х гг. Разумеется, они не могли опубликовать результаты своей работы, и сегодня мало кто их знает! Пусть это будет для вас уроком.
Первой открытой криптосис-темой с открытым ключом стала в 1976 г. сис-тема Диффи и Хеллмана. Парой лет позже Ривест, Шамир и Адлеман открыли знаменитую сис-тему RSA, названную по их инициалам. А кто-нибудь из вас знает, как RSA была впервые представлена миру? Верно: как головоломка в колонке Мартина Гарднера[49] в Scientific American, посвященной математическим играм!
По сравнению с сис-темой Диффи — Хеллмана RSA имеет несколько преимуществ: к примеру, в ней только одна сторона, а не обе, должна генерировать открытый ключ, и она позволяет пользователям, помимо приватного общения, удостоверять себя. Но если вы прочтете статью Диффи и Хеллмана[50], то заметите, что там присутствуют практически все основные идеи.
Во всяком случае, сердцем любой криптосис-темы с открытым ключом является так называемая односторонняя функция с потайным входом, или «лазейкой». Это такая функция, которая
1. Легко вычисляется,
2. С трудом инвертируется и
3. Легко инвертируется при наличии некоторой секретной информации, то есть «лазейки».
Первые два требования, по существу, совпадают с требованиями к обычным односторонним функциям. Третье требование — что OWF должна иметь «лазейку», которая сильно упрощает задачу обращения функции, — является новым. Для сравнения обратите внимание, что существование обычных односторонних функций подразумевает существование надежных криптосис-тем с закрытым ключом, тогда как существование односторонних функций с лазейкой подразумевает существование надежных криптосис-тем с открытым ключом.
Итак, что может послужить реальным примером криптосис-темы с открытым ключом? Ну, большинство из вас в какой-то момент вашей математической жизни встречали RSA, поэтому я опишу его лишь кратко.
Предположим, что вы хотите передать номер своей кредитной карты на Amazon.com. Как это происходит? Сначала, Amazon случайным образом выбирает два больших простых числа p и q(это можно сделать за полиномиальное время) с формальным ограничением, что p – 1 и q – 1 не должны делиться на 3. (Причину такого ограничения мы увидим позже.) Затем Amazon вычисляет произведение N = pq и публикует его в открытом доступе для всех желающих, сохраняя при этом сами p и q в строгом секрете.
Предположим без потери общности, что номер вашей кредитки зашифрован в виде положительного целого числа x, которое меньше N, но не слишком намного меньше. После этого что вы делаете? Очень просто: вы вычисляете x3 mod N и высылаете результат на Amazon! Если какой-нибудь мошенник умудрится перехватить в пути ваше сообщение, ему придется восстанавливать x, зная только x3 mod N. Но вычисление кубических корней по модулю составного числа считается чрезвычайно трудной задачей, по крайней мере для классических компьютеров! Если p и q достаточно велики (скажем, по 10 000 знаков каждое), то мы можем надеяться, что любому классическому злоумышленнику, перехватившему сообщение, на поиск xпотребуются миллионы лет.
Это оставляет очевидный вопрос: как сам Amazon восстанавливает x? Раз плюнуть — с использованием p и q! Наш друг мистер Эйлер еще в 1761 г. сообщил, что последовательность
x mod N, x2 mod N, x3 mod N, …
повторяется с периодом (p – 1) (q – 1). Так что, если Amazon в состоянии найти целое число k, такое, что
3k = 1 mod (p – 1) (q – 1),
то в результате он получит
(x3)k mod N = x3k mod N = x mod N.
Далее, мы знаем, что такое k существует, по нашему предварительному условию, что p – 1 и q– 1 не делится на 3. Более того, Amazon может найти такое k за полиномиальное время при помощи алгоритма Евклида (известного очень--очень давно, примерно с 300 г. до н.э.) Наконец, имея x3 mod N, Amazon может вычислить (x3)k за полиномиальное время при помощи простого фокуса с последовательным возведением в квадрат. Вот вам RSA.
Чтобы сделать все как можно конкретнее и примитивнее, я предположил, что x всегда возводится в третью степень. Получающаяся в результате криптосис-тема — ни в коей мере не игрушка: насколько можно судить, она надежна! Однако на практике пользователи могут возводить (и возводят) x в произвольную степень. И еще одно замечание: возведение x не в куб, а в квадрат извлекло бы на свет божий новый клубок проблем, поскольку любое ненулевое число, имеющее квадратный корень по модулю N, имеет не один такой корень.
Конечно, если бы мошенник мог разложить N на произведение pq, он мог бы применить тот же алгоритм расшифровки, какой применяет и Amazon, и восстановить таким образом послание x. Так что вся схема шифрования опирается на предположение о том, что разложение на простые множители — трудная задача! Из этого немедленно следует, что мошенник с квантовым компьютером смог бы без особого труда взломать шифр RSA. Однако среди классических механизмов самый известный алгоритм разложения на простые множители — это метод решета числового поля, требующий примерно 2
В скобочках отметим, что никто еще не доказал, что взлом шифра RSA требует разложения на простые множители, возможно, существует более прямой путь к восстановлению послания x — путь, не требующий знания p и q. С другой стороны, в 1979 г. Рабин открыл вариант RSA, для которого доказано, что расшифровка исходного текста столь же трудна, как и разложение на простые множители.
Заметим, однако, что все эти разговоры о криптосис-темах, основанных на разложении больших чисел на простые множители и модульной арифметике, отдают прошлым веком! Сегодня мы понимаем, что стоит нам построить квантовый компьютер, и алгоритм Шора (речь о нем пойдет в главе 10) без труда взломает все эти вещи. Разумеется, специалисты по теоретической информатике не обошли вниманием этот факт; многие из них уже занимаются поиском односторонних функций с лазейками, которые могут оказаться надежными даже при наличии квантовых компьютеров. В настоящее время наши лучшие кандидаты на эту роль основаны на задачах с решетками, таких как уже описанная задача нахождения кратчайшего вектора. Если разложение на простые множители сводится к задаче о абелевой скрытой подгруппе, решаемой за квантовое полиномиальное время, то задача нахождения кратчайшего вектора, насколько известно, сводится только к задаче о диэдральной скрытой подгруппе, для которой не удалось установить, что она решаема за полиномиальное время, несмотря на более чем десятилетние усилия.
Вдохновленный этим наблюдением и опираясь на более ранние работы Айтаи и Дворка, Одед Регев предложил[51] криптосис-темы с открытым ключом, доказуемо надежные в ситуации с наличием квантового противника, если считать, что задача нахождения кратчайшего вектора трудна для квантовых компьютеров. Стоит отметить, что сами по себе его криптосис-темы являются чисто классическими. С другой стороны, даже если бы вам нужна была надежность в отношении классического противника, вам все равно пришлось бы считать, что задача нахождения кратчайшего вектора трудна для квантовых компьютеров, поскольку переход от этой задачи к взлому криптосис-темы — это квантовое сведение! Позже, в 2009 г., Крис Пикерт[52] открыл способ «деквантизации» сведения Регева, так что теперь достаточно уверенности в классическойтрудности задачи нахождения кратчайшего вектора.
Что еще интереснее, Крейг Джентри показал[53] в 2009 г., что, воспользовавшись предполагаемой трудностью определенных задач с решетками, связанных с нахождением кратчайшего вектора, можно строить полностью гомоморфные криптосис-темы: то есть криптосис-темы с открытым ключом, которые позволяют вам проводить произвольные вычисления с зашифрованными данными вообще без их расшифровки. Почему это важно? Ну, для таких приложений, как «облачные вычисления»: вам может потребоваться, скажем, переложить какие-то длинные вычисления с вашего мобильного устройства на какой-то внешний сервер, но так, чтобы не позволить этому серверу заглянуть в ваши секретные данные. То есть вы должны иметь возможность переслать на сервер зашифрованные входные данные, а сервер должен иметь возможность провести сложные вычисления, за которые вы заплатили, и переслать вам обратно зашифрованные выходные данные, которые вы затем сможете самостоятельно расшифровать (а может быть, даже и проверить); при этом сервер ничего о ваших данных не узнает. И дополнительный бонус: поскольку наши нынешние полностью гомоморфные сис-темы шифрования основаны на задачах, связанных с решетками, то у них с сис-темами Регева есть одна общая черта: никто не знает, как их взломать даже при помощи квантового компьютера. О возможности полностью гомоморфной криптографии впервые заговорили в 1970-е гг., но до самого последнего времени никто не знал, как это организовать. Так что это одно из крупнейших достижений теоретической криптографии за несколько десятков лет.
Но имеет ли все это практическое значение? Традиционно считалось, что нет. Лет десять назад длины ключей и сообщений в сис-темах на основе решетки были хотя формально и полиномиальными, но такими длинными, что сам вопрос казался почти шуткой: объем данных на пути от обычного текста к шифрованному увеличивался иногда в миллионы раз (в зависимости от того, какую степень надежности вы хотели получить). Но с тех пор криптография на решетках постепенно движется в направлении практичности, отчасти, откровенно говоря, потому, что все поняли: можно значительно повысить эффективность, поступившись в небольшой степени требованиями к надежности. Если когда-нибудь масштабируемые квантовые компьютеры, способные взломать RSA, покажутся серьезной и реальной опасностью, я предсказываю, что ответом на это станет переход на новые криптосис-темы с открытым ключом, похожие на криптосис-темы на решетках. И опять же перспектива создания полностью гомоморфного шифрования может дать дополнительный и совершенно отдельный повод для такого перехода.
А что же криптосис-темы на основе эллиптических кривых — еще один важный класс криптосис-тем с открытым ключом (в отличие от криптосис-тем на решетках, этот класс сегодня уже используется коммерчески)? К несчастью, криптосис-темы на эллиптических кривых легко взламываются квантовыми компьютерами, поскольку задача их взлома может быть выражена как задача поиска абелевой скрытой подгруппы. (Потому что группы эллиптических кривых — это абелевы группы.) С другой стороны, самые известные классические алгоритмы взлома криптосис-тем на эллиптических кривых, судя по всему, работают медленнее, чем решето числового поля при взломе RSA, — речь идет о степени ~2n против ~ 2n1/3. Не исключено, что этот факт относится к категории фундаментальных, но не исключено также, что причина просто в том, что группы эллиптических кривых не слишком хорошо изучены.
На этом мы завершаем наш краткий обзор классической теории сложности и криптографии; мы готовы говорить о квантовой механике.
Квант
Существует два способа преподавать квантовую механику. Первый способ — для многих физиков сегодня он по-прежнему единственный — следует исторической последовательности, в которой совершались открытия и высказывались идеи. Вы начинаете с классической механики и электродинамики и на каждом шагу долго и нудно решаете дифференциальные уравнения. Затем вы узнаете о «парадоксе черного тела», о различных странных экспериментальных данных и о глобальном кризисе в физике, порожденном этими вещами. Далее вы знакомитесь с пестрым лоскутным одеялом всевозможных идей, предложенных физиками с 1900 по 1926 г., когда все искали пути разрешения кризиса. Затем, если вам повезет, после долгих лет прилежных занятий вы наконец приступите к изучению центральной концептуальной идеи: что природа описывается не вероятностями (которые всегда неотрицательны), но числами, получившими название амплитуд, которые могут быть положительными, отрицательными или даже комплексными.
Ну да, очевидно, у физиков есть какие-то свои резоны для преподавания квантовой механики именно по этой методике; она прекрасно работает для определенного типа студентов. Но у «исторического» подхода есть и недостатки, которые в век квантовой информации становятся все более очевидными. К примеру, у меня были ситуации, когда специалисты по квантовой теории поля — люди, потратившие годы на вычисление головоломных интегралов по контуру, — просили меня объяснить им смысл неравенства Белла или других простых концептуальных вещей, таких как алгоритм Гровера. Я же чувствовал себя так, будто Эндрю Уайлс[54] попросил меня объяснить теорему Пифагора.
Непосредственным результатом того, что я определил для себе как алфавитный подход к объяснению квантовой механики, — вплоть до настоящего времени вы можете наблюдать его чуть ли не во всех популярных книгах и статьях, — стало то, что предмет этот приобрел ненужную репутацию запутанного и трудного. Образованные люди заучивали наизусть лозунги: «свет это одновременно волна и частица», «кот ни жив, ни мертв, пока вы на него не посмотрите», «вы можете узнать координату или импульс, но не то и другое одновременно», «одна частица мгновенно узнает спин второй частицы посредством жуткого дальнодействия» и т.п. Но они усваивали также, что не нужно даже пытаться понимать подобные вещи, не вложив в процесс годы упорного труда.
Другой способ преподавать квантовую механику состоит в том, чтобы отказаться от пошагового рассказа о ее открытии и начать вместо этого сразу с концептуальной основы, а именно с определенной генерализации законов вероятности с тем, чтобы разрешить в них знак минус (и, в более общем случае, комплексные числа). После усвоения основ можно сдобрить варево физикой по вкусу и заняться в свое удовольствие расчетом спектров любых атомов, каких вам захочется. Я предпочитаю второй подход и далее буду действовать соответственно.
Итак, что такое квантовая механика? Несмотря на то что открыта она была физиками, это не есть физическая теория в том смысле, в каком являются физическими теориями электромагнетизм или общая теория относительности. В обычной «иерархии наук», где на самом верху располагается биология, затем химия, затем физика и, наконец, математика, квантовая механика занимает уровень между математикой и физикой, для которого я не знаю хорошего названия. По существу, квантовая механика — это операционная сис-тема, в которой остальные физические теории работают как прикладные программы (за исключением общей теории относительности, которую до сих пор не удалось успешно подключить к данной конкретной ОС). Есть даже специальное слово, которое употребляют, когда берут физическую теорию и подключают к этой ОС: «квантование».
Но если квантовая механика — это не физика в обычном смысле, если она не занимается ни веществом, ни энергией, ни волнами, ни частицами, то чем же она занимается? С моей точки зрения, она занимается информацией, вероятностями, наблюдаемыми величинами и тем, как они соотносятся друг с другом.
В этой главе я хочу заявить следующую позицию. Квантовая механика — это то, к чему вы неизбежно придете, если начнете с теории вероятностей, а затем попытаетесь обобщить ее таким образом, чтобы числа, которые мы привыкли называть «вероятностями», могли принимать отрицательные значения. Если рассматривать квантовую механику в таком ключе, то можно сказать, что эту теорию могли придумать математики в XIX веке вообще без каких бы то ни было экспериментальных данных. Не придумали, но могли придумать.
Несмотря на все разнообразие изучаемых математиками структур, никто из них не предложил квантовой механики до тех пор, пока данные экспериментов буквально не вынудили их это сделать. И это идеальная иллюстрация на тему того, почему так важны эксперименты! Чаще всего единственная причина, по которой нам нужны эксперименты, состоит в том, что мы недостаточно умны. После того, как эксперимент проведен, если мы при этом узнали хоть что-то стоящее, мы можем надеяться узнать, почему этот эксперимент, вообще говоря, не был нужен — почему мир может быть только таким, какой он есть, и никаким другим. Но мы слишком тупы, чтобы разобраться в этом самостоятельно!
Можно привести еще два идеальных примера «очевидных задним числом» теорий: это теория эволюции и специальная теория относительности. Признаюсь, я не могу сказать наверняка, могли ли древние греки, облачившись в тоги и усевшись кружком, доказать истинность этих теорий. Но они точно — абсолютно точно! — были в состоянии решить, что они могут быть верны, потому что эти мощные принципы наверняка входили в инструментарий Бога, когда он определял лицо будущего мира.
В этой главе я попытаюсь убедить вас — без всяких ссылок на эксперименты — в том, что квантовая механика тоже должна была присутствовать в том божественном инструментарии. Я покажу вам, почему, если вы хотите получить вселенную с определенными очень общими свойствами, вам, судя по всему, придется выбирать одно из трех: либо (1) детерминизм, либо (2) классические вероятности, либо (3) квантовую механику. И даже если от «таинственности» квантовой механики вам никогда не удастся окончательно избавиться, вы, наверно, удивитесь, насколько далеко можно было зайти, не покидая удобного кресла! Тот факт, что никто не продвинулся сколько-нибудь далеко до тех пор, пока атомные спектры и тому подобные штуки не навязали физикам эту теорию буквально силой, является, на мой взгляд, одним из сильнейших аргументов в пользу того, что эксперименты необходимы.
Вероятность меньше 0%?
Ну хорошо, попробуем разобраться, что все-таки значит иметь «теорию вероятностей» с отрицательными числами? Ну, вообще-то есть серьезная причина тому, что в прогнозе погоды вы никогда не услышите о вероятности завтрашнего дождя, равной –20%, — в этом и правда смысла так же мало, как кажется. Но я бы хотел, чтобы вы отбросили всякие сомнения и просто подумали абстрактно о событии с N возможными исходами. Мы можем выразить вероятности этих исходов вектором из N действительных чисел:
(p1, …, pN).
Математически что мы можем сказать об этом векторе? Ну, лучше все-таки, чтобы вероятности были неотрицательными, а их сумма составляла единицу. Мы можем выразить последний факт, сказав, что первая норма вектора вероятностей должна равняться единице. (Первая норма — это просто сумма абсолютных значений элементов, иногда ее еще называют манхэттенской нормой или расстоянием городских кварталов.)
Но манхэттенская норма — не единственная норма на свете; это не единственный известный нам способ определить «размер» вектора. Существуют и другие способы, и одним из любимых у математиков со времен Пифагора была вторая, или евклидова норма. С формальной точки зрения евклидова норма представляет собой квадратный корень из суммы квадратов элементов. Неформально же она означает, что когда вы опаздываете на занятия, то вместо того чтобы идти по двум взаимно перпендикулярным дорожкам, вы срезаете путь через газон.
Итак, что произойдет, если вы попытаетесь предложить какую-нибудь теорию, похожую на теорию вероятностей, но основанную на второй норме, а не на первой? Я попытаюсь убедить вас, что неизбежный результат подобных занятий — квантовая механика.
Рассмотрим единственный бит. В теории вероятностей мы можем описать этот бит так: вероятность того, что он равняется 0, равна p, а вероятность того, что он равняется 1, равна 1 – p. Но если перейти от первой нормы ко второй, то нам уже не потребуются два числа, в сумме дающие 1; нам потребуются два числа, квадраты которых в сумме дают единицу. (Я считаю, что мы по-прежнему говорим о действительных числах.) Иными словами, мы теперь хотим вектор (α, β), где α2 + β2 = 1. Разумеется, множество всех таких векторов образует окружность.
Теорию, которую мы сейчас изобретаем, нужно будет каким-то образом согласовать с наблюдениями. Предположим, у нас есть некий бит, описываемый вектором (α, β). Далее, нам потребуется указать, что происходит, если мы смотрим на этот бит. Ну, поскольку это все-таки бит, то увидеть мы должны либо 0, либо 1! Более того, вероятность увидеть 0 и вероятность увидеть 1 в сумме просто обязаны давать единицу. Итак, если начать с вектора (α, β), то как мы можем получить два числа, которые в сумме дадут единицу? Просто: мы можем сказать, что α2 — это вероятность результата 0, а β2 — вероятность результата 1.
Но в таком случае почему нам не забыть вообще об α и β и не описать наш бит непосредственно через вероятности? Фигушки. Разница в том, как изменяется наш вектор, когда мы применяем к нему какую-нибудь операцию. В обычной теории вероятностей, если у нас есть бит, представленный вектором (p, 1 – p), то мы можем представить любую операцию с этим битом стохастической матрицей, то есть матрицей неотрицательных действительных чисел, где каждый столбец в сумме дает единицу. Так, к примеру, операция побитового инвертирования, которая изменяет вероятность результата 1 с p на 1 – p, может быть представлена следующим образом:
На самом деле стохастическая матрица — это самый общий тип матрицы, которая всегда преобразует один вектор вероятности в другой.
Упражнение 1 для неленивого читателя. Докажите это.
Теперь, когда мы переключились с первой нормы на вторую, мы должны спросить: что представляет собой самый общий тип матрицы, которая всегда преобразует единичный по второй норме вектор в другой единичный по второй норме вектор?
Понятно, что такую матрицу называют унитарной, мало того, это один из способов определить, что такое унитарная матрица! (Ну хорошо, хорошо. До тех пор, пока мы говорим только о действительных числах, такая матрица называется ортого-нальной. То же самое, вид сбоку.) Иначе определить унитарную матрицу, опять же в случае действительных чисел, можно как матрицу, у которой обратная и транспонированная матрицы равны.
Упражнение 2 для неленивого читателя. Докажите, что эти два определения эквивалентны.
«Бит, характеризуемый второй нормой», который мы только что определили, имеет собственное название, которое вы, может быть, встречали: это кубит. Физики любят представлять кубиты в так называемой кет-нотации Дирака, в которой наш вектор (α, β) превращается в α|0〉 β|1〉 Здесь α есть амплитуда исхода |0〉 а β — амплитуда исхода |1〉
В первый раз при виде этой нотации компьютерщики, как правило, лезут на стену, — особенно сильное впечатление производят на них несимметричные скобки! Но если проявить некоторую настойчивость, можно убедиться, что на самом деле она не так уж плоха. К примеру, вместо того чтобы записать вектор (0, 0, 3/5, 0, 0, 0, 4/5, 0), можно просто написать
Таким образом, имея кубит, мы можем преобразовать его посредством любой унитарной матрицы размером два на два, и у нас сразу же возникает знаменитый эффект квантовой интерференции. Рассмотрим, к примеру, унитарную матрицу
которая берет вектор на плоскости и поворачивает его на 45 градусов против часовой стрелки. А теперь рассмотрим состояние |0〉 Если мы применим U к этому состоянию один раз, то получим
То есть, иными словами, применение «рандомизирующей» операции к «случайному» состоянию дает детерминистский результат! Интуитивно понятно, что, хотя к исходу |0〉 едут два пути, один из этих путей имеет положительную амплитуду, а другой — отрицательную. В результате эти два пути деструктивно интерферируют и исключают друг друга. Напротив, оба пути, которые ведут к исходу |1〉 имеют положительную амплитуду и потому интерферируют конструктивно.
Причина, по которой вы никогда не наблюдаете подобной интерференции в классическом мире, состоит в том, что вероятности не могут быть отрицательными. Таким образом, взаимное гашение положительных и отрицательных амплитуд можно рассматривать как источник всех«квантовых странностей» — как единственный фактор, отличающий квантовую механику от классической теории вероятностей. Как жаль, что никто не сказал мне об этом в свое время, когда я впервые услышал слово «квантовый»!
Смешанные состояния
Теперь, когда у нас есть квантовые состояния, мы всегда можем сделать одну вещь: взять классическую теорию вероятностей и «положить ее сверху». Иными словами, мы всегда можем задаться вопросом: а что, если мы не знаем, какое у нас квантовое состояние? К примеру, что, если мы с вероятностью 1/2 имеем состояние
Математически мы представляем смешанное состояние при помощи объекта, известного как матрица плотности. Вот как это работает: скажем, у вас имеется вектор из N амплитуд (α1, …, αN). Затем вы вычисляете внешнее произведение вектора на себя, то есть матрицу N × N, элементом которой под номером (i, j) является αiαj (опять же в случае действительных чисел). Затем, если у вас имеется распределение вероятностей по нескольким таким векторам, вы просто берете линейную комбинацию результирующих матриц. Так, к примеру, если у вас имеется вероятность pдля одного вектора и вероятность 1 – p для другого, то вы берете p раз одну матрицу и 1 – p раз другую.
Матрица плотности включает в себя всю информацию, которую в принципе можно получить из некоторого распределения вероятностей по квантовым состояниям: сперва мы применяем к нему унитарную операцию, а затем смотрим на состояние (или, как мы говорим в своей среде, измеряем его).
Упражнение 3 для неленивого читателя. Докажите это.
Из этого следует, что если два распределения порождают одну и ту же матрицу плотности, то эти распределения эмпирически неразличимы или, иными словами, представляют собой одно и то же смешанное состояние. В качестве примера пусть у вас имеется состояние
Следовательно, никакое измерение, которое вы в принципе можете произвести, не сможет отличить эту смесь от |0〉 вероятностью 1/2 и |1〉 вероятностью 1/2.
Правило возведения в квадрат
Почему мы возводим амплитуды в квадрат, вместо того чтобы возводить их в куб, в четвертую степень или еще куда? Разумеется, это согласуется с данными экспериментов. Но по-настоящему хотелось бы знать вот что: если бы законы природы придумывали вы, какие причины могли бы заставить вас выбрать именно такой вариант, а не какой-то другой? Почему бы, к примеру, не использовать просто абсолютные значения амплитуд или кубы абсолютных значений?
Ну хорошо, я могу подкинуть вам пару аргументов в пользу возведения амплитуд в квадрат.
В качестве первого аргумента не послужит знаменитая теорема Глисона из 1950-х гг. Теорема Глисона позволяет нам, приняв за аксиому часть квантовой механики, получить все остальное! Говоря конкретнее, пусть мы имеем некоторую процедуру, которая принимает в качестве входа единичный вектор с действительными координатами, а на выход выдает вероятность какого-то события. Формально мы имеем функцию f, которая преобразует единичный вектор v ∈ RN в единичный интервал [0, 1]. Предположим, что N = 3 (на самом деле теорема работает в пространстве любой размерности, равной или большей трех, но, что интересно, не работает в двух измерениях). Далее, наше ключевое требование состоит в том, что всякий раз, когда три вектора v1, v2, v3 взаимно ортого-нальны, выполняется
f(v1) + f(v2) + f(v3) = 1.
Интуитивно понятно, что если эти три вектора представляют «ортого-нальные способы» измерения квантового состояния, то они должны соответствовать взаимно исключающим событиям. Что очень важно, нам не нужно помимо этого никаких других предположений — ни непрерывности, ни дифференцируемости, вообще ничего.
Вот наша стартовая точка. Поразительный вывод теоремы состоит в том, что для любой такой fсуществует смешанное состояние, такое, что f возникает при измерении этого состояния согласно стандартному правилу измерения в квантовой механике. Я не смог бы привести здесь доказательство этой теоремы, оно довольно сложное. Но это единственный способ «вывести» правило возведения в квадрат, не постулируя его с самого начала.
Упражнение 4 для неленивого читателя. Почему теорема Глисона не работает в двух измерениях?
Если хотите, я могу привести намного более простое рассуждение. Я включил его в одну из своих статей[55], хотя многие из вас, я уверен, знали его и раньше.
Пусть мы хотим придумать теорию, которая не была бы основана ни на первой норме, как классическая теория вероятностей, ни на второй, как квантовая механика, а опиралась бы на p-ю норму для некоторого p ∉ {1, 2}. Назовем (v1, …, vN) единичным вектором в p-й норме, если
|v1|p + … + |vN|p = 1.
Затем нам потребуется некоторый «симпатичный» комплект линейных преобразований, превращающих любой единичный вектор в p-норме в другой единичный вектор в p-норме.
Ясно, что для любого p, которое мы выберем, найдутся какие-то линейные преобразования, сохраняющие p-норму. Какие именно? Ну, мы можем переставлять основные элементы местами, тасовать их; p-норма при этом сохранится. И знак минус мы тоже можем вставить, если захотим;p-норма при этом сохранится тоже. Но вот небольшое наблюдение: если существуют какие бы то ни было линейные преобразования, помимо этих, тривиальных, при которых сохраняется p-норма, то p должно быть равно либо 1, либо 2. Если p = 1, мы получаем классическую теорию вероятностей, а если p = 2, то квантовую механику. Так что если вы хотите, чтобы не было скучно, вам придется задать p = 1 или p = 2.
Упражнение 5 для неленивого читателя. Докажите мое небольшое наблюдение.
Ну хорошо, для начала позвольте мне привести кое-какие интуитивные данные о том, почему это наблюдение могло бы быть верным. Примем для простоты, что все числа действительны и что p — положительное четное целое число (хотя наблюдение также работает с комплексными числами и с любым действительным p ≥ 0). Далее, для линейного преобразования A = (aij) сохранять p-норму означает, что
всегда, когда
Теперь мы можем спросить: сколько ограничений накладывается на матрицу A требованием того, чтобы это выполнялось для любых v1, …, vN? Если разобраться, то окажется, что в случае p= 2 существует
С другой стороны, если, скажем, p = 4, то число ограничений растет как
Кстати говоря, это не единственный случай, в котором мы обнаруживаем, что 1-норма и 2-норма отличаются от остальных p-норм и представляют собой особый случай. Случалось вам, к примеру, встречать такое уравнение?
xn + yn = zn.
Имеется примечательный фактик, — к несчастью, у меня нет времени, чтобы доказать его в этой книге, — согласно которому приведенное уравнение имеет нетривиальные целые решения при n = 1 или n = 2, но не имеет их при любых целых n бóльших 2. В общем, ясно, что если мы используем первую и вторую нормы чаще остальных векторных норм, то это не блажь — Господь действительно любит их больше других! (И нам даже не нужен эксперимент, чтобы в этом убедиться.)
Действительные и комплексные числа
Даже после того, как мы решили строить свою теорию на второй норме, у нас по-прежнему остается по крайней мере два варианта: мы можем сделать свои амплитуды действительными числами, а можем — комплексными. Нам известно, какой выбор сделала Природа: амплитуды в квантовой механике являются комплексными числами. Это означает, что вы не можете просто возвести амплитуду в квадрат, чтобы получить вероятность; сначала вы должны взять ее абсолютное значение, и его уже возводить в квадрат. Так почему же?
Много лет назад в Беркли я довольно тесно общался со старшекурсниками-математиками — что называется, попал в дурную компанию — и как-то раз задал им этот самый вопрос. Математики только фыркнули: «Как будто сам не понимаешь — комплексные числа алгебраически замкнуты!»[56] Для них это было очевидно.
Но мне все это по-прежнему кажется немного странным. Я имею в виду, что несколько столетий комплексные числа рассматривались как какие-то непонятные штуки, придуманные человеком только для того, чтобы каждое квадратное уравнение имело решение. (Именно поэтому мы говорим об их «мнимых» частях.) Так почему же Природа на самом что ни на есть фундаментальном своем уровне работает на каких-то вещах, придуманных нами для нашего же удобства?
Ну хорошо, допустим, мы потребовали, чтобы для любого линейного преобразования U, которому мы можем подверг-нуть состояние, существовало другое преобразование V, такое, что V2 = U. По существу, это требование непрерывности: мы говорим, что если можно применить некую операцию в течение одной секунды, то должно быть можно применить эту же самую операцию к интервалу в полсекунды.
Можно ли добиться этого с исключительно действительными амплитудами? Рассмотрим следующее линейное преобразование:
Это преобразование — всего лишь зеркальное отражение плоскости. Оно берет двумерное существо Флатландии и переворачивает его, как блин, перемещая сердце на другую сторону его двумерного тела. Но как реализовать половину зеркального отражения, не покидая плоскости? Невозможно! И если вы хотите перевернуть блин непрерывным движением, вам нужно выйти в… дум-дум-дум… ТРЕТЬЕ ИЗМЕРЕНИЕ.
В более общем случае, если вы хотите перевернуть N--мерный объект непрерывным движением, вам необходимо выйти в (N + 1)-е измерение.
Упражнение 6 для неленивого читателя. Докажите, что любое сохраняющее норму линейное преобразование в N измерениях может быть реализовано непрерывным движением в N + 1 измерениях.
Но что, если вы хотите, чтобы любое линейное преобразование имело квадратный корень в том же самом числе измерений? В этом случае вам придется разрешить комплексные числа. Это один из аргументов, согласно которым вам на таком фундаментальном уровне физики могут потребоваться комплексные числа.
Ну хорошо, я могу привести еще две причины, по которым амплитуды должны быть комплексными.
Чтобы установить первую из них, зададимся вопросом: сколько в N-мерном смешанном состоянии существует независимых действительных параметров? Оказывается, ровно N2, если мы будем считать, для удобства, что состояние не обязано быть нормализованным (то есть что вероятности в сумме могут давать величину меньше единицы). Почему? Ну, N-мерное смешанное состояние математически представляется эрмитовой[57] матрицей N × N с положительными собственными числами. Поскольку мы не нормализуем состояния, на главной диагонали у нас стоит N независимых действительных чисел. Ниже главной диагонали у нас стоит N(N – 1)/2 независимых комплексных чисел, что соответствует N(N – 1) действительных чисел. Поскольку матрица эрмитова, комплексные числа под главной диагональю определяют числа над главной диагональю. Так что полное число независимых действительных параметров составляет N + N(N– 1) = N2.
Теперь следует обратить внимание на один аспект квантовой механики, который я до сих пор не упоминал. Если нам известны состояния двух квантовых сис-тем по отдельности, как записать их связанное состояние? Ну, мы просто формируем их так называемое тензорное произведение. Так, к примеру, тензорное произведение двух кубитов, α|0〉 β|1〉 γ|0〉 δ|1〉 задается выражением
(α|0〉 β|1〉 ⊗ (γ|0〉 δ|1〉 = αγ |00〉 αδ |01〉 βγ |10〉 βδ |11〉
Здесь я использовал обозначение |00〉 ак сокращенный вариант записи |0〉 |0〉 |01〉значает |0〉 |1〉 т.п. (Иногда я использую также обозначения |0〉0〉 |0〉1〉 Смысл тот же: один кубит в первом состоянии «тензорно умножается» на другой кубит во втором состоянии, а для простоты можно сказать: соседствует с ним.) Важный момент о тензорном произведении: оно не подчиняется перестановочному закону: состояние |0〉 |1〉 тличается о состояния |1〉 |0〉 Это потому, что первое соответствует двоичной строке 01 (первый бит равен нулю, второй единице), тогда как второе соответствует двоичной строке 10 (первый бит равен единице, второй нулю).
Опять же можно спросить: действительно ли нам необходимо было использовать тензорное произведение? Может быть, Бог мог бы выбрать какой-то другой способ объединения квантовых состояний в более крупные? Ну, собственно говоря, другие способы объединения квантовых сис-тем существуют (самые известные из них — так называемые симметричное и антисимметричное произведение) и реально используются в физике для описания поведения идентичных бозонов и идентичных фермионов соответственно. Впрочем, для меня сказать, что мы берем тензорное произведение, означает почти точно то же самое, что сказать, что мы соединяем две сис-темы, способные существовать независимо (на что, я бы отметил, идентичные бозоны и идентичные фермионы не способны).
Как вы, вероятно, знаете, существуют двухкубитные состояния, которые невозможно записать как тензорное произведение однокубитных состояний. Самый известный пример — это ЭПР-пара (от названия парадокса Эйнштейна — Подольского — Розена):
Пусть задано смешанное состояние ρ двух подсис-тем A и B. Если ρ может быть записано как распределение вероятностей на тензорном произведении состояний |ψA〉 |ψB〉 то мы говорим, что состояние ρ разделимо. В противном случае мы говорим, что ρ запутанно, или сцеплено.
А теперь вернемся к вопросу о том, сколько действительных параметров нужно для описания смешанного состояния. Предположим, у нас имеется (скорее всего запутанная) составная сис-тема AB. Тогда интуитивно представляется, что число параметров, нужных для описания AB — я буду называть это число dAB — должно равняться произведению числа параметров, нужных для описания A, и числа параметров, нужных для описания B:
dAB = dAdB.
Если амплитуды являются комплексными числами, то это предположение — вот удача! — верно. Обозначив NA и NB число измерений A и B соответственно, мы имеем
Но что, если амплитуды — действительные числа? В этом случае в матрице плотности N × Nмы бы имели только N(N + 1)/2 независимых действительных параметров. И это не тот случай, когда при N = NANB имеем
Можно ли при помощи этого же аргумента исключить и кватернионы? Да, можно! Если с действительными числами левая сторона слишком велика, то с кватернионами она слишком мала. Только с комплексными числами она имеет в то-о-о-о-очности нужный размер!
На самом деле существует еще одно явление с тем же оттенком «точного попадания», на которое обратил внимание Билл Вуттерс, — и это приводит нас к третьей причине, по которой амплитуды должны быть комплексными числами. Предположим, мы выбрали некое квантовое состояние
равномерно и случайно (если вы математик, то по мере Хаара). А затем мы измеряем его, получая исход |i〉 вероятностью |αi|2. Вопрос в том, будет ли результирующий вектор вероятности также распределяться равномерно случайно в симплексе вероятности? Оказывается, если амплитуды представляют собой комплексные числа, то ответ — «да». Но если амплитуды представляют собой действительные числа или кватернионы, то ответ — «нет»!
Линейность
Мы поговорили о том, почему амплитуды должны быть представлены комплексными числами и почему правило превращения амплитуд в вероятности должно быть правилом возведения в квадрат. Но все это время где-то рядом незамеченным бродил огромный слон линейности. Почему одни квантовые состояния должны переводиться в другие квантовые состояния посредством линейных преобразований? Возможна догадка о том, что если бы преобразования не были линейными, то векторы можно было бы сжимать или растягивать, делая больше или меньше. Близко! Стивен Вайнберг[58] и другие предложили нелинейные варианты квантовой механики, в которых векторы состояния действительно сохраняют свой размер. Проблема с этими вариантами в том, что они готовы разрешить вам взять далекие векторы и смять их в один комок или взять чрезвычайно близкие векторы и разделить их! Собственно, именно это и имеется в виду, когда говорят, что такие теории нелинейны, и наше пространство конфигураций утрачивает свое интуитивное значение, состоящее в измерении различимости векторов. Два экспоненциально близких состояния в реальности могут быть вполне различимыми. В самом деле, в 1998 г. Абрамс и Ллойд[59] воспользовались именно этим наблюдением, чтобы показать, что если бы квантовая механика была нелинейна, то можно было бы построить компьютер для решения NP-полных задач за полиномиальное время. Конечно, мы не знаем, являются ли NP-полные задачи эффективно решаемыми в физическом мире. Но в исследовании[60], написанном мной несколько лет назад, я объяснил, почему способность решать NP-полные задачи дала бы нам «божественные» возможности, — есть мнение, что даже более «божественные», чем способность передавать сигналы на сверхсветовых скоростях или обратить вспять второй закон термодинамики. Основная идея здесь в том, что когда мы говорим об NP-полных задачах, то речь идет не просто о составлении расписания авиарейсов (или, может быть, о взломе криптосис-темы RSA). Речь идет об автоматизации озарения: доказательства гипотезы Римана, моделирования фондового рынка, отыскания всех существующих в мире закономерностей или логических цепочек.
Так что будем считать, что я придерживаюсь рабочей гипотезы о том, что NP-полные задачи не решаются эффективно физическими средствами и что если некая теория утверждает обратное, то это, скорее всего, указывает на проблемы этой теории. Таким образом, остаются только две возможности: либо я прав, либо я бог! И тот и другой вариант, надо сказать, мне нравится…
Упражнение 7 для неленивого читателя. Докажите, что если бы квантовая механика была нелинейна, то мы не только могли бы решать NP-полные задачи за полиномиальное время, но и использовать ЭПР-пары для передачи информации со сверхсветовой скоростью.
Позвольте мне завершить эту главу упоминанием трех основных аспектов квантовой механики, которые фигурируют в данной книге.
Первый из них — это теорема о запрете клонирования. Это просто утверждение о том, что в рамках квантовой механики не существует процедуры, которая брала бы в качестве входа неизвестное квантовое состояние |ψ〉 выдавала в качестве выхода две отдельные копии |ψ〉 то есть тензорное произведение |ψ〉 |ψ〉 Доказательство этого настолько тривиально, что можно спорить, достойно ли вообще это утверждение названия «теорема», но важность его несомненна. Вот это доказательство: примем без потери общности, что |ψ〉 —это всего один кубит, |ψ〉 α|0〉 β|1〉 Тогда «карта клонирования», которая записывает копию |ψ〉 другой кубит, инициализированный, скажем, в |0〉 должна будет проделать следующее:
(α|0〉 β|1〉|0〉 (α|0〉 β|1〉 (α|0〉 β|1〉 = α2|0〉0〉 αβ|0〉1〉 αβ|1〉0〉 β2|1〉1〉
Обратите внимание на то, что α2, αβ и β2 — квадратичные функции от α и β. Но унитарные преобразования могут давать только линейные комбинации амплитуд, и поэтому не в состоянии породить эволюцию указанного выше типа. А это, собственно, и есть теорема о запрете клонирования! Мы видим, что в отличие от классической информации, которая может копироваться как угодно по всей Вселенной, квантовая информация обладает некоторой «приватностью», мало того, в некоторых отношениях она меньше похожа на классическую информацию, нежели на золото, нефть или другие «неделимые» ресурсы.
Уместно сделать несколько замечаний касательно теоремы о запрете клонирования.
Эта теорема — не просто артефакт не по-физически настойчивого желания иметь идеальноекопирование. При желании можно было бы убедиться, что линейность квантовой механики запрещает даже изготовление «довольно хорошей» копии кубита, взяв подходящее определения понятия «довольно хороший».
Конечно, мы можем преобразовать состояние (α|0〉 β|1〉|0〉 α|0〉0〉 β|1〉1〉 пропустив первый кубит через вентиль управляемой инверсии C-NOT («управляемое не»). Но это не даст нам двух экземпляров первоначального состояния α|0〉 β|1〉 вместо этого мы получим запутанное состояние, где каждый отдельный кубит находится в смешанном состоянии
Если теорема о запрете клонирования напоминает вам знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга — ну что же, так и должно быть! Принцип неопределенности утверждает, что существуют пары свойств — самая известная из них — это положение частицы в пространстве и ее импульс, — в которых невозможно оба свойства измерить с произвольной точностью, между тем и другим должен быть количественный компромисс. Чтобы изложить принцип неопределенности в том виде, в каком его знает большинство физиков, нам потребовалось бы больше физики, чем помещается в этой книге: мне пришлось бы объяснять взаимоотношения между положением (координатой) и импульсом и даже вводить постоянную Планка ħ (хотя бы для того, чтобы заявить, что в моих единицах ħ равна 1!). Но даже без этого позвольте мне показать начерно, как из теоремы о запрете клонирования следует информационно-теоретический вариант принципа не-определенности и наоборот. С одной стороны, если бы можно было измерять все свойства квантового состояния с неограниченной точностью, то можно было бы изготавливать и произвольно точные копии (клонировать). С другой стороны, если бы можно было копировать состояние |ψ〉 роизвольное число раз, то можно было бы и узнать все его свойства с неограниченной точностью, к примеру положение мерить у одних копий, а импульс — у других.
В определенном смысле теорема о запрете клонировании не имеет почти никакого отношения к квантовой механике. В точности аналогичную теорему можно доказать для классических распределений вероятности. Если у вас есть монетка, которая падает орлом кверху с какой-то неизвестной вероятностью p, то не существует способа превратить ее в две монетки, которые бы падали орлом кверху с вероятностью p независимо друг от друга. Конечно, вы можете внимательно осмотреть свою монетку, но информация о p, которую вы сможете получить таким способом, слишком ограничена для копирования. Из нового в квантовой механике только то, что принцип запрета клонирования приложим не только к смешанным, но и к чистым состояниям — таким, что если бы вы знали правильный базис, в котором измерять, то могли бы получить информацию о состоянии с абсолютной точностью. Но если правильный базис неизвестен, то вы не можете ни получить полную информацию о состояниях, ни скопировать их.
Итак, мы познакомились с теоремой о запрете клонирования. Второй аспект квантовой механики, который мне следует упомянуть, — это по-настоящему поразительное приложениетеоремы о запрете клонирования. Называется оно квантовым распределением ключа (QKD) и представляет собой протокол, посредством которого Алиса и Боб могут договориться об общем секретном ключе, не встречаясь для этого заранее и (в отличие от криптографии с открытым ключом) не полагаясь ни на какое предположение о вычислительной нераскрываемости, — на самом деле единственное, на что им придется положиться, это на справедливость квантовой механики и на доступность классического канала связи с аутентификацией пользователя. Возможность такого рода криптографии предсказал Стивен Визнер[61] в 1969 г. в замечательной статье, обогнавшей время на десятилетия — настолько, что на протяжении 15 лет Визнеру не удавалось ее опубликовать. (Не так давно во время визита в Иерусалим у меня была возможность встретиться с Визнером. В настоящее время этот необычайно интересный человек по собственному выбору работает на стройке простым рабочим.) Первое явное предложение по QKD сделали в 1984 г. Беннетт и Брассар[62], поэтому его весьма изобретательно назвали BB84. Я не стану представлять здесь этот протокол в подробностях: они хоть и не слишком сложны, но не имеют для нас значения; во всяком случае, хороших описаний BB84 полно и в учебниках, и в сети.
Вместо этого позвольте мне просто изложить концептуальный вопрос о том, как квантовая механика в принципе могла бы обеспечить согласование секретного ключа без личной встречи Алисы и Боба и без всяких вычислительных предположений — то, что исключено в классическом мире в силу аргументов Шеннона (см. главу 8). Основная идея в том, что Алиса и Боб посылают друг другу кубиты, подготовленные случайным образом в двух или более неортого-нальных базисах; к примеру, пусть это будут четыре «состояния BB84»: |0〉 |1〉
Кстати говоря, в статье Визнера было представлено еще одно поразительное приложение теоремы о запрете клонирования, приложение, очень интересующее меня последние несколько лет: квантовые деньги. Идея проста: если квантовые состояния действительно не поддаются точному копированию, то почему бы не воспользоваться этим свойством для создания денег, которые физические невозможно подделать? Однако, как только мы начинаем размышлять об этом, возникают проблемы: деньги полезны только в том случае, когда кто-то может проверить их и удостоверить их подлинность. Поэтому вопрос стоит так: можно ли получить квантовые состояния |ψ〉 которые законопослушные пользователи могли бы измерить, чтобы убедиться в их аутентичности, но которые фальшивомонетчики не могли бы измерить, чтобы скопировать? Визнер предложил схему, позволяющую этого добиться, — что интересно, ее надежность была строго доказана лишь недавно[63]. В его схеме задействованы ровно четыре состояния (|0〉 |1〉
Однако главным недостатком схемы Визнера было то, что проверить купюру на подлинность мог только банк, ее выпустивший, поскольку только банк знал, в каких базисах ({|0〉 |1〉} или
И третий аспект квантовой механики, прежде чем мы закончим главу, — это квантовая телепортация. Название, разумеется, всего лишь приманка для публики, всегда готовой слушать падких на сенсации журналистов и жаждущей верить, что квантовая механика сделает возможным мир сериала Star Trek. На самом деле квантовая механика решает задачу, которой просто не было бы, если бы не сама квантовая механика! В классическом мире вы всегда можете «телепортировать» информацию, передав ее, к примеру, по Интернету. (В пять лет, когда я с интересом наблюдал за работой факсового аппарата в папином кабинете, для меня стало откровением, что бумага при этом не переносится и не материализуется в аппарате, а просто превращается в информацию и восстанавливается на приемном конце.) Проблема квантовой телепортации в следующем: а можно ли передать кубиты по классическому каналу? На первый наивный взгляд это представляется совершенно невозможным. Лучшее, что вы сможете сделать при использовании классического канала, — это передать результаты измерения состояния |ψ〉 некотором базисе, но если не окажется, что этот базис включает |ψ〉 то информации на втором конце будет откровенно недостаточно, чтобы восстановить по ней |ψ〉 Поэтому в 1993 г., когда Беннетт и др.[64] открыли, что если у Алисы и Боба есть общая ЭПР-пара то Алиса может передать Бобу произвольный кубит посредством протокола, в котором она посылает Бобу два классических бита, а затем Алиса и Боб измеряют каждый свою половину ЭПР-пары (при этом ЭПР-пара «тратится»), это произвело настоящий фурор.
Как работает этот протокол? Предположим, Алиса хочет передать Бобу |ψ〉 α|0〉 β|1〉 Тогда первое, что она делает, это применяет функцию «управляемой инверсии» от |ψ〉 своей половине ЭПР-пары. В результате она получает:
Далее Алиса применяет вентиль Адамара к своему первому кубиту (тому, что первоначально был |ψ〉. Получается состояние
Наконец, Алиса измеряет оба своих кубита в базисе {|0〉 |1〉 и высылает результат Бобу. Обратите внимание: каким бы ни был |ψ〉 Алиса увидит каждый из четырех возможных исходов (00, 01, 10 и 11) с вероятностью 1/4. Более того, если она видит 00, то состояние Боба равно α|0〉 β|1〉 если она видит 01, его состояние равно β|0〉 α|1〉 если 10 — его состояние α|0〉 – |1〉 и если она видит 11, то состояние Боба равно β|0〉 – |1〉 Следовательно, после получения от Алисы двух классических битов Боб точно знает, какие «поправки» внести, чтобы восстановить первоначальное состояние α|0〉 β|1〉
Два принципиальных момента: во-первых, здесь нет никакой мгновенной связи. Чтобы телепортировать |ψ〉 необходимо передать Бобу два классических бита от Алисы, и эти биты могут перемещаться не быстрее скорости света. Во-вторых, что еще интереснее, здесь нет нарушения теоремы о запрете клонирования. Чтобы телепортировать |ψ〉 обу, Алисе пришлось измерить свой экземпляр |ψ〉 таким образом узнать, какие классические биты ему передавать, — а измерение неизбежно разрушило экземпляр Алисы. Может ли существовать какой-то более хитроумный протокол телепортации, который воспроизвел бы |ψ〉 а стороне Боба, но оставил бы и экземпляр |ψ〉 а стороне Алисы нетронутым? Я утверждаю, что ответ: нет. Что внушает мне такую уверенность? Ну конечно, теорема о запрете клонирования!
Дополнительная литература
Прочтите ставшую уже классической статью[65] Люсьена Харди о «выводе» квантовой механики, достаточно близкую по логике изложения к тому, что я говорил, но гораздо, гораздо более серьезную и тщательно проработанную. Или, если хотите познакомиться с более новым и иным по логике выводом, прочтите статью Чирибеллы с соавторами[66], где квантовая механика «выводится» как уникальная теория, удовлетворяющая (1) различным разумным на первый взгляд аксиомам, которым удовлетворяет и классическая теория вероятностей, и (2) аксиоме о том, что каждое «смешанное состояние», описанное теорией, можно получить, если начать с более широкого «чистого состояния», а затем вычеркнуть его часть. (Еще в 1930-е гг. Шрёдингер привлек внимание к последней аксиоме как к принципиально важному и отличительному свойству квантовой механики. Признаюсь, правда, что мне интуитивно не понятно, чем мир, удовлетворяющий этой конкретной аксиоме «очищения», может быть лучше, чем мир, подчиняющийся обобщенной теории вероятностей для второй нормы!) Наконец, стоит прочесть практически все, что написал Крис Фукс[67], особенно его статью в соавторстве с Кейвзом и Шаком[68], где говорится о том, почему амплитуды должны быть комплексными числами, а не действительными и не кватернионами.
Квантовые вычисления
Ну хорошо, теперь у нас есть прекрасная теория квантовой механики и, возможно, еще более прекрасная теория вычислительной сложности. Ясно, что, имея две теории такой невероятной красоты, мы не можем оставить их обе в одиночестве — мы просто обязаны их познакомить и посмотреть, что из этого выйдет.
Это приводит нас к классу BQP — квантовому с ограниченной ошибкой за полиномиальное время. В главе 7 мы говорили о классе BPP, вероятностном с ограниченной ошибкой за полиномиальное время. Если говорить неформально, BPP — это класс вычислительных задач, эффективно решаемых в физическом мире в том случае, если классическая физика верна. Теперь мы задаемся вопросом о том, какие задачи эффективно решаемы в том же физическом мире, если (что представляется более вероятным) верна квантовая физика.
Меня поражает от факт, что сколько-нибудь серьезно этот вопрос додумались задать только в 1990-е годы, при том что все инструменты для его рассмотрения были в наличии уже в 1960-х, если не раньше. Поневоле начинаешь задумываться: какие очевидные на первый взгляд вопросы никто не додумывается задать сегодня?
Итак, как мы определяем BQP? Ну, существует четыре момента, о которых нам следует позаботиться.
1. Инициализация. Мы говорим, что у нас есть сис-тема, состоящая из n квантовых битов (или кубитов), и все они инициализированы в некоторое простое, легкое и удобное в подготовке состояние. Для удобства мы обычно считаем его «вычислительным базисным состоянием», хотя позже имеет смысл подумать о более мягком подходе. В частности, если входная строка равна x, то начальное состояние будет иметь вид |x〉0…0〉 то есть |x〉 люс столько дополнительных кубитов, сколько мы хотим инициализировать в нулевом состоянии.
2. Преобразования. В любой момент состояние нашего компьютера будет суперпозицией по всем 2p(n) p(n)-битным строкам, где p — некоторый полином от n переменных:
Но какие операции мы можем использовать для преобразования одного состояния-суперпозиции в другое? Поскольку речь идет о квантовой механике, это должны быть унитарные преобразования, но какие именно? Для любой булевой функции f:{0, 1}n → {0, 1} существует какое-то унитарное преобразование, которое мгновенно вычислит для нас эту функцию. К примеру, мы могли бы взять произвольное унитарное преобразование, которое отображает каждое базисное состояние вида |x〉0〉 а |x〉f(x) 〉
Но, конечно, для большинства функций f мы не в состоянии применить это преобразование эффективно. В точности по аналогии с классическими вычислениями, где нас интересуют только те схемы, которые можно построить из небольшого числа логических элементов и, или и не, здесь нас интересуют только те унитарные преобразования, которые можно построить из небольшого числа квантовых вентилей. Под «квантовым вентилем» я буду просто иметь в виду унитарное преобразование, действующее на небольшое число кубитов, скажем один, два или три.
Ну хорошо, рассмотрим примеры квантовых вентилей. Один известный пример — вентиль Адамара, действующий на единичный кубит следующим образом:
Еще один пример — вентиль Тоффоли, который действует на три кубита так:
Или, если сказать словами, вентиль Тоффоли меняет третий кубит на противоположный в том и только том случае, если оба первых кубита равны 1. Обратите внимание: вентиль Тоффоли имеет смысл и в классических компьютерах.
Далее, Ши[69] показал, что Тоффоли и Адамар уже составляют универсальный набор квантовых вентилей. Если без формальностей, то это означает, что их одних вполне достаточно для квантового компьютера, поскольку при желании мы могли бы выстроить из них сколь угодно точную аппроксимацию любого другого квантового вентиля. (Или, строго говоря, любого вентиля, в унитарной матрице которого присутствуют только действительные, но не комплексные числа. Но в компьютерных делах это, как оказалось, не имеет значения.) Более того, согласно так называемой теореме Соловея — Китаева[70], при помощи любого универсального набора вентилей можно смоделировать любой другой универсальный набор вполне эффективно, то есть с не более чем полиномиальным увеличением числа вентилей. Так что, пока речь идет о теории вычислительной сложности, совершенно неважно, какой именно универсальный набор мы выбрали.
Это вполне аналогично тому, как в классическом мире мы могли бы строить свои схемы на элементах и, или и не, только на элементах и и не или даже только на элементах не-и.
Вы могли бы спросить: какие именно наборы квантовых вентилей обладают свойством универсальности? Наверное, совершенно особые? Напротив, оказывается, что в определенном вполне конкретном смысле почти любой набор одно- и двухкубитовых вентилей (мало того, почти любой единичный двухкубитовый вентиль) будет универсальным. Но, безусловно, из этого правила существуют исключения. Предположим, к примеру, что у вас имеется только вентиль Адамара (определенный выше) и следующий вентиль управляемой инверсии, который меняет второй кубит на противоположный, если первый кубит равен 1:
Казалось бы, это естественный универсальный набор квантовых вентилей, однако это не так. Так называемая теорема Готтесмана — Нилла[71] показывает, что любую квантовую схему, состоящую исключительно из вентилей Адамара и управляемой инверсии, можно эффективно смоделировать при помощи классического компьютера.
С той минуты, когда мы зафиксировали некий универсальный набор (любойуниверсальный набор) квантовых вентилей, мы будем интересоваться схемами, которые включают в себя не более чем p(n) вентилей из этого набора, где p — это полином, а n — число битов в той реализации задачи, которую мы хотим решить. Мы называем такие схемы квантовыми схемами полиномиального размера.
3. Измерение. Как прочесть ответ, когда вычисление проведено? Просто: измеряем некоторый выделенный кубит и отвергаем, если получаем исход |0〉 и принимаем, если получаем исход |1〉 Не забывайте, что для простоты мы рассматриваем здесь только задачи принятия решения — то есть задачи, требующие ответа «да» или «нет».
Мы условимся также, что если ответ на нашу задачу «да», то финальное измерение должно принимать с вероятностью по крайней мере 2/3, тогда как если ответ «нет», то оно должно принимать с вероятностью не более 1/3. Это в точности то же требование, что вводится для BPP. И, как и в случае с BPP, мы можем заменить 2/3 и 1/3 любыми другими числами по желанию (к примеру, 1–2–500 и 2–500), просто повторив вычисления нужное число раз, а затем подав на выход ответ, оказавшийся в большинстве.
Немедленно возникает вопрос: может быть, мы получили бы более мощную вычислительную модель, если бы разрешили не одно, а множество измерений на протяжении расчета?!
Оказывается, нет, потому что всегда можно смоделировать измерение (за исключением финального, того, что единственно имеет значение) при помощи унитарного квантового вентиля. Можно сказать, что вместо измерения кубита A можно применить к нему вентиль управляемой инверсии, получив при этом кубит B, но затем игнорировать кубит B до конца расчета. Тогда все будет обстоять так, будто какая-то третья сторона измерила кубит A, — эти две точки зрения математически эквивалентны. (Что это — тривиальная техническая подробность или глубокий философский момент? Вам судить…)
4. Однородность. Прежде чем дать определение BQP, нам следует разобраться с последним техническим вопросом. Мы говорили о «квантовой схеме полиномиального размера», но более правильно говорить о бесконечно большом семействе схем, по одной на каждую длину входной строки n. Могут ли схемы из этого семейства выбираться произвольно, полностью независимо одна от другой? Если да, то мы могли бы использовать их для решения, к примеру, проблемы остановки, просто зашив в структуру n-й схемы данные о том, останавливается ли n-я машина Тьюринга. Если мы хотим исключить этот момент, нам нужно поставить условие однородности. Это означает, что должен существовать (классический) алгоритм, который, получив на вход n, выдаст на выходе n-ю квантовую схему за полиномиальное по n время.
Упражнение. Покажите, что, если разрешить полиномиальный по времени квантовыйалгоритм, дающий на выходе n-ю схему, определение получится то же самое.
Ну хорошо, мы наконец готовы собрать все кусочки вместе и дать определение BQP.
BQP есть класс языков L ⊆ {0, 1}*, для которых существует однородное семейство полиномиального размера квантовых схем {Cn}, таких, что для всех x ∈ {0, 1}n:
если x ∈ L, то Cn принимает вход |x〉 0…0〉 вероятностью не менее 2/3;
если x ∉ L, то Cn принимает вход |x〉 0…0〉 вероятностью не более 1/3.
Развычисления
Итак, что мы можем сказать о классе BQP?
Ну, для начала пусть у вас имеется BQP-алгоритм, вызывающий другой BQP-алгоритм в качестве подпрограммы. Может ли такая конструкция быть более мощной, чем сам BQP? Или, иными словами, может ли BQPBQP (то есть BQP с BQP--оракулом) быть более мощным, чем BQP?
Лучше бы, чтобы такого не было! Кстати говоря, это связано с одной вещью, о которой я однажды говорил с Дейвом Бэконом. Почему физики с таким трудом воспринимают класс NP? Дело, я подозреваю, в том, что класс NP с его «магическим» экзистенциальным квантификатором, наложенным на вычисления за полиномиальное время, — это штука не того сорта, которую они сами могли бы предложить. Классы, которые с удовольствием предложили бы физики, — классы сложности для физика — трудно обозначить точно, но одно свойство, которым они, на мой взгляд, определенно обладают, — это «не обсуждать очевидные вещи», такие как вызов одним алгоритмом класса другого алгоритма того же класса в качестве подпрограммы.
Я утверждаю, что BQP представляет собой приемлемый «класс сложности для физика» и, в частности, что BQPBQP = BQP. Неужели это трудно показать?
Верно, мусор мешает! Вспомните, что, когда квантовый алгоритм завершен, вы, чтобы получить ответ «да» или «нет», измеряете один-единственный кубит. Что же делать со всеми остальными кубитами? В обычных условиях вы бы их просто отбросили. Но что, если вы получили суперпозицию по различным прогонам некоторого алгоритма и хотите свести результаты этих прогонов воедино и перемешать их? В этом случае мусор может воспрепятствовать взаимодействию различных ветвей! Что же делать, чтобы исправить ситуацию?
Решение, предложенное Чарльзом Беннеттом в 1980-е гг., состоит в развычислении. Вот как это работает.
1. Запускаете подпрограмму.
2. Копируете кубит, выданный подпрограммой в качестве ответа, в отдельное место.
3. Прогоняете всю подпрограмму задом наперед, стирая таким образом все, кроме кубита-ответа. (Если эта подпрограмма имеет какую-то вероятность ошибки, то этап стирания пройдет неидеально; тем не менее все сработает достаточно хорошо.)
Если вы побываете у меня дома, то увидите, что это не та методика, которой я обыкновенно пользуюсь. Но если вы — квантовый компьютер, то прибрать за собой мусор — неплохая идея.
Отношения с классическими классами сложности
Хорошо, так как же класс BQP соотносится с теми классами сложности, что мы уже видели?
Первое. Я утверждаю, что BPP ⊆ BQP; иными словами, все, что вы можете сделать при помощи классического вероятностного компьютера, вы можете сделать и при помощи квантового компьютера. Почему?
Верно: потому что всякий раз, когда вы собирались бросить монетку, вы вместо этого просто применяете вентиль Адамара к свежему нулевому кубиту. В учебниках доказательство этого утверждения обычно занимает около страницы. Мы с вами только что его доказали.
Можем ли мы получить какую-либо верхнюю оценку для BQP в терминах классических классов сложности?
Конечно, можем! Во-первых, совсем несложно убедиться, что BQP ⊆ EXP: все, что можно вычислить за квантовое полиномиальное время, можно вычислить также за классическое экспоненциальное время. Или, сформулируем иначе, квантовые компьютеры могут обеспечить нам не более чем экспоненциальное преимущество над классическими. Почему так?
Верно: потому что если разрешить экспоненциальное замедление, то классический компьютер сможет попросту проимитировать все изменения вектора состояния!
Оказывается, однако, что можно получить результат и получше. Вспомните класс PP, включающий задачи вроде следующих.
Дана сумма экспоненциального количества действительных чисел, каждое из которых можно оценить за полиномиальное время. Определить, положительной или отрицательной будет эта сумма (при условии, что она и правда положительна или отрицательна).
Дана булева формула n переменных. Определить, дает ли по крайней мере половина из 2nвозможных входных значений переменных результат «истина».
Дана рандомизированная машина Тьюринга полиномиального времени. Определить, принимает ли она с вероятностью ≥ 1/2?
Иными словами, в PP-задаче речь идет о том, чтобы просуммировать экспоненциальное число слагаемых, а затем определить, больше эта сумма некоторого порогового значения или меньше. Разумеется, PP входит в PSPACE, который, в свою очередь, входит в EXP.
Бернштейн и Вазирани в своей оригинальной работе по квантовой сложности показали, что BQP ⊆ PSPACE. Вскоре после этого Адлеман, Де Маррэ и Хуанг[72] улучшили этот результат, показав, что BQP ⊆ PP. (Это был также первый результат в теории сложности, доказанный мной. Если бы я знал, что Адлеман и др. доказали это годом ранее, я, может, никогда и не занялся бы этим делом! Иногда, знаете ли, лучше иметь узкий академический кругозор.)
Итак, почему BQP укладывается в PP? С точки зрения теоретической информатики доказательство может занять, скажем, полстраницы. С точки зрения физики, доказательство сводится к трем словам:
Фейнмановский интеграл по траектории!!!
Скажем, вы хотите вычислить вероятность того, что квантовый компьютер принимает. Очевидный способ сделать это — перемножить кучу унитарных матриц размера 2n × 2n, затем взять сумму квадратов абсолютных величин амплитуд, соответствующих принимающим базисным состояниям (то есть базисным состояниям, для которых выходной кубит равен |1〉. В 1940-е гг. Фейнман заметил, что есть способ и получше — способ куда более эффективный по затратам памяти (или бумаги), хотя по-прежнему экспоненциальный по затратам времени.
Способ получше состоит в том, чтобы перебрать в цикле все принимающие базисные состояния и для каждого из них перебрать все вычислительные траектории, способные внести вклад в амплитуду для этого базисного состояния. Пусть, к примеру, αx — конечная амплитуда базисного состояния |x〉 Тогда мы можем записать
где каждый член αx,i соответствует одному листку на экспоненциально большом «дереве возможностей» и потому вычислим за классическое полиномиальное время. Как правило, αx,i — комплексные числа с совершенно разными фазами, склонные деструктивно интерферировать и исключать друг друга; тогда αx будет небольшим остатком этого процесса. Причина, по которой квантовые вычисления представляются более мощным инструментом, чем классические вычисления, заключается именно в том, что на первый взгляд трудно оценить тот небольшой остаток на основании случайной выборки. Случайные выборки прекрасно работают, скажем, в ходе типичных американских выборов, но оценка αx больше напоминает выборы 2000 года с их неопределенным результатом.
Далее, пусть S — множество всех принимающих базисных состояний. Тогда мы можем записать вероятность того, что наш квантовый компьютер принимает, как
где * обозначает комплексное сопряжение. Но это всего лишь сумма экспоненциального числа слагаемых, каждое из которых вычислимо в P. Поэтому мы можем решить в PP, правда ли, что paccept ≤ 1/3, или же paccept ≥ 2/3.
С моей точки зрения, Ричард Фейн-ман получил Нобелевскую премию по физике в основном за то, что показал: BQP содержится в PP.
Конечно, по-настоящему всех заводит немного другой вопрос: правда ли, что BPP ≠ BQP, то есть действительно ли квантовые вычисления — более мощный инструмент, чем классические. Сегодня у нас есть свидетельства в пользу того, что это действительно так; самое заметное из них — алгоритм Шора для разложения на простые множители и дискретного логарифмирования. Я уверен, что вы слышали об этом алгоритме, поскольку это одно из крупнейших научных достижений конца XX века и основная причина того, что мы с вами вообще говорим об этих вещах. Если вы еще не видели его, то в сети можно найти с полмиллиона упоминаний на эту тему[73].
Стоит подчеркнуть, что еще до алгоритма Шора компьютерщики собрали немало формальных свидетельств того, что квантовые компьютеры мощнее классических. По существу, именно эти свидетельства вымостили дорогу к алгоритму Шора.
Очень серьезным свидетельством стал алгоритм Саймона[74]. Предположим, у нас есть функция f:{0, 1}n → {0, 1}n, к которой у нас нет доступа и с которой мы можем работать только как с «черным ящиком», то есть подавать что-то на вход и смотреть, что получится на выходе. Нам обещано, что существует «секретная маска на исключающем или» s ∈ {0, 1}n, такая, что для всех несовпадающих пар (x, y) имеем f(x) = f(y) в том и только том случае, если x ⊕ y = s. (Здесь знаком ⊕ обозначается операция побитового исключающего или.) Наша цель — распознать s. Вопрос в том, сколько раз нам придется послать запрос на f, чтобы сделать это с высокой вероятностью?
В классическом варианте легко определить, что для этого необходимо и достаточно ~2n/2 запросов. Как только мы на-ткнемся на противоречие (пару x ≠ y, такую, что f(x) = f(y)), мы поймем, что s = x ⊕ y, и задача будет решена. Но до тех пор, пока мы не обнаружим противоречие, функция будет нам казаться случайной. В частности, если мы отправим ей Tзапросов, то вероятность наткнуться на противоречие составит не более ~T2/2n в силу неравенства Буля. Следовательно, для нахождения s с высокой вероятностью нам потребуется T ≈ 2n/2 запросов.
С другой стороны, Саймон привел квантовый алгоритм, способный найти s, сделав всего ~nзапросов. Его основная идея состоит в том, чтобы посылать на f запросы в виде суперпозиции, а потому готовить квантовые состояния вида
для случайных пар (x, y), таких, что x ⊕ y = s. Затем мы используем так называемое квантовое преобразование Фурье, чтобы извлечь из этих состояний информацию про s. Использование преобразования Фурье для извлечения «информации о скрытой периодичности» послужило непосредственным толчком для создания алгоритма Шора, который делает нечто подобное по абелевой группе
Опять же я не буду разбирать алгоритм Саймона в подробностях; подробности при желании можете посмотреть здесь[75].
Подведем итог. У нас есть задача — задача Саймона, которую квантовые компьютеры смогут решить экспоненциально быстрее, чем классические, и это доказано. Следует признать, правда, что задача получилась довольно надуманная, поскольку в деле вычисления функции f с определенной глобальной симметрией она опирается на мифический «черный ящик». Из-за присутствия в формулировке черного ящика задача Саймона не может доказать, что BPP ≠ BQP. Доказывает она лишь существование некоторого оракула, по отношению к которому BPP ≠ BQP. Вот что я имел в виду, когда говорил о формальных доказательствах того, что квантовые компьютеры мощнее классических.
Оказывается, задача Саймона не была первой задачей, выявившей различие между BPP и BQPпо оракулу. Как Шор берет начало от Саймона, так Саймон берет начало от Бернштейна — Вазирани. В давние темные века, а конкретно в 1993 г., Берштейн и Вазирани придумали задачу с черным ящиком, получившую название рекурсивной выборки Фурье. Они сумели доказать, что любому классическому алгоритму для решения этой задачи необходимо по крайней мере ~nlog nзапросов, тогда как существует квантовый алгоритм ее решения, которому достаточно всего лишь n запросов.
К несчастью, даже для формулирования задачи рекурсивной выборки Фурье потребовалось бы более длинное отступ-ление, чем представляется разумным. (Если вы считаете, что задача Саймона искусственна, вы ничего еще в жизни не видели!) Но основная идея состоит в следующем. Предположим, у нас имеется доступ посредством черного ящика к некоторой булевой функции f:{0, 1}n → {0, 1}. Нам обещано, что существует «секретная строка» s ∈ {0, 1}n, такая, что f(x) = s • x для всех x (где знак • обозначает внутреннее произведение по модулю 2). Наша цель — определить s с использованием как можно меньшего числа запросов к f.
Иными словами, нам известно, что f(x) — это всего лишь исключающее или от некоторого подмножества входных битов; наша цель — найти, от какого именно подмножества.
В классическом варианте очевидно, что необходимо и достаточно послать n запросов к f: мы пытаемся узнать n бит, а каждый запрос может раскрыть лишь один бит! Но Бернштейн и Вазирани заметили, что в квантовом варианте можно выяснить s при помощи одного-единственного запроса. Для этого нужно просто подготовить состояние
а затем применить вентиль Адамара ко всем n кубитам разом. Несложно убедиться, что результат будет равен |s〉
Бернштейн и Вазирани начали с описанной выше задачи, известной как выборка Фурье, и применили к ней рекурсивный алгоритм. Иными словами, они построили задачу нахождения выборки Фурье, в которой, чтобы узнать один из битов f(x), вам нужно решить другую задачу на нахождение выборки Фурье, а для того чтобы определить один из битов в этой задаче, нужно решить третью, и т.п. Затем они показали, что если рекурсия осуществляется на глубину в dуровней, то любому рандомизированному алгоритму для решения этой задачи на рекурсивную выборку Фурье придется сделать по крайней мере ~nd запросов. В то же время существует квантовый алгоритм, решающий эту задачу всего за 2d запросов.
Почему 2d запросов, спросите вы, а не 1d = 1? Потому что на каждом уровне рекурсии квантовому алгоритму требуется провести обратное вычисление и избавиться от мусора, чтобы получить эффект интерференции, — и это постоянно добавляет лишний множитель 2. Примерно так:
Кстати, один из моих результатов[76] показывает, что такого рода рекурсивные обратные вычисления — неизбежная черта любого квантового алгоритма рекурсивной выборки Фурье.
Итак, мы получили разницу между nd и 2d; приравняв d = log n, получим nlog n запросов на классическом компьютере и 2log n = n на квантовом. Конечно, полученная нами разница — это не экспоненциальное число против полиномиального, а всего лишь «квазиполиномиальное» против полиномиального. Тем не менее этого достаточно, чтобы доказать расхождение между BPP и BQPпо оракулу.
Вы можете поинтересоваться: теперь, когда у нас есть алгоритмы Саймона и Шора, которые реально дают экспоненциальную разницу между квантовым и классическим, зачем заморачиваться возней с этим рекурсивным археологическим реликтом? Дело в том, что одна из самых масштабных задач квантовых вычислений связана с отношениями между BQP и полиномиальной иерархией PH, определенной в главе 6. А именно: входит ли BQP в PH? Конечно, это представляется маловероятным, но, как ставили вопрос Бернштейн и Вазирани еще в 1993 г., можем ли мы на самом деле найти оракул, по отношению к которому BQP ⊄ PH? Увы, сегодня, когда прошло два десятилетия и потерпело неудачу неизвестное число аспирантов, ответ по-прежнему отрицателен. Тем не менее многие из нас по-прежнему считают разделение возможным, и до недавнего времени задача рекурсивной выборки Фурье была практически единственным кандидатом на эту роль.
Наконец в 2009 г. я предложил другую задачу-кандидата[77], получившую известность под названием «проверка коэффициентов Фурье»; по идее, она должна дать не просто разделение BQPи PH по оракулу, но и (в отличие от рекурсивной выборки Фурье) разделение экспоненциальное. Увы, доказательство этого разделения, судя по всему, требует кое-каких новых достижений в классической теории сложности, а именно в определении нижних оценок схем постоянной глубины, пока нам неизвестных. Однако не исключено, что в результате работы над проверкой коэффициентов Фурье задачу рекурсивной выборки Фурье удастся наконец превзойти, и она сохранит лишь историческое значение.
Квантовые вычисления и NP-полные задачи
В результате чтения наших газет, журналов и т.п. может сложиться впечатление, что квантовый компьютер способен «решать NP-полные задачи в мгновение ока» путем «параллельной проверки всех возможных решений» и затем мгновенного выбора верного.
Я бы сказал, что именно это — основа неверных представлений неспециалиста о квантовых вычислениях. Позвольте пояснить.
Очевидно, мы не можем пока доказать, что квантовые компьютеры не способны эффективно решать NP-полные задачи, иными словами, что NP ⊄ BQP, поскольку мы не можем даже доказать, что P ≠ NP! Мы также совершенно не представляем себе, как доказать, что если P ≠ NP, то NP ⊄BQP.
По существу, у нас есть только давний результат Беннетта, Бернштейна, Брассара и Вазирани о том, что существует оракул, в отношении которого NP ⊄ BQP. Или конкретнее, предположим, то вы ищете в пространстве 2n возможных решений единственное верное, и предположим, что возможное решение-кандидат вы можете только скормить «черному ящику», чтобы он сказал, верное оно или нет. В таком случае сколько раз вам нужно послать запрос черному ящику, чтобы найти верное решение? В классическом варианте ясно, что вам потребуется ~2n запросов в худшем случае (или ~2n/2 в среднем). С другой стороны, Гровер[78] предложил известныйквантовый алгоритм поиска, посылающий черному ящику всего ~2n/2 запроса. Интересно, что еще до открытия алгоритма Гровера Беннетт и др. доказали, что он оптимален! Иными словами, любому квантовому алгоритму поиска иголки в стоге сена размером 2n потребуется по крайней мере ~2n/2 шагов. Так что итог таков: в случае «обобщенных», или «неструктурированных», поисковых задач квантовые компьютеры способны дать некоторое, а именно квадратичное, ускорение по сравнению с классическими компьютерами, но ничем похожим на экспоненциальное ускорение, которое дает алгоритм Шора для разложения на простые множители, здесь и не пахнет.
Вы можете спросить: почему ускорение должно быть именно квадратичным, а не кубическим или каким-то еще? Позвольте, я попытаюсь ответить на этот вопрос, не вдаваясь в конкретику ни алгоритма Гровера, ни доказательства оптимальности Беннетта и др. По существу, причина, по которой мы получаем квадратичное ускорение, состоит в том, что квантовая механика основана на второй, а не на первой норме. В классической информатике если имеется N решений, только одно из которых верно, то после одного запроса мы получаем вероятность угадывания, равную 1/N, после двух запросов — вероятность 2/N, после трех — 3/N и т.п. Таким образом, для получения непренебрежимой (то есть близкой к единице) вероятности угадывания верного ответа нам требуется ~N запросов. Но в квантовом варианте мы применяем линейные преобразования к векторам амплитуд, которые представляют собой квадратные корни из вероятностей. Так что думать об этом следует так: после одного запроса мы получаем амплитуду угадывания верного решения, равную
Ну хорошо, те из вас, кто читает мой блог[79], должно быть, устали от споров об ограниченности квантовых компьютеров при решении неструктурированных поисковых задач. Так что я позволю себе вольность и закончу на этом данный раздел.
Квантовые вычисления и многомировая интерпретация
Поскольку данная книга носит название «Квантовые вычисления со времен Демокрита», мне, наверное, следует завершить главу глубоким философским вопросом. Ну хорошо, как насчет такого: если бы нам удалось построить нетривиальный квантовый компьютер, можно было бы считать это доказательством существования параллельных вселенных?
Один из основателей теории квантовых вычислений в 1980-е гг. Дэвид Дойч определенно считает, что можно[80]. Хотя, чтобы быть точным, Дойч убежден, что воздействие было бы «всего лишь» психологическим, поскольку для него квантовая механика уже доказала существование параллельных вселенных! Дойч любит задавать вопросы вроде такого: если алгоритм Шора успешно раскладывает на простые множители 3000-значное целое число, то где при этом производится разложение? Откуда взялись вычислительные ресурсы, необходимые для разложения этого числа, если не из какой-то «мультивселенной», экспоненциально большей, чем та, которую мы видим вокруг? На мой взгляд, Дойч здесь неявно предполагает, что задача разложения на простые множители не входит в BPP, но это не важно; для целей данной дискуссии мы вполне можем согласиться с этим его предположением.
Никого не должно удивлять, что взгляды Дойча по этому вопросу очень далеки от всеобщего признания. Многие из тех, кто признает возможность создания квантовых компьютеров и формальные соглашения, необходимые для их описания, тем не менее не согласны с тем, что эту формальную сис-тему лучше всего интерпретировать в терминах «параллельных вселенных». Для Дойча эти люди — просто интеллектуальные хлюпики, как те церковники, которые соглашались, что сис-тема Коперника практически полезна для расчетов, если при этом твердо помнить, что Земля в реальности не обращается вокруг Солнца.
А как интеллектуальные хлюпики реагируют на подобные обвинения? С одной стороны, они указывают, что интерпретация квантового компьютера в терминах «параллельных вселенных» сама по себе порождает серьезные сложности. В частности, существует штука, которую те, кто обречен беспокоиться о подобных вещах, называют «проблемой предпочтительного базиса». Суть этой проблемы такова: как нам определить «расщепление» между двумя параллельными вселенными? Способов разделить квантовое состояние можно придумать бесконечно много, и совершенно неясно, почему один из этих способов может быть лучше другого!
Можно рассуждать в этом направлении дальше. Ключевой момент, определяющий ускорение квантового компьютера, более того, вообще отличающий квантовую механику от классической теории вероятностей, — это интерференция между положительными и отрицательными амплитудами. Но если различные «ветви» мультивселенной в некоторой степени могут взаимодействовать с пользой для квантовых вычислений, то в этой же самой степени они более не кажутся различными ветвями! Я имею в виду, что весь смысл интерференции — смешать ветви так, чтобы они потеряли свои индивидуальности. Если же они сохранят свои индивидуальности, то мы, и именно по этой причине, не увидим интерференции.
Разумеется, сторонник теории множественности вселенных мог бы ответить, что чтобы потерять собственные различные индивидуальности из-за интерференции друг с другом, ветви для начала должны все же существовать! И спор об этом может продолжаться (и в самом деле продолжается) очень долго[81].
Вместо того чтобы принять одну из сторон в этом сложном, захватывающем, но, возможно, бессмысленном в конечном итоге споре, я бы предпочел завершить одним наблюдением, не вызывающим дискуссий. Нижняя оценка от Беннетта и др. говорит нам, что если квантовые вычисления свидетельствуют в пользу существования параллельных вселенных, то делают они это определенно не так, как думает большинство людей! Мы уже видели, что квантовый компьютер — не устройство, способное «параллельно проверить все возможные решения», а затем мгновенно выбрать среди них верное. Если мы настаиваем на том, чтобы рассматривать все в терминах параллельных вселенных, то все эти вселенные должны «сотрудничать», более того, должны сплавиться воедино, чтобы создать интерференционную картину, которая при наблюдении даст верный ответ с высокой вероятностью.
Дополнительная литература
Определение и основные свойства класса BQP взяты из статьи «Квантовая теория сложности» Этана Бернштейна и Умеша Вазирани "Quantum Complexity Theory," SIAM Journal on Computing 26 (5):1411–1473, 1997). Прекрасное введение в квантовые вычисления с определениями можно найти в книге «Квантовые вычисления и квантовая информация» Михеля Нильсена и Айзека Чуанга (Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2011).
Пенроуз
Эта глава посвящена рассуждениям Роджера Пенроуза о возможности искусственного интеллекта, содержащимся в его знаменитых книгах «Новый ум короля» и «Тени разума»[82]. Было бы странно, если бы в такой книге, как эта, не обсуждались бы эти аргументы, ведь, согласны вы с ними или нет, это одни из заметнейших вех на стыке математики, теоретической информатики, физики и философии. Причина, по которой мы обсуждаем их именно сейчас, состоит в том, что у нас наконец есть все к тому все предпосылки (вычислимость, сложность, квантовая механика и квантовые вычисления).
Взгляды Пенроуза весьма сложны: там есть и рассуждения об «объективном коллапсе» квантовых состояний, который должен следовать из неоткрытой пока квантовой теории гравитации. Еще более противоречиво заявление о том, что этот гипотетический объективный коллапс должен играть роль в человеческом интеллекте путем воздействия на клеточные структуры мозга, известные как микротрубки.
Но для начала: что побуждает Пенроуза к подобным экзотическим рассуждениям? Сердцевина тезисов Пенроуза — один конкретный аргумент, долженствующий показать, что человеческий интеллект не может быть алгоритмическим по причинам, связанным с теоремой Гёделя о неполноте. И поэтому в функции человеческого мозга следует искать некий неалгоритмический элемент, единственным правдоподобным источником которого является новая физика (исходящая, к примеру, из квантовой гравитации). Сам по себе «аргумент Гёделя» обязан своим происхождением не Пенроузу: судя по всему, Гёдель сам верил в какой-то его вариант (хотя никогда не публиковал своих взглядов); уже в 1950 г. об этом было достаточно хорошо известно, так что Алан Тьюринг счел нужным опровергать его в своей знаменитой работе «Вычислительная техника и интеллект». Вероятно, первое подробное изложение аргумента Гёделя в печатном виде сделал в 1961 г. философ Джон Лукас[83]. Основным вкладом Пенроуза стало то, что он воспринял этот аргумент достаточно серьезно, чтобы подробно исследовать, что реально должны были бы представлять собой Вселенная и наш мозг, — или, лучше сказать, что они могли бы представлять собой, — если бы данный аргумент имел силу. Отсюда все рассуждения о квантовой гравитации и микротрубках.
Но давайте начнем с того, что изложим в нескольких предложениях сам аргумент Гёделя о том, почему человеческая мысль не может быть алгоритмической. Как насчет такого: первая теорема о неполноте гласит, что никакой компьютер, работающий в рамках фиксированной формальной сис-темы F, такой как теория множеств Цермело — Френкеля, не может доказать высказывание
G (F) = «Это высказывание не может быть доказано в F.»
Но мы, люди, можем просто «увидеть» истинность G(F), поскольку если бы G(F) было ложно, оно было бы доказуемо, что нелепо! Следовательно, человеческий разум может делать вещи, на которые не способен ни один современный компьютер. Следовательно, сознание не сводимо к вычислениям.
Ну хорошо, что люди думают об этом аргументе?
Ну да, есть два очевидных, в общем-то, момента:
Почему компьютер должен работать в рамках фиксированной формальной сис-темы F?
Может ли все же человек «увидеть» истинность G(F)?
На самом деле ответ, который предпочитаю лично я, включает оба вышеприведенных варианта как «граничные случаи». Вспомним из главы 3, что согласно Второй теореме о неполноте G(F) эквивалентна Con(F) — утверждению о том, что F непротиворечива. К тому же эта эквивалентность может быть доказана внутри самой F для любой разумной F. Здесь возникает два важных следствия.
Во-первых, это означает, что, когда Пенроуз утверждает, что человек может «увидеть» истинность G(F), на самом деле он утверждает просто, что человек может увидеть непротиворечивость F! При такой формулировке проблемы становятся более очевидными: какчеловек видит непротиворечивость F? О каких именно F идет речь? Об арифметике Пеано? Аксиомах Цермело — Френкеля (ZF)? Аксиомах Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC)? ZFC с аксиомами, утверждающими существование больших кардинальных чисел? Могут ли вселюди увидеть непротиворечивость всех этих сис-тем или нужно быть математиком калибра Пенроуза, чтобы увидеть непротиворечивость наиболее сильных из них? Как быть с сис-темами, которые долгое время считались непротиворечивыми, но оказались не такими? И даже если вы и правда увидели непротиворечивость, скажем, сис-темы ZF, то как бы вы могли убедить другого человека в том, что вы ее увидели? Откуда другому человеку знать, что вы говорите правду, а не просто хвастаетесь?
(Модели теории множеств Цермело — Френкеля похожи на трехмерные картины из точек: иногда нужно прищуриться, чтобы их увидеть…)
Второе следствие заключается в том, что если мы предоставим компьютеру ту же свободу, которую Пенроуз щедро дарует людям, — а именно свободу просто допустить непротиворечивость базовой формальной сис-темы, — то компьютер сможет доказать G(F).
Так что вопрос сводится к следующему: может ли человеческий разум каким-то образом проникнуть взглядом в платоновы небеса, чтобы непосредственно воспринять, скажем так, непротиворечивость теории множеств ZF? Если ответ «нет», если мы можем подходить к математической истине только с теми же ненадежными, настроенными на жизнь в саванне инструментами, которые используем для стирки белья, заказа китайских блюд на дом и т.п., то нам, как мне представляется, следует признать за компьютерами право на ту же свободу ошибаться. Но тогда заявленное различие между человеком и машиной, о котором идет речь, быстро испарится.
Возможно, лучше всего об этом сказал сам Тьюринг[84]: «Если мы хотим, чтобы машина была разумна, она не может одновременно быть непогрешимой. Существуют теоремы, в которых доказывается почти в точности это».
На мой взгляд, Пенроузу вообще не нужно говорить о теореме Гёделя. Аргумент Гёделя оказывается всего лишь математическим изложением гораздо более старого аргумента против редукционизма: «Конечно, компьютер мог бы сказать, что понимает G(F), но на самом деле он всего лишь играет символами! Когда я говорю, что понимаю G(F), я подразумеваю именно это! Я знаю, каково это — чувствовать, что я это я!»
Очевидный ответ на этот аргумент не менее стар: «Почему вы считаете, что нет такого ощущения — быть компьютером?»
Открываем черный ящик
Так, сморим далее: Роджер Пенроуз — один из величайших специалистов по математической физике на Земле. Может ли быть, что мы неверно восстановили ход его мысли?
На мой взгляд, самые правдоподобные варианты аргумента Пенроуза те, что основаны на «асимметрии понимания», а именно то, что мы, понимая внутреннее устройство и принципы работы компьютера, не понимаем пока внутреннего устройства и принципов работы мозга.
Как можно использовать эту асимметрию? Ну, если дана любая известная машина Тьюринга M, безусловно, можно построить высказывание, которое поставит ее в тупик:
S(M) = «Машина M никогда не выведет это высказывание».
Есть два варианта: либо M выведет S(M), и это будет озна-чать, что она вывела ложь, либо M не выведет S(M), и это будет означать, что существует математическая истина, с которой она не может согласиться.
Очевидный ответ таков: почему бы нам не сыграть в ту же игру с человеком?
«Роджер Пенроуз никогда не выведет это высказывание».
Можно полагать, что на это есть ответ: потому что мы можем формально определить, что значит для машины M вывести нечто, если разберемся в ее внутреннем устройстве. В самом деле, «M» — это всего лишь сокращенное обозначение диаграммы состояния подходящей машины Тьюринга. Но можем ли мы формально определить, что значит для Пенроуза что-то вывести? Ответ зависит от того, что нам известно о внутреннем устройстве и работе человеческого мозга, или, точнее, мозга Пенроуза! А это приводит нас к представлению Пенроуза о мозге как объекте «некомпьютерном».
Есть распространенная ошибка: люди думают, что Пенроуз считает мозг квантовым компьютером. На самом же деле квантовый компьютер был бы намного слабее, чем ему нужно! Как мы видели ранее, квантовые компьютеры, судя по всему, не способны даже решать NP-полные задачи за полиномиальное время. Пенроуз, напротив, хочет, чтобы мозг решал невычислимыезадачи с использованием гипотетических эффектов коллапса из еще не открытой квантовой теории гравитации.
Я однажды спросил Пенроуза: почему не пойти дальше и не предположить, что мозг способен решать задачи, невычислимые даже при наличии оракула для проблемы остановки, или оракула для проблемы остановки машины Тьюринга с оракулом для проблемы остановки, и т.п.? Он ответил, что да, это он бы тоже предположил.
Я лично всегда считал, что если Пенроуз в самом деле хочет порассуждать о невозможности моделирования мозга на компьютере, то ему следует говорить не о вычислимости, а о сложности. Причина просто в том, что в принципе мы всегда можем смоделировать человека при помощи громадной таблицы преобразования, в которой закодирована реакция человека на каждый вопрос, который может быть ему задан на протяжении, скажем, ближайшего миллиона лет. При желании мы могли бы закодировать в этой таблице также голос, жесты, выражения лица и другие особенности этого человека. Ясно, что такая таблица будет конечной. Так что всегда возможна какая-то модель человеческого существа, вопрос только в том, будет ли такая модель эффективной!
Вы можете возразить, что если бы люди могли жить бесконечно или хотя бы произвольно долго, то таблица перекодировки не была бы конечной. Это верно, но несущественно. Факт есть факт: люди регулярно решают, что другие люди обладают разумом, после нескольких минут общения с ними! (Мало того, иногда такой вывод делается после нескольких минут обмена электронными письмами или смс-сообщениями.) Так что если вы не планируете удариться в картезианский скептицизм по поводу каждого встреченного в фейсбуке, чате и т.п. персонажа, то просто должно существовать относительно небольшое целое n, такое, что после обмена не более чем n битами вы можете быть в разумной степени уверены, что ваш собеседник обладает разумом.
В книге «Тени разума» (своеобразное «продолжение» книги «Новый разум короля») Пенроуз признает, что человека-математика всегда можно смоделировать на компьютере с громадной таблицей перекодировки. Затем он утверждает, что такая таблица не являлась бы «настоящей» моделью, поскольку, к примеру, не было бы оснований считать, что любое конкретное заявление в этой таблице истинно, а не ложно. Проблема здесь в том, что этот аргумент откровенно противоречит центральной, как могло бы показаться, мысли Пенроуза, а именно что машина не может даже имитировать человеческий интеллект, не говоря уже о том, чтобы проявлять его!
В «Тенях» Пенроуз предлагает следующую классификацию взглядов на сознание:
1. Сознание можно свести к вычислительным процессам (точка зрения сторонников сильного ИИ).
2. Конечно, сознание можно имитировать при помощи компьютера, но имитация не в состоянии обеспечить «настоящее понимание» (точка зрения Джона Сёрла).
3. Сознание невозможно даже имитировать при помощи компьютера, однако оно тем не менее имеет научное объяснение (точка зрения самого Пенроуза, судя по «Теням»).
4. Сознание вовсе не имеет научного объяснения (точка зрения 99% всех, кто когда-либо жил на свете).
Кстати говоря, мне кажется, что Пенроуз, отбрасывая таблицы перекодировки как «ненастоящую» модель, отступает с точки зрения C на точку зрения B. Ведь если мы скажем, что прохождения теста Тьюринга недостаточно, что необходимо «вскрыть ящик» и исследовать внутреннее устройство машины, чтобы определить, думает она или нет, то что в позиции C будет отличать ее от позиции B?
Тем не менее я хочу извернуться и посмотреть, не удастся ли мне понять, что все-таки имеет в виду Пенроуз.
В науке всегда можно состряпать теорию для «объяснения» имеющихся данных: достаточно просто выписать все имеющиеся данные подряд и назвать это «теорией»! Очевидная проб-лема здесь — излишняя подгонка. Поскольку такая теория не дает никакого сжатия оригинальных данных, то есть для записи теории требуется ровно столько же бит, что и для записи данных, то нет оснований ожидать, что эта теория сможет предсказать будущие данные. Иными словами, такая теория бесполезна.
Так что, когда Пенроуз говорит, что таблица перекодировки — это не «настоящая» модель, он, может быть, имеет в виду следующее. Разумеется, можно написать компьютерную программу, которая разговаривала бы как Дизраэли или Черчилль, просто собрав все возможные их высказывания и ответы. Но это и есть излишняя подгонка, с которой мы не должны мириться! Главный вопрос не в том, можем ли мы смоделировать сэра Уинстона при помощи какой-либокомпьютерной программы. Скорее он в том, можем ли мы смоделировать его при помощи программы, которая может быть написана в пределах наблюдаемой Вселенной и которая, в частности, многократно короче списка всех возможных разговоров с ним.
Итак, мы опять попадаем в точку, куда я возвращаюсь раз за разом: если Пенроуз имеет в виду именно это, то он оставил мир Гёделя и Тьюринга далеко позади и вступил на мое поле деятельности — в царство вычислительной сложности. Откуда Пенроуз — или кто угодно другой — знает, что не существует ма-а-аленькой булевой схемы, способной смоделировать Уинстона Черчилля? По-видимому, мы не смогли бы доказать ничего подобного, даже считая (чисто теоретически), что мы знаем, что такое модель Черчилля! О вы, все те, кто готов утверждать неразрешимость конечных задач: на этом пути затаился зверь P или NP, из 2n челюстей которого не удалось выскользнуть еще ни одному смертному[85].
Рискну утверждать очевидное
Даже если мы предположили бы, что мозг действительно решает трудную вычислительную задачу, неясно, почему это приблизило бы нас к пониманию сознания. Если быть просто машиной Тьюринга никак не ощущается, то почему быть машиной Тьюринга с оракулом по проблеме остановки должно как-то ощущаться?
Все на поезд всеохватной квантовой гравитации!
Отставим в сторону конкретику идей Пенроуза и зададимся более общим вопросом: должна ли квантовая механика хоть как-то влиять на наши представления о мозге?
Конечно, искушение понятно и естественно: сознание загадочно, квантовая механика тоже загадочна, следовательно, они должны быть как-то связаны между собой! Ну, может, в этом что-то и есть, поскольку источник загадочности в обоих случаях, кажется, один, а именно: как совместить описание мира, сделанное от третьего лица, с личным переживанием этого мира?
Когда кто-то пытается сформулировать этот вопрос более конкретно, это часто заканчивается вопросом: «Является ли мозг квантовым компьютером?» Может, и является, но мне в голову приходит по крайней мере четыре хороших аргумента против такой возможности.
1. Задачи, для которых квантовый компьютер, как считается, обеспечит резкое увеличение производительности, — разложение целых чисел на простые множители, решение уравнения Пелля, моделирование кварк-глюонной плазмы, аппроксимация полинома Джонса и т.п. — вряд ли повысили бы вероятность репродуктивного успеха троглодита Оога по сравнению с его собратьями-троглодитами.
2. Даже если человек мог бы извлечь пользу из квантово-компьютерного ускорения, я не вижу никаких свидетельств того, что он на самом деле делает это. Говорят, Гаусс мог мгновенно и в уме раскладывать на множители большие целые числа, но, даже если так, это доказывает лишь, что мозг Гаусса был квантовым компьютером, а не что мозг всех остальных является таковым!
3. Мозг — горячая влажная среда, и трудно понять, как в нем может поддерживаться когерентность дальнего порядка[86]. С сегодняшними представлениями о коррекции квантовых ошибок этот аргументом перестал быть убойным, но по-прежнему остается чрезвычайно сильным.
4. Как я уже упоминал, даже если мы предположим, что мозг действительно является квантовым компьютером, это, кажется, не даст нам ничего в плане объяснения сознания — а именно для этого подобные рассуждения обычно и привлекают!
Ну хорошо, смотрите. Чтобы не выглядеть совершенным брюзгой, — ибо что может быть дальше от моего характера, чем брюзжание? — позвольте мне, по крайней мере, рассказать, в каком направлении я бы стал действовать, если бы был квантовым мистиком.
Где-то в начале «Нового разума короля» Пенроуз рассказывает о самом моем любимом мысленном эксперименте — машине для телепортации. Это машина, которая перемещает вас по галактике со скоростью света: она просто сканирует ваше тело, шифрует все его клеточные структуры, переводя в чистую информацию, а затем передает эту информацию посредством радиоволн. Когда информация прибывает на место, наноботы (того сорта, какие появятся у нас через несколько десятилетий, если верить Рэю Курцвейлу и компании) используют ее и заново выстраивают ваше физическое тело вплоть до мельчайших подробностей.
А, я забыл упомянуть: поскольку мы очевидным образом не хотим, чтобы вокруг бегало двеваши копии, оригинал уничтожается быстрым и безболезненным выстрелом в голову. Итак, дорогие товарищи ученые-редукционисты: кто из вас хочет первым отправиться на Марс таким способом?
Что, есть какие-то сомнения? Неужели вы хотите сказать, что привязаны почему-то к конкретным атомам, из которых состоит в данный момент ваш мозг? Как, я уверен, вы знаете, эти атомы так и так заменяются каждые несколько недель. Так что атомы сами по себе не делают вас вами; скорее дело в информации, которая в них зашифрована. И если информация эта в безопасности и направляется прямиком к Марсу, кого волнует ее оригинальное хранилище из плоти и крови?
Так что выбирайте: душа или пуля!
Надо сказать, квантовая механика действительно предлагает третий выход из этой ситуации — выход, который не имел бы смысла в классической физике.
Предположим, что часть информации, которая делает вас вами, — это на самом деле квантоваяинформация. Тогда, даже если вы материалист до мозга костей, у вас появляется прекрасный повод не пользоваться машиной для телепортации: ведь из теоремы о запрете клонирования следует, что ни одна подобная машина не в состоянии работать так, как заявлено.
При этом я не утверждаю, что невозможно телепортироваться со скоростью света. Но процесс телепортации выглядел бы совершенно иначе, чем описанный выше: в нем не могла бы идти речь о копировании человека, а затем убийстве оригинала. Либо вас можно было бы переслать в виде квантовой информации, либо — если бы это оказалось нереализуемо — вы могли бы воспользоваться знаменитым протоколом квантовой телепортации[87], при котором пересылается только классическая информация, но который требует также предварительного запутывания между отправителем и получателем. В любом случае ваш оригинал исчезает неизбежно, в ходе самого процесса телепортации. С философской токи зрения процесс этот напоминал бы перелет из Ньюарка в Лос-Анджелес: вам не пришлось бы решать никакой глубокой метафизической дилеммы о том, «нужно ли уничтожать копию себя, оставшуюся в Ньюарке».
Разумеется, это красивое решение может работать только в том случае, если мозг действительно хранит квантовую информацию. Но очень важно, в данном случае, что нам не нужно воображать, что мозг — это квантовый компьютер, или что он поддерживает запутанность между различными нейронами, или еще во что-нибудь столь же несуразное. Как в квантовом распределении ключей, все, что нам нужно, — это отдельные когерентные кубиты.
Вы могли бы заявить, что в таком жарком, влажном, некогерентном месте, как наш мозг, даже отдельный кубит не может существовать очень уж долго. И с учетом того немногого, что мне известно о нейробиологии, я склонен с этим согласиться. В частности, судя по всему, долговременные воспоминания действительно кодируются в виде прочных синаптических связей, и прочность этих связей представляет собой чисто классическую информацию, которую нанобот в принципе способен сканировать и воспроизводить без ущерба для оригинального мозга. С другой стороны, как насчет, скажем, будущих действий: что я сделаю через минуту, пошевелю левым пальцем или правым? Не определяется ли это решение отчасти квантовыми событиями?
Ну, что бы вы ни думали о такой гипотезе, ясно, что нужно сделать, чтобы ее фальсифицировать. Просто нужно построить машину, которая сканировала бы человеческий мозг и надежно предсказывала, каким пальцем этот человек пошевелит минуту спустя. Сегодня, как я расскажу в главе 19, проводятся эксперименты с фМРТ, в ходе которых делаются первые подобные предсказания, но только на несколько секунд вперед и с вероятностью лишь чуть выше случайной.
Декогеренция и скрытые переменные
Почему многим великим мыслителям с таким трудом давалась квантовая механика? Послушать некоторых людей, так весь источник проблем состоит в том, что «Бог играет со Вселенной в кости», то есть если классическая механика может, в принципе, предсказать падение каждого воробья, то квантовая механика дает лишь статистические предсказания.
Знаете что? Йо-хо-хо! Если бы индетерминизм был единственной загадкой в квантовой механике, квантовая механика не была бы загадочной вовсе. При желании мы могли бы вообразить, что Вселенная и правда имеет определенное состояние в любой момент, но что некоторый фундаментальный принцип (помимо очевидных практических сложностей) не позволяет нам узнать это состояние целиком. Для этого не потребовалось бы всерьез пересматривать наши представления о мире. Конечно, «Бог играл бы в кости», но так доброжелательно, что даже Эйнштейн не смог бы всерьез к этому придраться.
Настоящая проб-лема квантовой механики не в том, что будущая траектория частицы недетерминирована, — она в том, что и прошлая ее траектория также недетерминирована! Или, точнее, само понятие «траектории» не определено, поскольку до тех пор, пока вы ничего не измеряете, существует лишь развивающаяся волновая функция. И, самое главное, из-за определяющей черты квантовой механики — интерференции между положительными и отрицательными амплитудами — эту волновую функцию, в отличие от распределения вероятностей, невозможно рассматривать просто как продукт нашего невежества.
Теперь я хочу рассказать вам о декогеренции и теории скрытых параметров; то и другое — истории того рода, которые люди рассказывают сами себе, чтобы не так страдать от этих сложностей.
Упрямый физик, разумеется, спросит: имея в виду, что квантовая механика работает, зачем нам тратить время, пытаясь как-то примириться с ней? Вообще-то если вы преподаете вводный курс по квантовой механике и ваших студентов не мучают кошмары, они не рвут на себе волосы, не бродят вокруг с налитыми кровью глазами и т.п., то вы, вероятно, не сумели донести до них главное. Так что вместо того, чтобы отрицать этот аспект квантовой механики, вместо того, чтобы сдавать поле битвы шарлатанам, всевозможным дипакам чопра и авторам псевдодокументальных фильмов вроде «Покрытого тайной», разве не следует нам самим во всем разобраться — и потом продавать билеты туристам? Я имею в виду, что если вы собираетесь прыгнуть в пропасть, то лучше делать это вместе с кем-то, кто уже побывал там и вернулся.
В пропасть
Ну хорошо, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть |R〉 —состояние всех частиц в вашем мозге, соответствующее вашему взгляду на красную точку. Пусть |B〉 —состояние, соответствующее взгляду на синюю точку. А теперь представьте, что в далеком будущем можно будет поместить ваш мозг в когерентную суперпозицию этих двух состояний:
По крайней мере, для сторонника многомировой интерпретации этот эксперимент должен быть невыразимо скучным. У нас есть две параллельные вселенные, в одной из которых вы видите красную точку, а в другой — синюю. Согласно квантовой механике, вы обнаружите себя в первой вселенной с вероятностью |3/5|2 = 9/25, а во второй — с вероятностью |4/5|2 = 16/25. В чем проб-лема?
Ну а теперь представьте, что мы применим к вашему мозгу некоторую унитарную операцию, которая изменит его состояние на
Пока все еще просто! Теперь вы видите красную точку с вероятностью 16/25, а синюю — с вероятностью 9/25.
Ага! Но при условии, что ранее вы видели красную точку, с какой вероятностью позже вы увидите синюю?
В обычной квантовой механике этот вопрос не имеет смысла! Квантовая механика дает нам вероятность получения определенного результата при проведении измерения в определенный момент, и точка. Она не дает нам многомоментных или переходных вероятностей, то есть вероятности нахождения электрона в точке y в момент времени t + 1 при условии, что если бы вы провели измерение этого электрона в момент времени t (чего вы не делали), он «обнаружился бы» в точке x. С обычной точки зрения если вы не провели реального измерения электрона в момент t, то он в этот момент не находился нигде: он просто был в суперпозиции. А если вы провелиизмерение в момент t, то, разумеется, это будет совершенно другой эксперимент!
Но почему нас должны волновать многомоментные вероятности? На мой взгляд, все это имеет отношение к надежности памяти. Вопрос следующий: имеет ли «прошлое» какой-то объективный смысл? Даже если мы не знаем всех подробностей, существует ли непременно некая «истина» о том, что произошло в истории, о том, по какой траектории двигался мир к своему нынешнему состоянию? Или прошлое «существует» лишь постольку, поскольку отражается в настоящем в виде воспоминаний и записей?
Безусловно, последняя точка зрения более естественна в квантовой механике. Но, как указывал Джон Белл[88], если мы воспримем ее серьезно, то всякая научная деятельность покажется сложной, если не невозможной! Ибо что можно будет назвать словами сделать предсказание, если нет никакой логической связи между прошлым и будущим состояниями, — если к тому моменту, когда вы закончите читать это предложение, вы, возможно, окажетесь в дождевом лесу на Амазонке, и в памяти у вас появятся все нужные воспоминания о путешествии туда, а все воспоминания о чтении книги про квантовые вычисления, понятное дело, исчезнут?
Эй, вы все еще здесь? Отлично!
Смотрите: все мы смеемся над креационистами, уверенными, что мир возник 3 октября 4004 г. до н.э. в 9 часов утра (вероятно, по вавилонскому времени), сразу с готовыми окаменелостями в горных породах, со светом далеких звезд на полпути к нам и т.п. Но если безоговорочно принять обычную картину квантовой механики, то ситуация, в определенном смысле, окажется много хуже: получится, что мир (такой, каким мы его воспринимаем) вполне мог не существовать 10–43секунд назад!
История 1. Декогеренция
Стандартным ответом на подобные сложности является апелляция к мощной идее под названием декогенерция. Декогеренция пытается объяснить, почему мы не замечаем «квантовых странностей» в повседневной жизни, почему мир нашего чувственного опыта более или менее соответствует классическим законам. С точки зрения декогеренции мы, конечно, можем не иметь объективных данных о том, через которую из двух щелей просочился электрон, зато у нас имеются объективный факт о том, то мы ели на завтрак сегодня утром, — оказывается, это две большие разницы!
Основная идея здесь в том, что, как только информация, зашифрованная в квантовом состоянии, «просачивается» во внешний мир, это состояние локально начинает выглядеть как классическое. Иными словами, с точки зрения локального наблюдателя не существует разницы между классическим битом и кубитом, который безнадежно запутан с остальной Вселенной.
Итак, к примеру, пусть у нас есть кубит в состоянии
Предположим, что этот кубит запутывается со вторым кубитом, чтобы образовать следующее общее состояние:
Если мы теперь забудем про второй кубит и будем смотреть только на первый, то первый кубит будет находиться в том, что физики называют максимально смешанным состоянием:
(Некоторые другие просто называют его классическим случайным битом.) Иными словами, какое бы измерение вы ни проводили над первым кубитом, вы получите просто случайный результат. Вы никогда не увидите интерференции между «ветвями» волновой функции, описываемыми членами |00〉 |11〉 Почему? Потому что, согласно квантовой механике, две ветви будут интерферировать только в том случае, если станут идентичными во всех отношениях. Но способа сделать |00〉 дентичным |11〉 утем изменения одного только первого кубита просто не существует. Второй кубит всегда будет напоминать о разном происхождении наших потенциальных возлюбленных.
Чтобы увидеть рисунок интерференции, вам необходимо произвести совместное измерение этих двух кубитов. Но что, если второй кубит — это случайный фотон, пролетевший через вашу лабораторию по пути к галактике Андромеды? В самом деле, если подумать обо всем том мусоре, который может впутаться в ваш тонкий эксперимент, — эти молекулы воздуха, и космические лучи, и геотермальное излучение… ну, все что угодно, я не экспериментатор — это как если бы вся остальная Вселенная постоянно пыталась «измерить» ваше квантовое состояние и тем самым превратить его в классическое! Конечно, даже если ваше квантовое состояние и правда схлопнется (то есть спутается с остальным миром), вы, в принципе, сможете его вернуть, — если соберете по Вселенной все те частицы, с которыми спуталось ваше состояние, а затем обратите всё, что произошло с момента схлопывания. Это как если бы Памела Андерсон попыталась вновь отвоевать себе право на частную жизнь, отследив на Земле каждый компьютер, в котором могут оказаться ее фотографии!
Если мы примем эту картину, то получим объяснение двух вещей:
1. Самым очевидным образом это объясняет, почему в повседневной жизни мы, как правило, не видим, как объекты квантово интерферируют со своими двойниками из параллельных вселенных. (Если, конечно, мы не живем в темной комнате с двумя щелями в стене…) По существу, это та же причина, по которой мы не видим, как взбитые яйца восстанавливают свою целостность.
2. И в качестве обратной стороны монеты: эта картина объясняет также, почему так трудно построить квантовый компьютер: потому что при этом мы должны не только не допустить просачивания ошибок в компьютер, мы должны не дать компьютеру просочиться в окружающий мир! Мы сражаемся с декогеренцией — одним из самых вездесущих процессов во Вселенной. В самом деле, именно потому, что декогеренция так могущественна, многие физики воспринимают теорему о квантовой устойчивости к ошибкам[89] как настоящий шок. (Теорема об устойчивости к ошибкам говорит примерно следующее: если скорость декогеренции на кубит на квантовый вентиль ниже некоторого постоянного порога, то в принципе можно корректировать ошибки быстрее, чем они возникают, и таким образом производить сколь угодно длинные квантовые вычисления.)
Как же обстоит дело с упоминавшимся уже мысленным экспериментом — тем самым, где мы помещаем ваш мозг в когерентную суперпозицию наблюдения синей точки и красной точки, а затем спрашиваем о вероятности того, что вы увидите, как точка меняет цвет? С точки зрения декогеренции можно сделать вывод, что такой мысленный эксперимент совершенно нелеп, поскольку мозг — это большая, громоздкая штука, непрерывно испускающая электрические сигналы, и потому любая квантовая суперпозиция двух схем срабатывания нейронов непременно схлопнется (то есть спутается с остальной Вселенной) за какие-то наносекунды.
Прекрасно, мог бы возразить скептик. Но что, если в далеком будущем появилась бы возможность загрузить мозг целиком в квантовый компьютер, а затем поместить этот квантовый компьютер в суперпозицию наблюдения красной точки и синей точки? А? Какой тогда будет вероятность, что «вы» (то есть тот самый квантовый компьютер) увидите, как точка меняет цвет?
Когда много лет назад я задал этот вопрос Джону Прескиллу, он ответил, что сама декогеренция — иными словами, приблизительно классическая вселенная — представляется ему важным компонентом субъективного опыта, как мы его понимаем. И потому, если искусственно устранить декогеренцию, то, может, вовсе не будет смысла задавать те вопросы о субъективном опыте, какие мы привыкли задавать. Мне кажется, что такой ответ был бы довольно популярным среди тех физиков, которые настроены достаточно философски, чтобы сказать по этому поводу хоть что-нибудь.
Декогеренция и второе начало термодинамики
Мы все же доберемся до скрытых параметров. Но сначала хочу сказать еще кое-что о декогеренции.
Когда я чуть раньше говорил о хрупкости квантовых состояний — как легко их разрушить, как трудно собрать вновь, — вас, возможно, поразили параллели со вторым началом термодинамики. Очевидно, это всего лишь совпадение, не так ли? Нет, не так. Согласно сегодняшним представлениям, декогеренция — это всего лишь еще одно проявление второго начала.
Посмотрим, как это работает. Если имеется распределение вероятностей D = (p1, …, pN), то существует фундаментальная мера «количества случайности» в D, известная как энтропия D и обозначаемая H(D). Вот формула для H(D), на случай если вы ее прежде не видели:
(Будучи компьютерщиком, я еще раз оговорюсь, что все логарифмы берутся по основанию 2. Кроме того, pi log pi определяется как нуль при pi = 0.) Интуитивно понятно, что H(D) есть мера минимального числа случайных битов, необходимых вам для генерации одной выборки из D, конечно в среднем, если вы генерируете множество независимых выборок. Она также есть мера минимального числа битов, которые вам придется переслать подруге, если вы захотите сообщить ей, какой именно элемент из D выбран, — опять же в среднем, если вы сообщаете подруге о множестве независимых испытаний. Для иллюстрации скажем, что распределение без всякой случайности характеризуется нулевой энтропией, а для равномерного распределения по Nвозможным исходам энтропия равна log2 N (таким образом, энтропия единственного броска честной монетки равна log2 2 = 1). Энтропия была центральной концепцией в теории информацииКлода Шеннона (которую он изложил в почти полном виде в единственной статье 1948 г.)[90]. Но своими корнями энтропия восходит еще к Больцману и другим специалистам по термодинамике конца XIX века.
Так или иначе, при заданном квантовом смешанном состоянии ρ энтропия ρ по фон Неймануопределяется как минимум по всем унитарным преобразованиям U энтропии распределения вероятностей, вытекающего из измерения UρU — 1 в стандартном базисе. Для примера, всякое чистое состояние характеризуется нулевой энтропией, тогда как однокубитное максимально смешанное состояние имеет энтропию, равную единице.
Далее, если мы примем, что Вселенная всегда находится в чистом состоянии, то «энтропия Вселенной» в начале равна нулю и остается нулевой все время! С другой стороны, энтропия Вселенной нас не особенно интересует, нас интересует энтропия той или иной области Вселенной. И мы уже видели, что когда раздельные прежде физические сис-темы взаимодействуют друг с другом, они, как правило, переходят из чистых состояний в смешанные — и потому их энтропия возрастает. В плане декогеренции это просто действие второго начала.
Еще один способ понять связь между декогеренцией и вторым началом состоит в том, чтобы окинуть «взглядом Бога» всю мультивселенную. Обобщенно говоря, различные ветви волновой функции могут постоянно интерферировать между собой, расщепляясь и сливаясь в спутанные заросли.
Теория декогеренции говорит, что в реальном мире ветви выглядят скорее как аккуратно подстриженное дерево.
В принципе, любые две ветви этого дерева могут сталкиваться друг с другом, порождая тем самым «макроскопические интерференционные эффекты», как в моем примере с красной и синей точками. Но на практике это астрономически маловероятно, поскольку для того, чтобы столкнуться, две ветви должны были бы стать идентичными во всех отношениях.
Заметьте, что если мы принимаем картину мультивселенной-дерева, то она немедленно дает нам способ определить «стрелу времени», то есть сформулировать без зацикливания разницу между будущим и прошлым. А именно: мы можем сказать, что прошлое — это направление к корням «древа мультивселенной», а будущее — направление к его листьям. В соответствии с картиной декогеренции это на самом деле эквивалентно тому, что будущее — это направление, в котором энтропия возрастает, а также тому, что прошлое — это направление, которое мы помним, тогда как будущее — направление, которого мы не помним.
Кроме того, картина древа позволяет нам ответить на прошлые загадки, связанные с надежностью памяти. Согласно ей, мы хотя в принципе и не обязаны иметь непременно уникальное «прошлое», но на практике, как правило, имеем его, а именно: речь идет об уникальном пути, ведущем от корня древа мультивселенной к нашему текущему состоянию. Точно так же, хотя в принципе квантовая механика и не обязана давать многомоментные вероятности, то есть вероятности того, что нам предстоит пережить завтра, при условии того, что мы переживаем сегодня, на практике такие вероятности обычно вполне осмысленны, по тем же причинам, по каким они осмысленны в классическом мире. То есть, когда речь заходит о переходах между субъективными переживаниями, на практике мы имеем дело не с унитарными, а со стохастическими матрицами.
В этот момент глазастый читатель мог бы заметить проблему: а не начнут ли ветви древа мультивселенной со временем сталкиваться между собой, когда «закончится место для расширения»? Ответ: да. Во-первых, если гильбертово пространство конечномерно, то параллельные вселенные, очевидно, смогут разветвиться конечное число раз, прежде чем начнут натыкаться друг на друга. Но даже в гильбертовом пространстве бесконечной размерности нам придется считать, что каждая вселенная имеет некоторую конечную «ширину» (вспомните, к примеру, гауссовы волновые пакеты), так что речь все равно может идти лишь о конечном числе разветвлений.
Ответ теории декогеренции состоит в том, что да, со временем ветви мультивселенной начнут интерферировать между собой, точно так же, как со временем наша Вселенная придет к тепловому равновесию. Но к тому времени, скорее всего, мы все умрем.
Кстати говоря, тот факт, что наша Вселенная расширяется экспоненциально — что существует пресловутая энергия вакуума, расталкивающая галактики, — судя по всему, может сыграть важную роль в «прореживании древа мультивселенной» и, соответственно, в обеспечении нам дополнительного времени до того момента, как ее ветви начнут взаимодействовать между собой. В этом моменте мне хотелось бы разобраться получше.
О да, мне следовало бы упомянуть также «глубокий» вопрос, который я совершенно обошел молчанием. А именно: почему Вселенная начала свое существование в таком низкоэнтропийном и незапутанном состоянии? Разумеется, на этот вопрос можно попытаться дать антропный ответ, но возможен ли ответ другой?
История 2. Скрытые параметры
Какой бы аккуратной ни казалась концепция декогеренции, есть люди, которых она не в состоянии удовлетворить. Одна из причин заключается в том, что вариант с декогеренцией вынужденно вводит большое число допущений, не имеющих на первый взгляд прямого отношения к самой квантовой механике: о поведении типичных физических сис-тем, о классичности мозга и даже о природе субъективных переживаний. Вторая причина в том, что вариант декогеренции так и не ответил на наш вопрос о вероятности увидеть, как точка меняет цвет, вместо этого нас просто попытались убедить в том, что такой вопрос не имеет смысла.
Итак, если от мысли о декогеренции вам не спится легче, что можно выбрать взамен на квантовом базаре? Пожалуй, теперь настал черед сторонников варианта со скрытыми параметрами выкликать свой товар. (Остальная часть этой главы в основном пересказывает мою статью «Квантовые вычисления и скрытые параметры»[91].)
Идея теорий со скрытыми параметрами проста. Если мы считаем, что квантовая механика описывает огромный беспокойный океан параллельных вселенных, которые непрерывно ветвятся, сливаются и ликвидируют одна другую, то теперь мы собираемся спустить в этот океан небольшую лодочку. Мы будем считать, что положение лодочки представляет «реальное», «актуальное» состояние вселенной в заданный момент времени, а океан — это всего лишь «поле потенциалов», роль которого — бросать лодочку в разные стороны. По историческим причинам положение лодочки называется скрытым параметром, несмотря на то что в определенном смысле это единственная нескрытая часть всей картины! Далее, наша цель — сформулировать для лодочки правило эволюции, такое, что в любой момент времени распределение вероятностей по возможным положениям лодочки в точности соответствует распределению |ψ|2, предсказанному стандартной квантовой механикой.
В этом случае по построению теории со скрытыми параметрами экспериментально неотличимы от стандартной квантовой механики. Так что, по-видимому, не может быть вопросов, «истинны» они или «ложны», — единственный вопрос в том, хорошие это истории или плохие.
Вы могли бы спросить, зачем нам беспокоиться об этих нефальсифицируемых гоблинах, которые прячутся в шкафу у квантовой механики? Я приведу вам четыре причины.
1. С моей точки зрения, понимание квантовой механики, в частности, требует разбора возможных историй, которые можно о ней рассказать. Если это не делать, то мы рискуем попасть в глупое положение, если начнем рассказывать людям, что какие-то истории для нее не годятся, тогда как на самом деле они годятся, или наоборот. (Исторических прецедентов множество.)
2. Как мы увидим, теории со скрытыми параметрами порождают всевозможные содержательные и нетривиальные математические проблемы, причем некоторые из них до сих пор остаются нерешенными. В конце концов, разве это не достаточная причина для изучения чего угодно?
3. Размышления о скрытых параметрах представляются плодо-творными с научной точки зрения: они привели Эйнштейна, Подольского и Розена к мысленному эксперименту, названному их именами, Белла — к неравенству Белла, Кохена и Спекера — к соответствующей теореме, а меня к нижней оценке для задачи столкновения (о ней мы будем говорить в главе 13)[92].
4. Теория скрытых параметров даст мне прекрасную базу для разговора о других вещах, составляющих квантовый фундамент, таких как нелокальность, контекстуальность и роль времени. Иными словами, вы получите множество гоблинов по цене одного!
С моей точки зрения, теория скрытых параметров — это просто правило перевода некоего унитарного преобразования в классическое вероятностное преобразование. Иными словами, это функция, которая принимает на входе унитарную матрицу U = (uij) размера N на N вместе с квантовым состоянием
и дает на выходе стохастическую матрицу S = (sij) размера N на N. (Напомню, что стохастическая матрица — это всего лишь неотрицательная матрица, где каждый столбец в сумме дает единицу.) Получив на вход вектор вероятности, полученный при измерении |ψ〉 стандартном базисе, эта S должна дать на выходе вектор вероятности, полученный при измерении U|ψ〉 стандартном базисе. Иными словами, если
то мы должны получить
Именно это подразумевается, когда говорят, что теория скрытых параметров должна воспроизводить предсказания квантовой механики, — это означает, что какую бы историю нам ни хотелось рассказать о корреляциях между положением лодочки в разные моменты времени, безусловное распределение по положениям лодочки в любой отдельно взятый момент времени точно должно соответствовать обычному квантово-механическому распределению.
Ну хорошо, очевидный вопрос: если дана унитарная матрица U и состояние |ψ〉 то обязательно ли существует стохастическая матрица, удовлетворяющая приведенному выше условию?
Конечно, существует! Ведь мы всегда можем взять преобразование произведения
которое просто «поднимает лодочку и опускает ее вновь случайным образом», полностью устраняя всякую корреляцию между ее начальным и конечным положением.
Уйма запрещающих теорем
Итак, вопрос не в том, можем ли мы найти стохастическое преобразование S(|ψ〉 U), отображающее начальное распределение на конечное. Конечно, можем! Вопрос скорее в том, можем ли мы найти стохастическое преобразование, удовлетворяющее «хорошим» свойствам. Но какие «хорошие» свойства нам могут понадобиться? Я сейчас собираюсь предложить вам четыре возможных требования и затем показать, что, увы, ни одно из них невозможно удовлетворить. Смысл этого упражнения в том, что по пути мы очень много узнаем о том, чем квантовая механика отличается от классической теории вероятностей. В частности, мы узнаем о теореме Белла, теореме Кохена — Спекера и еще о двух запрещающих теоремах, не имеющих, насколько мне известно, названий.
1. Независимость от состояния. Ну хорошо, вспомним, о чем мы только что говорили: дана унитарная матрица U и квантовое состояние |ψ〉 и мы хотим соорудить стохастическую матрицу S = S(|ψ〉 U), отображающую распределение, полученное при измерении |ψ〉 на распределение, полученное при измерении U|ψ〉
Первое свойство, которого мы могли бы захотеть — это чтобы S зависела только от унитарной U, но не от состояния |ψ〉 Однако несложно понять, что это невозможно. Ибо если мы возьмем
то из
следует
тогда как из
следует
Следовательно, S должна быть функцией U и |ψ〉 дновременно.
2. Инвариантность относительно квантования времени. Второе свойство, которое нам могло бы понадобиться в теории скрытых параметров, — это инвариантность относительно квантования времени. Это означает, что если мы проводим два унитарных преобразования Uи V последовательно, то мы должны получать один и тот же результат как при применении теории скрытых параметров к VU, так и при применении ее к U и к V по отдельности с последующим перемножением результатов. (Грубо говоря, преобразование унитарной матрицы в стохастическую должно быть «гомоморфным».) Говоря формальным языком, нам нужно, чтобы
S(|ψ〉 VU) = S(U|ψ〉 V) S(|ψ〉 U).
Но здесь опять же можно показать, что это невозможно, за исключением «тривиального» случая, когда S есть преобразование произведения Sprod, разрушающее всякие корреляции между начальным и конечным моментами времени.
Чтобы убедиться в этом, обратите внимание на то, что для всех унитарных преобразований W и состояний |ψ〉 ы можем записать W как произведение W = VU таким образом, что U|ψ〉 авняется фиксированному базисному состоянию (|1〉 к примеру). Тогда применение U «стирает» всю информацию о начальной величине скрытого параметра, так что если мы позже применим V, то конечная величина скрытого параметра не должна коррелировать с ее начальной величиной. Но это означает, что S(|ψ〉 VU) равняется Sprod(|ψ〉 VU).
3. Независимость от базиса. Когда я определял теории скрытых параметров, некоторые из вас, вероятно, задавались вопросом: почему мы должны интересоваться только результатами измерений в каком-то конкретном базисе, если можно с тем же успехом выбрать любой другой базис? Так, к примеру, если мы собираемся сказать, что частица имеет «истинное, настоящее» положение еще до какого бы то ни было измерения, то разве не должны мы сказать то же самое и об импульсе частицы, и о ее спине, и об энергии, и обо всех остальных наблюдаемых ее свойствах? Что выделяет именно координату, что делает ее более «реальной», чем все остальные характеристики частицы?
Прекрасный вопрос! Увы, выясняется, что мы не можем присвоить определенные значения всем возможным свойствам частицы никаким «непротиворечивым» способом. Иными словами, мы не можем не только определить переходные вероятности для всех свойств частицы, мы не можем даже работать со всеми ее свойствами одновременно в любой отдельно взятый момент времени!
Это замечательный (хотя и тривиальный с математической точки зрения) вывод из теоремы Кохена — Спекера[93], которую Саймон Кохен и Эрнст Спекер доказали в 1967 г. Формально эта теорема гласит: предположим, что для некоторого ортонормального базиса B в R3 Вселенная хочет «предвычислить», каков будет результат измерения в этом базисе. Иными словами, Вселенная хочет выбрать в B один из трех векторов, назначить его «меченым» вектором и выдать этот вектор позже, если кто-то проведет измерение в базисе B. Естественно, меченые векторы в разных базисах должны «соответствовать» друг другу. То есть если два базиса имеют общий вектор, к примеру, так:
то общий вектор должен быть меченым вектором в одном базисе тогда и только тогда, когда он же является меченым вектором в другом.
Кохен и Спекер доказали, что это невозможно. Чтобы сделать это, они явным образом построили набор из 117 базисов (!) в R3, такой, что в нем невозможно непротиворечивым образом выбрать меченые векторы для всех базисов.
Замечание педанта: число 117 с тех пор было улучшено до 31; посмотреть пример можно по ссылке[94]. Очевидно, вопрос об оптимальности такого решения до сих пор открыт; лучшая нижняя оценка, упоминания о которой мне попадались, равна 18.
Главный вывод здесь в том, что любая теория скрытых параметров должна быть, как говорят специалисты, контекстозависимой. То есть хочешь не хочешь, но иногда ее ответ будет зависеть от базиса, в котором вы измеряете, без всяких претензий на то, что при измерении в другом базисе, также содержащем этот ответ, ответ окажется тот же.
Упражнение. Докажите, что в двух измерениях теорема Кохена — Спекера неверна.
4. Релятивистская причинность. Последнее свойство, которое может нам понадобиться от теории скрытых параметров, — это приверженность «духу» специальной теории относительности Эйнштейна. Для наших целей я определю это понятие как состоящее из двух вещей.
1) Локальность. Речь идет о том, что если у нас есть квантовое состояние |ψAB〉 а двух подсис-темах A и B и мы применяем унитарное преобразование UA, которое действует только на сис-тему A (то есть на B является тождественным), тогда преобразование скрытых параметров S(|ψAB〉 UA) также должно действовать только на сис-тему A.
2) Коммутативность. Это означает, что если у нас есть состояние |ψAB〉 мы применяем унитарное преобразование UA только к сис-теме A, а затем другое унитарное преобразование UB только к сис-теме B, то результирующее преобразование скрытых параметров должно быть таким же, как если бы мы сначала применили UB, а затем UA. Формально мы хотим, чтобы
S(UA|ψAB〉 UB) S(|ψAB〉 UA) = S(UB|ψAB〉 UA) S(|ψAB〉 UB).
Далее, вы, вероятно, слышали о такой штуке как неравенство Белла. Оказывается, неравенство Белла не вполне исключает теории скрытых параметров, удовлетворяющие двум приведенным выше аксиомам, однако если слегка усилить то, что доказал Белл, дело будет сделано.
Что же такое неравенство Белла? Ну, если поискать ответ на этот вопрос почти в любой популярной книге или почти на любом сайте, то обнаружатся многие страницы текста об источниках запутанных фотонов, приборах Штерна — Герлаха и т.п. с безусловно очень полезными для понимания подробными экспериментальными графиками. Разумеется, все это необходимо, — ведь если убрать все сложности, то читатели, чего доброго, и в самом деле ухватят концептуальный смысл!
Однако я не член гильдии физиков-популяризаторов и потому намерен сейчас нарушить этот неписанный профессио-нальный закон и просто коротко рассказать вам суть дела.
У нас есть два игрока, Алиса и Боб, и играют они в следующую игру. Алиса бросает честную монетку; затем, в зависимости от результата, она может либо поднять руку, либо нет. Боб бросает другую честную монетку; затем, в зависимости от результата, он тоже может либо поднять руку, либо нет. Оба игрока хотят, чтобы ровно один из них поднял свою руку в том и только том случае, когда на обеих монетках выпал орел. Если это условие выполнено, они выигрывают; если нет, проигрывают. (Это игра на сотрудничество, а не состязание между игроками.)
Теперь в чем состоит проб-лема: Алиса и Боб находятся в запертых комнатах (а может, вообще на разных планетах) и не могут сообщаться между собой в ходе игры.
Нас интересует следующий вопрос: какова максимальная вероятность, с которой Алиса и Боб могут выиграть в такой игре?
Ну, наверняка они могут выигрывать в 75% партий. Почему?
Верно: они оба могут принять простое решение и никогда не поднимать рук, вне зависимости от того, какой стороной выпадают их монетки! В этом случае единственный случай, при котором они проиграют, — это если обе монетки упадут орлом кверху.
Упражнение. Докажите, что это оптимальный вариант. Иными словами, любая стратегия Алисы и Боба будет выигрывать не более чем в 75% случаев.
Теперь главное: предположим, что Алиса и Боб имеют общее запутанное состояние
причем одну половину его держит Алиса, а другую — Боб. В этом случае существует стратегия[95], при помощи которой они могут выигрывать с вероятностью
Для ясности уточним: обладание состоянием |Φ〉 е позволяет Алисе и Бобу обмениваться сообщениями быстрее чем со скоростью света; способа делать это вообще не существует! Однако это состояние позволяет им выигрывать в данной конкретной игре более чем в 75% случаев. Мы могли бы наивно предположить, что для этого Алиса и Боб должны «жульничать», обмениваясь сообщениями, но это вовсе не так — они могут жульничать и при помощи запутанного состояния!
Итак, это было неравенство Белла.
Но какое отношение эта глупая примитивная игра имеет к скрытым параметрам? Предположим, мы попытались смоделировать измерения Алисой и Бобом состояния |Φ〉 использованием двух скрытых параметров: одного на стороне Алисы и одного на стороне Боба. Предположим также, что в соответствии с релятивистской причинностью мы потребуем, чтобы ничто происходящее со скрытым параметром Алисы не могло повлиять на скрытый параметр Боба или наоборот. В таком случае мы должны предсказать, что Алиса и Боб могут выиграть не боле чем в 75% случаев. Но это предсказание будет ошибочным!
Из этого следует, что если мы хотим согласовать любую теорию скрытых параметров с квантовой механикой, то она должна допускать «мгновенную связь» между любыми двумя точками во Вселенной. Опять же это не означает, что сама квантовая механика допускает мгновенную связь (это не так) или что мы можем использовать скрытые параметры для отправки сообщений быстрее скорости света (этого мы не можем). Это означает лишь, что если мы считаем нужным описывать квантовую механику с использованием скрытых параметров, то наше описание непременно должно включать мгновенную связь.
Упражнение. Обобщите аргумент Белла, чтобы показать, что не существует теории скрытых параметров, которая удовлетворяла бы приведенным выше аксиомам локальности и коммуникативности.
Итак, из игры Алисы и Боба с бросанием монетки мы узнали, что любая попытка описать квантовую механику посредством скрытых параметров обязательно приведет к трениям с теорией относительности. Опять же все это не имеет никаких экспериментальных последствий, поскольку теория скрытых параметров вполне может нарушать «дух» теории относительности, подчиняясь в то же время ее «букве». И правда, поклонники скрытых параметров любят заявлять, что мы занимаемся только тем, что раскапываем подавленные семейные противоречия между теорией относительности и квантовой механики!
Примеры теорий со скрытыми параметрами
Я знаю, что вы думаете: после разгрома этих теорий, учиненного нами только что, их перспективы выглядят довольно бледно. Но вот поразительная вещь: даже в зубах четырех различных запрещающих теорем можно все же построить интересные и математически нетривиальные теории скрытых параметров. Я бы хотел закончить эту главу тремя примерами.
Теория потока
Вспомните цель теории скрытых параметров: мы начинаем с унитарной матрицы U и состояния |ψ〉 из них мы хотим получить стохастическую матрицу S, отображающую первоначальное распределение на конечное. В идеале S должна выводиться из U «естественным», «органичным» способом. Так, к примеру, если элемент U с номером (i, j) равен нулю, то (i, j)-й элемент S тоже должен быть равен нулю. Аналогично небольшое изменение U или |ψ〉 олжно производить в S тоже лишь небольшое изменение.
Заранее неясно, существует ли хотя бы теория скрытых параметров, удовлетворяющая двум приведенным выше требованиям. Так что первым делом я хочу дать вам простую и элегантную теорию, удовлетворяющую этим требованиям.
Основная идея в том, чтобы рассматривать массу вероятности, протекающую через мультивселенную, в точности как нефть, текущую по трубам! Мы представим, что первоначально у нас есть |αi|2 единиц «нефти» в каждом базисном состоянии |i〉 тогда как к концу мы хотим иметь |βi|2 единиц нефти в каждом базисном состоянии |i〉 Здесь αi и βi — начальная и конечная амплитуды |i〉 оответственно. Кроме того, мы будем считать |uij| — абсолютную величину (i, j)-го элемента унитарной матрицы — пропускной способностью «нефтяной трубы», ведущей из |i〉 |j〉
Первый вопрос таков: для любых U и |ψ〉 ожно ли направить 1 единицу нефти целиком из sв t по приведенной сети G (U, |ψ〉, не превысив при этом пропускной способности труб?
Я доказал[96], что ответ: да. В моем доказательстве используется фундаментальный результат из 1960-х гг., известный как теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе. Те из вас, кто завершает обучение по специальности теоретическая информатика, может быть, припомнят что-то такое из материала первых курсов. Остальным, пожалуй, стоит увидеть это хотя бы раз в жизни. (Это полезно не только для интерпретации квантовой механики, но также для таких вещей, как интернет-маршрутизация!)
Итак, что же говорит нам теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе? Предположим, у нас есть сеть нефтяных труб, такая, как показано на рисунке, с «источником», обозначенным s, и «стоком», обозначенным t. Каждая труба имеет известную пропускную способность, которая характеризуется неотрицательным действительным числом, обозначающим, сколько нефти можно прокачать по этой трубе за секунду. Тогда максимальный поток — это всего лишь количество нефти, которую можно прокачать от s к t за одну секунду, если направить потоки по трубам наилучшим способом. А минимальный разрез — это наименьшее действительное число C, такое, что какой-нибудь террорист, взорвав трубы с суммарной пропускной способностью C, может прервать всякую перекачку нефти от s к t.
Для примера вопрос: чему равны максимальный поток и минимальный разрез для приведенной схемы?
Верно: то и другое равно 3.
В качестве тривиального наблюдения я утверждаю, что для любой схемы максимальный поток не может быть больше минимального разреза. Почему?
Верно: потому что минимальный разрез, по определению, равен полной пропускной способности некоторого «критического участка», через который в какой-то момент должна пройти вся нефть! Иными словами, если взрыва труб с суммарной пропускной способностью Cдостаточно, чтобы снизить поток от s к t до нуля, то возвращение этих труб в строй не может увеличить поток больше чем до C.
Далее, теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе гласит, что обратное тоже верно, а значит, для любой сети максимальный поток и минимальный разрез на самом деле равны.
Упражнение (для тех, кто никогда этого не видел). Докажите теорему о максимальном потоке и минимальном разрезе.
Упражнение (трудное). При помощи теоремы о максимальном потоке и минимальном разрезе докажите, что для любого унитарного U и любого состояния |ψ〉 уществует способ передать всю массу вероятности, или вероятностную меру, от s к t в сети G (U, |ψ〉, приведенной выше.
Итак, теперь у нас есть кандидат на роль теории скрытых параметров! Делаем так: при заданных U и |ψ〉 начала находим «канонический» способ передать всю вероятностную меру от s к t в сети G(U, |ψ〉. Затем определяем стохастическую матрицу S через sij:= pij/|αi|2, где pij — количество вероятностной меры, переданной от |i〉 |j〉 (Для простоты я проигнорирую то, что происходит при αi = 0.)
По построению такое S отображает вектор |αi|2 на вектор |βi|2. Оно обладает также таким замечательным свойством, что для любых i, j если uij = 0, то и sij = 0.
Почему?
Верно! Потому что если uij = 0, то никакая вероятностная мера не может пройти от |i〉 |j〉
Упражнение (еще более трудное). Докажите, что можно выбрать «канонические» максимальные потоки таким образом, что небольшое изменение U или |ψ〉 ызывает лишь небольшое изменение в матрице вероятностей перехода (pij).
Теория Шрёдингера
Итак, мы рассмотрели один остроумный пример теории скрытых параметров. Теперь я хочу показать вам пример, который лично я считаю еще более остроумным. Когда я начал размышлять о теории скрытых параметров, это было первое, что мне пришло в голову предложить. Позже я обнаружил, что Шрёдингер в почти забытой статье 1931 г.[97] предложил ту же идею.
Говоря конкретнее, идея Шрёдингера состояла в том, чтобы определить переходные вероятности в квантовой механике через решение сис-темы связанных нелинейных уравнений. Проблема в том, что Шрёдингер не смог доказать, что его сис-тема имеет решение (тем более единственное решение); пришлось дождаться работы Масао Нагасавы[98] в 1980-е гг. К счастью, меня заботили только квантовые сис-темы конечной размерности, где все намного проще и где я мог дать достаточно элементарное доказательство того, что сис-тема уравнений имеет решение.
Так в чем же здесь идея? Если вы помните, мы хотим заданную унитарную матрицу U каким-то образом «конвертировать» в стохастическую матрицу S, отображающую начальное распределение на конечное. По существу, это эквивалентно нахождению матрицы переходных вероятностей P, то есть неотрицательной матрицы, i-й столбец которой в сумме дает |αi|2, а j-я строка в сумме дает |βi|2. (Это всего лишь условие, при котором безусловные вероятности примут обычные квантово-механические значения.)
Поскольку мы хотим получить в результате неотрицательную матрицу, разумным первым шагом было бы заменить везде U на ее абсолютное значение:
Что дальше? Ага, мы хотим, чтобы i-й столбец в сумме давал |αi|2. Поэтому давайте продолжим самым грубым ходом, какой только можно придумать, и для любого 1 ≤ i ≤ N просто нормализуем i-й столбец так, чтобы в сумме он давал |αi|2!
Дальше, мы также хотим, чтобы j-я строка в сумме давала |βi|2. Как мы этого добьемся? Правильно, для любого 1 ≤ j ≤ N мы просто нормализуем j-ю строку так, чтобы в сумме она давала |βi|2.
Конечно, после того как мы нормализуем строки, в общем случае i-й столбец уже не будет в сумме давать |αi|2. Но это не проб-лема: мы просто нормализуем столбцы еще раз! После этого мы еще раз нормализуем строки (которые пострадали при нормализации столбцов), затем вновь нормализуем столбцы (пострадавшие при нормализации строк) и так далее до бесконечности.
Упражнение (трудное). Докажите, что этот итерационный процесс сходится для любых U и |ψ〉 что предел этой последовательности — матрица P = (pij) переходных вероятностей, то есть неотрицательная матрица, i-й столбец которой дает в сумме |αi|2, а j-я строка дает сумме |βi|2.
Нерешенная задача (если вы ее решите, дайте мне знать). Докажите, что небольшое изменение U или |ψ〉 риводит лишь к небольшому изменению в матрице P = (pij) переходных вероятностей.
Механика Бома
У некоторых из вас мог возникнуть вопрос: почему я не упомянул самую знаменитую теорию скрытых параметров — механику Бома[99]? Дело в том, что для обсуждения механики Бома мне пришлось бы привлечь гильбертовы пространства бесконечной размерности (жуть!), частицы с их координатами и импульсами (жуть-жуть!) и другие идеи, которые противоречат всему, за что я выступаю как специалист по теоретической информатике.
И все же мне следовало бы рассказать вам немного о том, что такое механика Бома и почему она не влезает в мои рамки. В 1952 г. Дэвид Бом предложил детерминистскую теорию скрытых параметров, то есть теорию, в которой вы мало того что получаете переходные вероятности, но все эти вероятности равны либо нулю, либо единице! Чтобы добиться этого, он взял в качестве скрытого параметра положение частиц в R3. Затем он оговорил, что вероятностная мера того, где частицы находятся, должна «течь» вместе с волновой функцией, так что область пространства конфигураций с вероятностью ε всегда отображается на другую область с вероятностью ε.
В варианте одной частицы в одном пространственном измерении несложно записать (единственное) дифференциальное уравнение для положения этой частицы, удовлетворяющее ограничению Бома для вероятности. Бом показал, как обобщить уравнение на любое число частиц в любом количестве измерений.
Для иллюстрации продемонстрируем, как выглядят траектории бомовской частицы в знаменитом эксперименте с двумя щелями:
Опять же поразителен в этой теории ее детерминистский характер: стоит обозначить «настоящие» координаты всех частиц во Вселенной в любой конкретный момент времени, и тем самым вы определите их «настоящие» координаты на все прошлые и будущие времена. Так что, если хотите, можете представить себе, что Бог рассыпал частицы по Вселенной в соответствии с обычным распределением |ψ|2; но после этого Он вдребезги разбил свои игральные кости и позволил частицам дальше развиваться детерминистски. Такое предположение приведет вас в точности к тем же экспериментальным предсказаниям, как и обычная картина квантовой механики — та, в которой Бог бросает кости до опупения.
Ловушка здесь, на мой взгляд, заключается в том, что такого рода детерминизм может работать только в гильбертовом пространстве бесконечной размерности, таком, как пространство положений частиц. Мне почти не приходилось видеть, чтобы это наблюдение обсуждалось в печатных работах, но я могу объяснить его парой предложений.
Предположим, нам нужна теория скрытых параметров, детерминистская, как у Бома, но применимая к квантовым состояниям в конечном числе измерений. Что же произойдет, если мы применим унитарное преобразование U, отображающее состояние |0〉 а
В этом случае первоначально скрытый параметр с определенностью равен |0〉 в конце он равен |0〉 вероятностью 1/2 и |1〉 вероятностью 1/2. Иными словами, применение Uувеличивает энтропию скрытого параметра с нуля до единицы. Поэтому, чтобы решить, в каком направлении изменяется скрытый параметр, Природе, очевидно, придется кидать монетку!
Приверженец теории Бома сказал бы, что детерминизм здесь не годится, потому что наша волновая функция «вырождена», то есть не удовлетворяет условиям непрерывности и дифференцируемости, необходимым для дифференциальных уравнений Бома. Но в гильбертовом пространстве конечной размерности всякая волновая функция будет вырожденной в этом смысле! Вот почему если наша Вселенная дискретна на планковском масштабе, то она не может быть детерминистской в предложенном Бомом смысле.
Доказательства
Начнем, пожалуй, с того, что отступим из Квантландии назад, в безопасные земли вычислительной сложности. Посмотрим, в частности, как в 1980-е и 1990-е гг. теория вычислительной сложности заново изобрела тысячелетнюю концепцию математического доказательства — придав ей вероятностный, интерактивный и криптографический характер. Но затем, подготовив новомодные инструменты, мы вернемся в Квантландию и соберем урожай. В частности, я покажу вам, почему если бы можно было видеть траекторию скрытого параметра целиком, то можно было бы решать любые задачи, принимающие «статистический протокол доказательства с нулевым разглашением», в том числе такие задачи, как задача об изоморфизме графов, для которой пока неизвестен эффективный квантовый алгоритм.
Что такое доказательство?
Исторически в математике бытовало два очень разных понятия доказательства.
Первое состоит в том, что доказательство — это то, что внушает аудитории (или, по крайней мере, самому доказывающему!) интуитивное ощущение уверенности в том, что результат верен. С этой позиции доказательство — это внутреннее трансформирующее переживание, способ, при помощи которого ваша душа входит в контакт с вечными истинами Платоновых небес.
Второе понятие состоит в том, что доказательство — это всего лишь последовательность символов, подчиняющихся определенным правилам, — или, в более общем плане, если мы хотим довести эту концепцию до ее, на мой взгляд, логического завершения, доказательство есть вычисление. Иными словами, доказательство это физический, механический процесс, такой что если он завершается с определенным результатом, то вам следует признать данную теорему верной. Естественно, вы не можете испытывать большую уверенность в истинности теоремы, чем ваша уверенность в законах, которые управляют работой машины. Но, как хорошо понимали великие логики от Лейбница до Фреге и Гёделя, слабость этой концепции доказательства является одновременно ее силой. Если доказательство представляет собой чисто механический процесс, то в принципе вы можете открывать новые математические истины просто поворотом рубильника, без какого-либо понимания или озарения. (Как, по представлению Лейбница, будут когда-нибудь разрешаться юридические споры: «Джентль-мены, давайте посчитаем!»)
Противоречия между двумя концепциями доказательства обострились в 1976 г., когда Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен анонсировали доказательство знаменитой теоремы о четырех красках, которая гласит, что любую плоскую карту можно раскрасить при помощи четырех красок так, чтобы никакие две соседние области не оказались окрашены в один цвет. Доказательство, в сущности, состояло из тупого перебора нескольких тысяч случаев, сделанного компьютером; ни один человек не в состоянии охватить это доказательство во всей полноте.
Если теорема о четырех красках была доказана, по существу, методом грубой силы, то как можно быть уверенным, что оно охватило все без исключения возможности? Новый технический вклад, который пришлось здесь внести математикам-людям, состоял именно в том, чтобы свести задачу к конечному числу случаев, точнее, примерно к 2000 вариантов, — которые затем можно было проверить при помощи компьютера. Тот факт, что с тех пор доказательство было проделано еще раз другой группой ученых, которым удалось снизить число случаев с примерно 2000 до примерно 1000, естественно, повышает нашу уверенность в нем.
Далее, люди могут спросить: откуда вы знаете, что компьютер не совершил ошибки? Очевидный ответ: математики-люди тоже совершают ошибки. Я имею в виду, что Роджер Пенроуз любит говорить о непосредственном контакте с Платоновой реальностью, но, откровенно говоря, ситуация, когда ты уверен, что наладил такой контакт, а на следующее утро все твои рассуждения оказываются ошибочными, выбивает из колеи!
Мы знаем, что компьютер не наделал ошибок, потому что мы доверяем законам физики, которые управляют его работой, и верим, что во время расчетов в него не попала какая--нибудь тяжелая космическая частица. Но последние 20 лет вопрос стоит так: а почему мы должны доверять физике? Мы ежедневно доверяем ей в ситуациях, когда речь идет о жизни и смерти, но должны ли мы доверять ей в таком важном деле, как доказательство теоремы о четырех красках? По правде говоря, с определением понятия «доказательство» можно играть в игры сколько угодно, расширяя его до чудовищного уровня, и оставшуюся часть главы мы будем заниматься именно этим.
Вероятностные доказательства
Вспомните, что доказательство можно рассматривать как своего рода расчет — чисто механический процесс, выплевывающий готовые теоремы. Но что вы скажете о расчете, который ошибается с вероятностью 2–1000, — это доказательство или нет? То есть можно ли считать расчеты в классе BPP законными доказательствами? Ну, если мы сумеем сделать вероятность ошибки такой маленькой, что скорее комета попадет в наш компьютер и разобьет его вдребезги, чем он ошибется в доказательстве, то такой вариант, безусловно, кажется допустимым!
А помните NP — класс задач с полиномиального размера сертификатами (для ответа «да»), которые можно проверить за полиномиальное время? А раз мы думаем о рандомизированных алгоритмах, сама собой возникает идея «совместить» NP и BPP и создать таким образом новый класс сложности, где вы получаете полиномиального размера сертификат на ответ «да» и можете использовать для проверки этого сертификата рандомизированный алгоритм полиномиального времени. Так вот, такой гибридный класс действительно был предложен Ласло Бабаи в 1980-е гг. Но вы, вероятно, ни за что не догадаетесь, как Бабаи назвал свой класс, если не знаете этого заранее. Сдаетесь? Он называется MA — «Мерлин — Артур». Бабаи видел это как игру, где «Мерлин» — всемогущий, но ненадежный доказывающий маг, — снабжает нас сертификатом полиномиального размера, а затем «Артур» — скептически настроенный король полиномиального времени — запускает рандомизированный алгоритм для проверки мерлинова сертификата. Более формально MA можно определить как класс языков L, для которых существует рандомизированный алгоритм полиномиального времени V для Мерлина, такой, что для любого x:
1. Если x ∈ L, то существует по крайней мере один сертификат w, такой, что V(x, w) принимает наверняка.
2. Если x ∉ L, то, вне зависимости от w, V(x, w) отвергает с вероятностью по крайней мере 1/2.
Оказывается, если заменить в пункте 1 «наверняка» на «с вероятностью не менее 2/3», то получится в точности тот же класс MA. (Доказательство этого занимает страницу-другую, поэтому мы не будем здесь его приводить.) Можно показать также, что NP и BPP содержатся в MAи что MA содержится в PP и Σ2P ∩ П2P.
Теперь, когда у нас появились персонажи Мерлин и Артур, мы можем определить также и более интересные игры. В частности, предположим, что Артур должен послать Мерлину случайный вызов, на который тот должен ответить. Тогда вы получаете новый класс под названием AM («Артур — Мерлин»), который содержит в себе MA, но не факт, что совпадает с ним и, в свою очередь, содержится в П2P. На самом деле должен сказать, что большинство из нас сегодня предполагают, что NP = MA = AM; в самом деле, известно, что это следует из гипотезы о нижней оценке сложности схемы — аналогично тому, как утверждается равенство P = BPP (см. главу 7). Но пока мы очень далеки от возможности доказать это.
Вы можете задаться вопросом: что происходит, если после получения ответа от Мерлина Артур задает Мерлину следующий вопрос или три-четыре следующих вопроса? Можно подумать, что в этом случае Мерлин смог бы доказать Артуру даже больше, верно? Неверно! Еще одна удивительная теорема гласит, что AM = AMAM = AMAMAM…, то есть любое фиксированное число вопросов Мерлину имеет ровно ту же силу, что и один вопрос.
Доказательства с нулевым разглашением
Я уже говорил ранее о стохастических доказательствах, то есть доказательствах, несущих в себе элемент неопределенности. Мы можем также обобщить понятие доказательства так, чтобы оно включало доказательства с нулевым разглашением, то есть доказательства, в которых человек, видя его, узнает о доказываемом утверждении только то, что оно истинно.
Интуитивно это представляется невозможным, но я проиллюстрирую на примере. Предположим, у нас имеется два графа. Если они изоморфны, то доказать это легко. Но предположим, они не изоморфны. Как доказать это кому-то, если представить, что вы — всемогущий маг?
Очень просто: предложите человеку, которого вы пытаетесь убедить, выбрать один из двух графов случайным образом, затем случайно его преобразовать и переслать вам то, что получилось. И пусть затем этот человек спросит: «С каким графом я работал?» Если два графа не были изоморфны, то вы должны быть в состоянии уверенно ответить на этот вопрос. В противном случае вы сможете ответить на него только с вероятностью 1/2. Таким образом, вы почти наверняка ошибетесь, если этот тест будет повторен некоторое небольшое число раз.
Это пример интерактивной доказательной сис-темы. Делаем ли мы при этом какие-то допущения? Мы предполагаем, что вы не знаете, с какого именно графа начинал проверяющий, и не имеете прямого доступа к его мозгу, то есть не можете определить это непосредственно. Или, как сказали бы специалисты по теоретической информатике, мы предполагаем, что вы не имеете доступа к «частным случайным битам» проверяющего.
Еще интереснее в этой сис-теме доказательства, возможно, то, что проверяющий убеждается в том, что графы, с которыми вы имеете дело, не изоморфны, не узнавая при этом про них вообще ничего! В частности, проверяющий убеждается в чем-то сам, но не получает при этом возможности убедить в том же самом кого-либо еще.
Такое доказательство, где проверяющий не узнает ничего, кроме истинности доказываемого утверждения, называется доказательством с нулевым разглашением. Ну да, хорошо, вам нужно еще немного поработать, чтобы определить, что, собственно, означает для проверяющего «ничего не узнать». По существу, это означает, что, если бы проверяющий с самого начала был убежден в истинности доказываемого утверждения, он мог бы просто самостоятельно имитировать весь протокол, без всякой помощи со стороны доказывающего.
При определенном вычислительном допущении, а именно что односторонние функции существуют, можно показать, что доказательства с нулевым разглашением существуют для любой NP-полной задачи. Именно такое замечательное открытие сделали Голдрейх, Микали и Вигдерсон в 1986 г.[100]
Поскольку все NP-полные задачи сводятся одна к другой (то есть представляют собой «одну и ту же задачу в разных обличьях»), достаточно привести протокол с нулевым разглашением для одной NP-полной задачи. И оказывается, что удобно выбрать для этой цели задачу раскраски графа в три цвета, в которой каждый узел графа окрашивается в красный, синий или зеленый цвет так, чтобы никакие два соседние узла не оказались одного цвета. У вас в руках черно-белая книга, но вы можете воспользоваться своим воображением и представить, что в изображенном на рисунке--графе имеется по два узла каждого цвета — красных, синих и зеленых.
Вопрос в том, как убедить кого-то, что любой граф можно раскрасить в три краски, не сообщаяэтому кому-то ничего о раскрашивании?
А вот как. Если наш граф раскрашен в три цвета, то сначала мы случайным образом переставим цвета: к примеру, заменим все синие области на зеленые, все зеленые на красные, а все красные на синие. (Существует 3! = 6 возможных перестановок.) Затем пошлем проверяющему зашифрованные сообщения, в которых будут закодированы все цвета — это, по существу, обеспечит «цифровую привязку» вас к этим цветам. Говоря более подробно, эти сообщения должны обладать следующими свойствами:
1. Проверяющий не может прочесть их (то есть взлом шифра вычислительно невозможен), но
2. Если вы позже расшифруете сообщения для проверяющего, он с легкостью сможет проверить для себя, что вы все сделали корректно, то есть что вы не обманули его, подставив не те цвета, к которым были ранее привязаны.
Есть один технический факт, который я просто приведу без всякого доказательства: при наличии односторонней функции можно добиться такого рода привязки (хотя, возможно, таким способом, который потребует множество циклов обмена сообщениями). Если вы не хотите принять это утверждение на веру, существует множество более простых способов получить цифровую привязку, но тогда вам придется использовать более сильные криптографические допущения. К примеру, если вы готовы считать разложение на простые множители трудной задачей, то зашифрованные сообщения могут представлять собой гигантские составные числа, а цвета могут быть зашифрованы различными свойствами факторизации этих чисел. Тогда вы получаете привязку к цветам, послав проверяющему эти составные числа, и можете затем «отвязаться» (то есть раскрыть цвета), выслав ему готовые разложения на простые множители, которые он сможет без труда самостоятельно проверить.
Хорошо, имея зашифрованные цвета, что может сделать проверяющий? Очень просто: он может взять два соседних узла, попросить вас расшифровать цвета, а затем проверить, что (1) расшифровки верны и (2) цвета действительно разные. Обратите внимание: если бы граф нельзя было корректно раскрасить в три цвета, то либо две соседние области получили бы один и тот же цвет, либо какая-то область оказалась бы окрашена не в красный, не в синий и не в зеленый цвет. В том и другом случае поверяющий поймает вас на вранье с вероятностью по крайней мере 1/m, где m — число ребер в графе.
Наконец, если проверяющий хочет повысить собственную уверенность, мы можем просто повторить протокол большое (но по-прежнему полиномиальное) число раз. Заметьте, что каждый раз вы выбираете не только свежее шифрование, но и свежую перестановку цветов. Если после (скажем) m3 повторений проверяющий все еще не поймал вас на мошенничестве, он может быть уверен, что вероятность вашего мошенничества исчезающе мала.
Но почему считается, что это протокол «с нулевым разглашением»? Интуитивно сие «очевидно»: когда вы расшифровываете два цвета, проверяющий узнает только о том, что два соседних узла окрашены по-разному, но ведь они и должны быть окрашены по-разному, если речь идет о правильной раскраске в три цвета, разве не так? Ну хорошо, если подойти чуть более формально, вам нужно доказать, что проверяющий «ничего не узнает»; под этим подразумевается, что проверяющий сам по себе, за полиномиальное время, мог бы получить распределение вероятностей на последовательности сообщений, неотличимое при помощи какого бы то ни было алгоритма полиномиального времени от настоящей последовательности сообщений, которыми проверяющий обменялся с вами. Сами можете представить, что это довольно заумная штука.
Есть ли какая-то разница между двумя примерами с нулевым разглашением, которые я только что вам продемонстрировал? Конечно: доказательство с нулевым разглашением для раскраски карты в три цвета принципиально зависело от допущения о том, что проверяющий не может за полиномиальное время расшифровать карту самостоятельно. (Если бы мог, он смог бы узнать и вариант раскраски!) Это называется доказательством с вычислительно нулевым разглашением, а класс всех задач, принимающих такое доказательство, получил название CZK (computational zero knowledge). Напротив, в доказательстве неизоморфности графа проверяющий не мог бы смошенничать, даже если бы обладал неограниченными вычислительными возможностями. Это называется доказательством со статистически нулевым разглашением; в нем распределения, данные честным доказывающим и доказывающим-мошенником, должны быть близки друг другу в статистическом смысле. Класс всех задач, принимающих доказательство такого рода, называется SZK (statistical zero-knowledge).
Ясно, что SZK ⊆ CZK, но является ли принадлежность строгой? Интуитивно мы догадываемся, что класс CZK больше, поскольку наш протокол должен быть с нулевым разглашением только для проверяющих полиномиального времени, а не для проверяющих с неограниченными вычислительными возможностями. И в самом деле, установлено, что если односторонние функции существуют, то CZK = IP = PSPACE, иными словами, CZK «насколько велик, насколько это возможно». С другой стороны известно также, что SZK входит в полиномиальную иерархию. (Более того, при допущении дерандомизации SZK водит даже в NP ∩co-NP).
Вероятностно проверяемое доказательство
Вероятностно проверяемое доказательство (PCP, Probabilisti-cally checkable proof) — это еще одна невозможная на первый взгляд игра, в которую можно играть с концепцией «доказательства». Это доказательство, записанное таким способом, что вам, как ленивому проверяющему, достаточно вскрыть его в нескольких случайных местах, чтобы убедиться (в статистическом смысле) в его верности. Если вы хотите очень высокой уверенности в том, что это доказательство верно (скажем, с допустимой ошибкой в одну тысячную), вам никогда не придется проверять больше чем приблизительно тридцать битов. Разумеется, самое трудное здесь — закодировать доказательство так, чтобы это было возможно.
Вероятно, проще посмотреть это на примере. Помните задачу о неизоморфности графов? Мы покажем, что существует доказательство неизоморфности двух графов, такое, что любому проверяющему достаточно лишь взглянуть на постоянное число битов (хотя следует признать, что само доказательство при этом будет экспоненциально длинным).
Во-первых, если задана произвольная пара графов G0 и G1 с n узлами каждый, то доказывающий направляет проверяющему особым образом зашифрованную строку, доказывающую, что G0 и G1 неизоморфны. Что это за строка? Ну, мы можем выбрать некоторый вариант упорядочения всех возможных графов с n узлами, поэтому назовем i-й граф Hi. Затем доказывающий записывает в i-й бит строки нуль, если Hi изоморфен G0, либо единицу, если Hiизоморфен G1; в противном случае (если Hi неизоморфен ни одному, ни другому) он произвольно ставит на это место 0 или 1. Как эта строка доказывает проверяющему, что G0 и G1 неизоморфны? Просто: проверяющий бросает монетку, чтобы получить G0 или G1, и преобразует его случайным образом, чтобы получить новый граф H. Затем он запрашивает бит доказательства, соответствующий графу H, и принимает его в том и только том случае, если запрошенный бит соответствует первоначальному графу. Если G0 и G1 в самом деле неизоморфны, то проверяющий будет принимать всегда, а если нет, то вероятность принятия составит не более 1/2.
Надо отметить, что в этом примере доказательство получается экспоненциально длинным и работает только для неизоморфности графов. Какой же результат мы получаем в общем случае? Знаменитая теорема о вероятностно проверяемом доказательстве[101] гласит, что любая задача из NP принимает вероятностно проверяемые доказательства, более того, доказательства полиномиальной длины! Это означает, что всякое математическое доказательство может быть закодировано таком образом, чтобы любая ошибка в оригинальном доказательстве транслировалась в ошибки почти повсюду в новом доказательстве.
Понять это можно, например, через 3-SAT. Теорема о вероятностно проверяемом доказательстве эквивалентна NP-полноте задачи решения 3-SAT с априорной информацией о том, что либо формула удовлетворима, либо не существует набора входных переменных, который удовлетворял бы более чем (скажем) 90% условий формулы. Почему? Потому что можно зашифровать вопрос о том, имеет ли некоторое математическое утверждение доказательство из не более чем n символов, в виде 3-SAT-реализации таким образом, что если существует валидное доказательство, то формула удовлетворима, а если нет, то никакое присваивание не удовлетворит более чем 90% условий. Таким образом, для заданной входной строки нужно только отличить случай, при котором она удовлетворяет всем условиям, от случая, при котором она удовлетворяет не более чем 90% из них, — а это можно сделать путем проверки нескольких десятков случайных условий, совершенно независимо от длины доказательства.
Сложность моделирования теорий со скрытыми параметрами
В предыдущей главе мы говорили о траектории скрытого параметра частицы в теории скрытых параметров, но в чем состоит сложность нахождения такого пути? Определенно, эта задача по крайней мере столь же трудна, как квантовые вычисления, поскольку даже для того, чтобы получить значение скрытого параметра в один произвольный момент времени, потребовалось бы в общем случае полномасштабное квантовое вычисление. Наверное, нахождение целой траектории — еще более сложная задача?
Можно задать этот вопрос и по-другому. Предположим, что в момент смерти вся ваша жизнь мгновенно пролетает перед вашими глазами, и предположим, что после этого можно вычислить за полиномиальное время всю вашу жизненную историю. Что при этом можно вычислить? Считая, конечно, что теория скрытых параметров верна и что еще до смерти вы каким-то образом умудрились поместить собственный мозг в несколько нетривиальных суперпозиций.
Чтобы исследовать этот вопрос, мы можем ввести новый класс сложности — DQP, динамический квантовый полиномиального времени. Формальное определение этого класса немного запутанно (подробности см. в моей статье[102]). Однако интуитивно DQP — это класс задач, эффективно решаемых на «модели», где вы должны сделать выборки для всей траектории скрытого параметра в рамках какой-либо теории скрытых параметров, удовлетворяющей «разумным» предположениям.
А теперь вспомним про класс SZK — класс задач, имеющих протокол доказательства со статистически нулевым разглашением. Основным результатом моей статьи было то, что SZK ⊆DQP. Иными словами, если бы мы только могли измерить всю траекторию скрытого параметра, то мы могли бы использовать квантовый компьютер для решения любой SZK-задачи, включая неизоморфность графов и многие другие, для которых пока неизвестны эффективные квантовые алгоритмы!
Чтобы объяснить, почему так, мне придется рассказать вам, что в 1997 г. Сахаи и Вадхан открыли чрезвычайно милую «полную задачу с априорными ограничениями» для SZK. Задача эта выглядит так:
Если даны два вероятностных распределения D1 и D2, допускающих эффективную выборку, то близки они или далеки в смысле статистического расстояния (если априорно известно, что либо то, либо другое верно)?
Это означает, что, думая о SZK, нам можно забыть о доказательствах с нулевым разглашением и просто считать, что у нас есть два вероятностных распределения и мы хотим знать, близки они или далеки?
Но позвольте внести еще больше конкретики. Скажем, что у вас есть функция f: {1, 2, …, N} → {1, 2, …, N} и вы хотите решить, является f взаимно однозначной или же ее значения повторяются, при условии, что один из этих вариантов верен. Эта задача — известная как задача столкновения — не до конца отражает сложность всех SZK-задач, но достаточно близка к этому для наших целей.
Итак, сколько запросов к f вам потребуется, чтобы решить задачу столкновения? Если воспользоваться классическим вероятностным алгоритмом, то несложно убедиться, то √
Может быть, помогут квантовые алгоритмы? В 1997 г. Брассар, Хёйер и Тапп показали[103], как совместить экономию в √
В 2002 г. я доказал первую нетривиальную нижнюю оценку[104] сложности квантового запроса в задаче столкновения; мне удалось показать, что любому квантовому алгоритму потребуется по крайней мере ~N1/5 запросов. Позже Ши Яоюнь[105] улучшил этот результат до ~N1/3, показав таким образом, что алгоритм Брассара, Хёйера и Таппа в самом деле оптимален.
С другой стороны — вернемся к нашей теме — предположим, что можно было бы увидеть траекторию скрытого параметра целиком. Тогда, утверждаю я, можно было бы решить задачу столкновения при помощи всего лишь постоянного числа запросов (независимого от N)! Как? На первом шаге — подготовить состояние
Далее измеряем второй регистр (который после этого нам не понадобится) и думаем только о результирующем состоянии первого. Если f взаимно однозначна, то в первом регистре вы получите классическое состояние вида |i〉 ля некоторого случайного i. С другой стороны, если fдает повторяющиеся результаты, то мы получим состояние вида
Ага, но не забывайте, что мы собирались увидеть всю траекторию скрытого параметра! Вот как мы этого добьемся. Взяв за основу состояние
При каких же допущениях касательно теории скрытого параметра все это работает? Первое сводится к тому, что если у вас есть группа кубитов и вы применяете вентиль Адамара к одному из них, то вы должны получить лишь переход между базисными состояниями скрытого параметра, которые различны в первом кубите.
Заметьте, что это допущение сильно отличается от требования «локальности» теории скрытых параметров в смысле, о котором обычно говорят физики, и слабее его. Никакая теория скрытых параметров не может быть локальной. Это доказал один парень по фамилии Белл.
А второе допущение состоит в том, что теория скрытых переменных «устойчива» к небольшим ошибкам в унитарных матрицах и квантовых состояниях. Это допущение необходимо для того, чтобы разумным образом определить класс сложности DQP.
Как мы уже видели, DQP включает в себя как BQP, так и задачу об изоморфности графов. Но интересно, что по крайней мере в модели с черным ящиком DQP не содержит NP-полных задач. Более формально, существует оракул A, такой, что NPA ⊄ DQPA. Доказательство этого утверждения формализует интуитивный вывод о том, что даже если скрытый параметр вовсю прыгает вокруг квантового стога сена, вероятность того, что он когда-либо отыщет иголку, исчезающе мала. Оказывается, в модели со скрытыми параметрами можно просмотреть неупорядоченный список размера N при помощи N1/3 запросов вместо √
Насколько велики квантовые состояния?
В этой главе речь пойдет о вопросе, вынесенном в заголовок, но для начала небольшое отступление. В науке существует традиционная иерархия, на самом верху которой находится биология, затем, чуть ниже, химия, а затем уже физика. Великодушный физик скажет, что математика идет следующей. А уж информатика теряется где-то там, внизу, вместе с грунтоведением и прочими ненаучными дисциплинами.
Лично я придерживаюсь немного другой точки зрения: теоретическая информатика — посредник между физическим миром и платоновым миром идей. С учетом этого название «теоретическая информатика» как минимум неточно; может быть, лучше было бы называть ее «количественной эпистемологией». Это своего рода изучение способности конечных существ, таких как мы с вами, к познанию математических истин. Надеюсь, мне удалось отчасти показать вам это.
Как примирить это с представлением о том, что любое реальное применение компьютера должно быть основано на физике? Не поменяются ли при этом местами физика и информатика?
Ну, по той же логике можно сказать, что любое математическое доказательство должно быть написано на бумаге, и потому физика должна стоять в этой иерархии ниже математики. Или можно сказать, что математика занимается в основном изучением того, остановится конкретный вид машины Тьюринга или нет, поэтому информатика — основа всего и вся. Тогда математика — это всего лишь особый случай, область, где машины Тьюринга пересчитывают топологические пространства или делают еще что-то, что интересует математиков. Но тогда очень странным кажется то, что физика, особенно в виде квантовой вероятности, в последнее время просачивается вниз по этой интеллектуальной иерархии, засоряя «нижние» уровни математики и информатики. Именно так я всегда представлял квантовые вычисления: как физику, сбежавшую со своего законного места в интеллектуальной иерархии! Если хотите, я профессио-нально интересуюсь физикой именно в том объеме, в каком она просачивается вниз, на «нижние» уровни, которые считаются наименее произвольными, и заставляет меня заново продумывать все то, что я, как мне казалось, в них понимаю.
Так или иначе, пора переходить к вопросу, которому посвящена данная глава. Мне кажется полезным сис-тематизировать интерпретации квантовой механики или, по крайней мере, пересмотреть дебаты о них, задавшись вопросом, что они говорят по поводу экспоненциальности квантовых состояний. Неужели для того, чтобы описать состояние сотни или тысячи атомов, действительно требуется больше классических битов информации, чем можно записать во всей наблюдаемой Вселенной?
Грубо говоря, многомировая интерпретация ответила бы: «Абсолютно точно». Это позиция, которую Дэвид Дойч защищает очень красноречиво; но если различные вселенные (или компоненты волновой функции), используемые в алгоритме Шора, не присутствуют здесь физически, то где же было разложено число на простые множители?
Мы говорили также о механике Бома, которая говорит «да», но при этом уточняет, что один компонент вектора «более реален», чем остальные. Далее, есть еще подход, который раньше называли копенгагенским, а сегодня чаще зовут байесовским, информационно-теоретическим и множеством других имен.
В байесовском подходе квантовое состояние — это экспоненциально длинный вектор амплитуд в более или менее том же смысле, в каком классическое распределение вероятности есть экспоненциально длинный вектор вероятностей. Если вы возьмете монетку и бросите ее 1000 раз, вы бы получили некоторое множество из 21000 возможных исходов, — но ведь мы не готовы по этой причине рассматривать все эти исходы как физически реальные!
Здесь я должен пояснить, что я не говорю о формализме квантовой механики; с этим согласны (почти) все. Я спрашиваю, описывает ли квантовая механика реальный «объект экспоненциального размера», существующий в физическом мире. Так что, принимая копенгагенский подход, вы заранее объявляете, что этот экспоненциально длинный вектор находится у нас «только в головах».
Подход Бома занимает какое-то странное промежуточное положение. В нем вы все же рассматриваете эти экспоненциальные количества вероятностей как нечто реальное; это направляющее поле, но есть еще та самая «более реальная» штука, которую они направляют. В копенгагенской интерпретации все это экспоненциальное множество возможностей действительно находится только в голове. Считается, что они соответствуют чему-то в реальном мире, но что такое это «что-то», мы либо не знаем, либо не имеем права спрашивать. Крис Фукс говорит, что существует некий физический контекст квантовой механики — нечто внешнее по отношению к нашим головам, но что мы не знаем, что это за контекст. Нильс Бор склонялся скорее к варианту «вы не имеете права спрашивать».
Теперь, когда у нас появились квантовые вычисления, можем ли мы привлечь интеллектуальный потенциал теории вычислительной сложности к решению подобных вопросов? Мне жаль вас разочаровывать, но мы не можем рассудить этот спор при помощи вычислительной сложности. Он недостаточно хорошо определен и формализован. Тем не менее, хотя мы и не можем объявить одну из перечисленных точек зрения абсолютным победителем, мы можем все же устроить несколько «дуэлей» между ними и посмотреть, которая выйдет победителем. По мне, именно эта возможность служит настоящей мотивацией для изучения вопросов о квантовых доказательствах, советах и коммуникациях, вроде тех, что мы будем рассматривать в этой главе. Конкретно мы хотим понять: если имеется квантовое состояние из n кубитов, то как оно себя ведет — как n или скорее как 2n классических бит? Конечно, в формальном описании любого квантового состояния присутствует своего роде экспоненциальность, но мы хотим знать, до какой степени можно реально добраться до нее или раскопать ее.
Прежде чем отправиться в этот квест, нам необходимо вооружиться кое-какими классами сложности. Знаю, знаю: классы сложности у нас уже есть, но кажутся сплошной эзотерикой. Так исторически сложилось — может быть, к сожалению, — что мы пользуемся для изложения своих идей аббревиатурами, а не какими-нибудь эротическими названиями, вроде «черной дыры», «кварка» или «суперсимметрии», как это делают физики. Это как в истории про заключенных, которые, вместо того чтобы рассказывать анекдоты, называют лишь их номера. Один произносит: «37», — и все с хохотом катаются по полу, а затем кто-то другой произносит: «22», — но никто не смеется, потому что все дело в том, как это сказано. Есть потрясающие, головоломные тайны, связанные с истиной, доказательством, компьютерами, физикой и пределами познаваемого, — а мы для краткости ссылки прячем их за невнятными последовательностями из трех или четырех заглавных букв. Возможно, нам не стоило этого делать.
Но мы все равно будем так поступать и начнем с класса QMA (квантовый Мерлин-Артур) — квантового обобщения MA. QMA можно рассматривать как множество истин, таких, что если у вас есть квантовый компьютер, то вы можете убедиться в ответе, если получите некое квантовое состояние. Более формально, это множество задач, принимающих полиномиальный по времени квантовый алгоритм Q, такой, что для любой входной строки x верно следующее.
Если при входной строке x ответ на задачу будет «да», то существует некоторое квантовое состояние |ϕ〉 з полиномиального числа кубитов, такого, что Q принимает |x〉ϕ〉 вероятностью больше 2/3.
Если при входе x ответ на задачу будет «нет», то не существует никакого полиномиального по размеру квантового состояния |ϕ〉 такого, что Q принимает |x〉ϕ〉 вероятностью больше 1/3.
Я имею в виду, что число кубитов в |ϕ〉 олжно быть ограничено полиномом от n — длины входной строки x. Невозможно получить состояние из 2n кубитов. Если бы это было возможно, наша задача стала бы тривиальной.
Мы хотим, чтобы существовало квантовое состояние разумного размера, способное убедить вас в ответе «да». Таким образом, если ответ «да», то существует состояние, которое вас убеждает, а когда ответ «нет», то и состояния такого нет. QMA — своего рода квантовый аналог NP. Вспомните, что у нас есть теорема Кука — Левина, которая гласит, что задача выполнимости булевых формул (SAT) является NP-полной. Существует и квантовая теорема Кука — Левина — замечательное название, если учесть, что и Кук, и Левин очень скептически относятся к квантовым вычислениям (хотя Левин намного больший скептик, чем Кук). Квантовая теорема Кука — Левина гласит, что мы можем определить квантовую версию задачи 3-SAT, которая оказывается QMA-полной как задача с априорными ограничениями на входные данные.
Задача с априорными ограничениями на входные данные, или задача с обещанием — это задача, в которой вы можете получить верный ответ только в том случае, если на входные данные наложены некоторые ограничения. Если вы — алгоритм и вас облапошила крапленая входная строка, то любой суд вынесет решение в вашу пользу, и вы можете далее делать все, что вам заблагорассудится. Не исключено, что понять, соответствуют ли входные данные «обещанию», будет очень трудно и для этого потребуются сложные вычисления, но это не ваша забота. Есть классы сложности, в отношении которых мы далеко не уверены, что для них существуют полные задачи, но задачи, полные при априорных ограничениях на входные данные, для них существуют. QMA — именно такой класс. Основная причина, по которой нам нужны априорные ограничения на вход, заключается в разрыве между 1/3 и 2/3. Возможно, вы получите некую входную строку и примете ее с вероятностью, которая не превосходит 2/3, но и не меньше 1/3. В таком случае окажется, что вы поступили противозаконно, поэтому будем считать, что такой строки на вход вы не получите.
Итак, что представляет собой квантовая задача 3-SAT? Представьте себе n кубитов, застрявших в ионной ловушке (эй, обратите внимание, я пытаюсь привлечь к делу физику), и мы описываем уйму измерений, в каждом из которых задействовано не более трех кубитов. Каждое измерение iпринимает с вероятностью, равной Pi. Эти измерения описать несложно, поскольку в каждом из них речь идет не более чем о трех кубитах. Далее мы находим сумму n таких измерений. Тогда априорное ограничение будет таким: либо существует состояние, такое, что эта сумма очень велика, либо для всех состояний эта сумма намного-намного меньше. Задача же состоит в том, чтобы решить, которое из двух условий выполняется. Это QMA-полная задача в том же смысле, в каком ее классический аналог 3-SAT полон в NP. Первым это доказал Китаев, а позже его результат был не единожды улучшен[106].
Но настоящий интерес появляется вместе с вопросом о том, насколько мощным является класс QMA. Есть ли утверждения, которые можно проверить за разумное время при помощи квантовых компьютеров, но которые невозможно проверить при помощи компьютеров классических? Это пример того, о чем мы уже говорили ранее: мы пытаемся устроить дуэль между реалистичным и субъективным взглядами на квантовые состояния и посмотреть, который из них выйдет победителем.
В статье Джона Ватруса[107] приводится пример, в котором, судя по всему, получение экспоненциально длинного вектора реально дает вам некоторые возможности. Задача называется задачей о непринадлежности к группе. Дана конечная группа G. Мы считаем ее экспоненциально большой, поэтому она не может быть задана явно, посредством гигантской таблицы умножения. Она задается более утонченным способом. Мы рассматриваем ее как группу — черный ящик; это означает, что у нас есть некий черный ящик, который будет выполнять для нас все групповые операции. То есть он будет перемножать и инвертировать элементы группы. Дан также полиномиально длинный список генераторов группы.
Каждый элемент группы закодирован некоторой n-битной строкой, хотя как именно закодирован, вы не знаете. Главное, что элементов в группе экспоненциально много, а генераторов — лишь полиномиальное количество.
Далее нам дается подгруппа H ≤ G, которая также может быть задана посредством списка генераторов. Задача крайне проста: дается элемент группы x, и мы хотим узнать, входит ли он в подгруппу. Я изложил эту задачу абстрактно, в терминах черных ящиков, но ее всегда можно конкретизировать, если под рукой имеется пример группы. К примеру, в роли генераторов могут выступать матрицы над некоторым конечным полем; вам дается какая-то другая матрица и спрашивается, можете ли вы получить ее при помощи заданных генераторов. Вполне естественный вопрос.
Скажем, ответ должен быть «да». Но можно ли это доказать вам?
Вы можете показать, как был получен x. Нужно сказать одну вещь (не слишком трудную притом): если x ∈ H, то существует какой-то «простой» способ его получения. Не обязательно путем перемножения генераторов, с которых вы начали, но путем рекурсивной генерации новых элементов и добавления их к вашему списку, затем использования их для генерации новых элементов, и т.п.
К примеру, если мы начали с группы
Всегда ли это можно сделать за полиномиальное время? Оказывается, да, для любой группы. Чтобы убедиться в этом, достаточно построить цепочку подгрупп, начиная с оригинальной. Показать это не очень просто, но это делает теорема Бабаи и Семереди, которая верна вне зависимости от того, решаема ли данная группа.
Далее возникает вопрос: что, если x∉H? Могли бы вы продемонстрировать это? Конечно, вы могли бы дать экспоненциально длинное доказательство, и если бы у вас было экспоненциально много времени, то могли бы его и продемонстрировать, но это не метод. Мы до сих пор не понимаем толком, что с этим делать, даже если бы у нас было классической доказательство и разрешение проверить его посредством квантовых вычислений, — хотя на этот счет имеются кое-какие гипотезы.
Ватрус показал, что можно доказать непринадлежность, если у вас имеется определенное квантовое состояние, представляющее собой суперпозицию по всем элементам подгруппы. Однако может оказаться, что такое состояние очень трудно приготовить. Почему?
Оно экспоненциально велико, но существуют и другие экспоненциально большие квантовые состояния, которые приготовить легко, так что это определенно не вся причина. Оказывается, вся проб-лема в том «мусоре», который надо «развычислить».
Итак, мы знаем, как применить к группе метод случайного блуждания; мы знаем также, как выбрать случайный элемент группы. Но здесь от нас требуется нечто большее. От нас требуется когерентная суперпозиция элементов группы. Нетрудно приготовить состояние вида Σ|g〉мусорg〉 Но как избавиться от этого мусора? Вот вопрос. Ведь, по существу, этот мусор — след случайного блуждания или любого другого процесса, посредством которого вы дошли до g, но как забыть дорогу к этому элементу?
Ватрус говорит: пусть у нас имеется всезнающий доказатель и пусть этот доказатель смог подготовить нужное состояние и передать его нам. Ну хорошо, тогда мы можем убедиться, что некоторый элемент не входит в подгруппу H. Делается это в два этапа.
1. Убеждаемся, что нами действительно получено нужное состояние (пока нам достаточно соответствующего допущения).
2. При помощи состояния |H〉 оказываем, что x ∉ H, воспользовавшись контролируемым левосторонним умножением:
Затем применяем вентиль Адамара и измеряем первый кубит. Поясним: левый кубит у вас работает как контрольный. Если x ∈ H, то xH есть перестановка H, поэтому мы получаем интерференционные полосы (свет прошел одновременно через щели x и xH). Если x ∉ H, то мы получаем, что xH — смежная группа и, соответственно, не имеет общих элементов с H. Из этого следует 〈|xH〉 0, так что мы измеряем случайные биты. Эти два случая мы можем различить.
Вам придется также убедиться, что состояние |H〉 —это именно то, что мы получили. Для этого мы проведем тест, аналогичный только что рассмотренному. В данном случае мы выбираем элемент x посредством классической процедуры случайного блуждания по подгруппе H. Затем, если |H〉 ействительно является суперпозицией по подгруппе, |xH〉 росто циклично сдвинется на x, а если x ∉ H, мы получим что-то иное. Вам придется доказать, что этот тест не только необходим, но и достаточен. Примерно это и доказал Ватрус.
Это пример того, что иногда наличие квантового состояния реально полезно и позволяет справиться с экспоненциальностью этого состояния. Может, пример не слишком сильный, но все же кое-что.
Встает очевидный вопрос: во всех этих случаях, где квантовое доказательство, кажется, помогает нам, может быть, мы справились бы не хуже, если бы нам было дано классическое доказательство, которое мы проверяли бы при помощи квантовых вычислений? За счет чего на самом деле получается преимущество — за счет наличия квантового состояния или за счет того факта, что у нас имеется квантовый компьютер для проверки? Можно сформулировать вопрос иначе: действительно ли QMA = QCMA, где QCMA — это аналог QMA? Только доказательство в нем должно быть классическим. Мы с Грегом Купербергом написали статью[108], в которой попытались взглянуть на этот вопрос повнимательнее. Один из фактов, которые нам удалось показать, представляется опасным для реалистического взгляда на квантовые состояния (по крайней мере в этом конкретном вопросе): если обычная задача о скрытой подгруппе (в чем именно она состоит, сейчас неважно) может быть решена за квантово-полиномиальное время — а, судя по всему, так и есть — и если мы делаем еще кое-какие предположения по теории групп, которые все специалисты, которых мы спрашивали, считают правдоподобными, то задача о невхождении в группу действительно входит в QCMA. То есть доказательство можно деквантизировать и заменить классическим.
С другой стороны, мы показали, что существует квантовый оракул A, относительно которого QMAA ≠ QCMAA. На самом деле такую штуку несложно описать. Для начала, что такое квантовый оракул? Квантовые оракулы — это просто квантовые подпрограммы, к которым, как мы считаем, имеют доступ и QMA-, и QCMA-машины. Если классические оракулы действуют на вычислительном базисе (возможно, в суперпозиции в пределах квантового состояния), то квантовые оракулы способны действовать на произвольном базисе. Попробуем разобраться в том, какая идея стоит за использованным нами оракулом A. Пусть нам дан некоторый n-кубитный унитарный оператор U. Более того, пусть действует априорное ограничение: либо U — матрица тождественного преобразования I, либо существует некое секретное «выделенное состояние» |ψ〉 такое, что U|ψ〉 –|ψ〉 то есть U имеет какой-то секретный собственный вектор, соответствующий собственному числу, равному –1. Задача состоит в том, чтобы решить, которое из этих условий выполняется.
Несложно убедиться, что эта задача, будучи задачей с оракулом, входит в QMA. Почему это так? Потому что доказатель должен будет всего лишь дать проверяющему |ψ〉 а проверяющий применит U|ψ〉 ля проверки, что действительно U|ψ〉 –|ψ〉 Ничего, в общем-то, особенного.
А доказали мы, что эта задача, будучи задачей с оракулом, не входит в QCMA. Так что даже если бы у вас были и ресурсы унитарной операции U, и полиномиального размера классическая строка, способная указать вам на этот секретный отрицательный собственный вектор, вам все равно потребовалось бы экспоненциально много запросов, чтобы найти |ψ〉
Этот результат, вообще говоря, указывает в другом направлении — что, может быть, QMAмощнее, чем QCMA. Если бы они были равны по мощности, то это пришлось бы показывать с использованием квантово-нерелятивизирующей методики, то есть методики, чувствительной к присутствию квантовых оракулов. В данный момент нам такие методики неизвестны, если не считать те из них, которые являются также классически нерелятивизирующими и, судя по всему, неприменимы к данной задаче.
Так что здесь возникает другой метавопрос: есть ли какая-то разница между квантовыми и классическими оракулами? В смысле, имеется ли какой-то вопрос, ответить на который можно только при помощи квантовых оракулов. Можно ли при помощи классического оракула различить QMA и QCMA? Мы с Грегом Купербергом поработали над этим, но успеха не добились. Совсем недавно Энди Лютомирский[109] предложил перспективную задачу, способную, как он (и я) предполагает, провести такое различие, но никто пока не сумел этого доказать. Если вы сможете, будет здорово!
Ну хорошо. Мы поговорили о квантовых доказательствах. Существуют и другие способы, которые мы можем попробовать в поиске ответа на вопрос: сколько всего можно извлечь из одного квантового состояния? В теореме Холево речь идет о таком вопросе: если Алиса хочет переслать Бобу какую-то классическую информацию и имеет при этом доступ к квантовому каналу связи, может ли она воспользоваться им с пользой для себя? Если квантовые состояния представляют собой экспоненциально длинные векторы, то интуитивно мы можем ожидать, что если бы Алиса могла переслать Бобу некоторое n--кубитное состояние, то она, возможно, могла бы воспользоваться им, чтобы переслать ему 2n классических бит. Это утверждение можно получить путем простого подсчета. Число квантовых состояний из n кубитов, дающих попарно почти нулевое внутреннее произведение, дважды экспоненциально по n. Мы говорим только, что для записи такого состояния вам потребуется экспоненциальное число бит. Остается надеяться на обретение какого-то механизма экспоненциального сжатия информации. Увы, теорема Холево гласит, что это невозможно. Необходимо n кубитов, чтобы надежно передать n классических бит всего лишь с некоторым постоянным множителем, отражающим тот факт, что вы готовы терпеть некоторую вероятность ошибки; результат не лучше, чем с классическим вероятностным кодированием.
Интуитивное замечание: измерить его можно лишь однажды. Каждый бит информации, который вы извлекаете, наполовину уменьшает размерность гильбертова пространства. Конечно, в каком-то смысле вы можете закодировать и больше, чем n бит, но тогда вы не сможете надежно извлечь их.
На самом деле эта теорема была известна уже в 1970-е гг. и явно обогнала свое время. И лишь недавно кто-то задал очень естественный и тесно связанный с ней вопрос: что, если Боб не хочет извлекать всю строку? Из теоремы Холево нам известно, что получить всю строку целиком невозможно, но что, если Боб хочет извлечь из сообщения всего один бит и Алиса не знает заранее, который именно? Может ли Алиса построить такое квантовое состояние |ψx〉 что, какой бы бит xi Боб ни захотел узнать, ему достаточно будет для этого просто измерить |ψx〉 подходящем базисе? Узнав xi, он разрушит состояние и не сможет больше ничего узнать, но это его устраивает. Допустим, Алиса хочет переслать Бобу квантовый телефонный справочник, а Боб хочет посмотреть в нем лишь один номер. Оказывается, согласно доказательству Амбайниса, Наяка и др.[110], это тоже невозможно. Они доказали: чтобы зашифровать n бит таким образом, чтобы можно было прочесть любой один из них, необходимо по крайней мере
Может, вам и удастся на этом кое-что выиграть, но экономия точно не будет экспоненциальной. А вскоре после этого Наяк доказал, что на самом деле, если вы хотите зашифровать n бит, вам потребуется n кубитов. Если мы готовы смириться с потерей одного-двух логарифмических множителей, я могу довольно просто показать, как именно это следует из теоремы Холево. Смысл упражнения в том, что оно иллюстрирует технику, при помощи которой мне уже удалось много добиться и в которой, возможно, еще остался немалый потенциал.
Предположим, в порядке противоречия, что у нас имеется протокол, способный надежно закодировать n бит не более чем в log n кубитов таким образом, что любой бит можно затем извлечь из закодированного текста с высокой вероятностью, скажем с вероятностью ошибки не более трети. Затем мы можем взять некоторое количество копий этого состояния. Мы просто хотим снизить вероятность ошибки, так что возьмем тензорное произведение, скажем, log n копий. Что может сделать Боб, имея это состояние? Боб может применить к каждой копии оригинальный протокол, чтобы получить xi, а затем взять мажоритарный ответ. Для некоторой достаточно большой константы, умноженной на log n, это снизит долю ошибок до не более чем n–2. Таким образом, для любого конкретного бита i Боб сможет получить бит yi, такой, что Pr [yi = xi] ≥ 1 – n–2. А раз Боб это может, то что еще он может сделать? Он может повторять эту процедуру раз за разом и жаждать большего. Я собираюсь прогнать этот процесс и получить x1, но теперь, поскольку результат этого измерения можно было предсказать почти наверняка с учетом текущего состояния, в результате вы можете доказать, что получите совсем немного информации, так что наше состояние будет лишь слегка потревожено измерением. В отношении квантовых измерений это общеизвестный факт. Если результат можно предсказать наверняка, то наше измерение вообщене сможет потревожить состояние[111].
Итак, вот что мы делаем. Мы узнали x1 и при этом лишь слегка повредили состояние. Прогнав протокол еще раз, мы узнаем x2 и нанесем лишь небольшой ущерб. Поскольку небольшой ущерб плюс небольшой ущерб будет по-прежнему небольшой ущерб, мы можем затем найти x3, и т.п. Таким образом, мы можем восстановить все биты оригинальной строки, использовав меньше кубитов, чем предполагает показанная Холево оценка. На основе всего этого можно сказать, что такой протокол невозможен.
Почему подобные вещи нас заботят? Ну, может, и не заботят, но я могу сказать, как все это попало в поле моего зрения. Далее мы не будем говорить о квантовых доказательствах, а переключимся на тесно связанную с ними концепцию под названием квантовый совет. Привлечем класс BQP/qpoly — множество задач, эффективно решаемых квантовым компьютером при наличии полиномиального по размеру состояния квантового совета. В чем разница между советом и доказательством? Как уже говорилось в главе 7, совет зависит только от длины входной строки n, но абсолютно достоин доверия, тогда как доказательство зависит от реального входа, но нуждается в проверке.
Таким образом, преимущество совета состоит в том, что вы можете ему доверять, а недостаток — в том, что совет может оказаться менее полезным, чем мы предполагали, поскольку не подгоняется к конкретной реализации задачи, которую вы пытаетесь решить. Поэтому мы можем догадываться, что квантовым компьютерам, возможно, трудно решать NP-полные задачи, но только в том случае, если этому квантовому компьютеру приходится начинать с некоторого нулевого начального состояния. Возможно, существуют кое-какие очень необычные состояния, возникшие в ходе Большого взрыва и все это время просидевшие в какой-нибудь туманности (и каким-то образом не декогерировавшие). Если мы сядем на космический корабль и отыщем эти состояния, они, очевидно, не смогут предвидеть, какую конкретную реализацию SAT мы захотим решить, но они как бы предвидят, что мы захотим решить какую-то ее реализацию. Может ли существовать то самое обобщенное состояние |ψn〉 ля решения SAT-задачи, такое, что для любой булевой формулы P размера n мы могли бы, проведя с |ψn〉 екоторые квантовые вычисления, выяснить, удовлетворима ли P? На самом деле мы здесь задаемся вопросом: правда ли NP ⊂ BQP/qpoly?
Что мы можем сказать о мощности BQP/qpoly? Можно адаптировать результат Ватруса в отношении квантовых доказательств к данному квантовому совету. Возвращаясь к задаче о невхождении в группу: если бы Большой взрыв предвидел, вхождение в какую подгруппу нас заинтересует, но не то, какой именно элемент мы будем проверять на вхождение в эту подгруппу, то он мог бы снабдить нас состоянием |H〉 представляющим собой суперпозицию по всем элементам H; после этого мы могли бы проверить на вхождение в H любой элемент, какой захотели бы. Отсюда видно, что по крайней мере какая-то версия задачи о невхождении в группу входит в BQP/qpoly.
Я не упоминал об этом раньше, но мы можем доказать[112], что QMA ⊆ PP, так что, очевидно, существует некий предел мощности QMA. Можно заметить, что в худшем случае вам придется всего лишь перебрать все возможные квантовые доказательства (все возможные состояния из nкубитов) и посмотреть, найдется ли среди них такое состояние, которое наша машина примет. Можно добиться и лучшего результата; именно отсюда возникает оценка PP.
А что с BQP/qpoly? Можете ли вы найти какую-нибудь верхнюю оценку для мощности этого класса? То есть можете ли вы найти какой-то способ обосновать, чего он не может делать?
Знаем ли мы хотя бы, что BQP/qpoly не равен ALL — множеству вообще всех языков (включая невычислимые)? Пусть нам дана экспоненциально длинная классическая строка совета. Несложно убедиться, что в этом случае мы могли бы решить вообще любую задачу. Почему? Потому что пусть f:{0, 1}n → {0, 1} — булева функция, которую мы хотим вычислить. Тогда мы просто объявляем совет полной таблицей истинности для этой функции, и нам достаточно будет найти в этой таблице подходящую строку, чтобы решить любую задачу размера n, какую нам заблагорассудится. Задачу остановки, вообще все что угодно.
В качестве другого примера рассмотрим знаменитую константу Ω, определенную Грегори Хайтином[113]. Неформально Ω есть вероятность того, что «случайно сгенерированная компьютерная программа» остановится, получив на вход пустую строку на некотором фиксированном универсальном по Тьюрингу программном языке. (Технически, чтобы эта вероятность была хорошо определена, программный язык должен быть «самоограничивающим»; это означает, что невозможно создать рабочую программу, добавляя новые биты в конец уже существующей рабочей программы.) Биты двоичной записи Ω можно сравнить едва ли не с божьей премудростью: в них, как сказали бы, максимально эффективным способом зашифрованы ответы на громадное число математических вопросов (гипотеза Гольдбаха, гипотеза Римана и т.п.). Было бы потрясно получить такую штуку в качестве «совета»! (Хотя обратите внимание: с практической точки зрения извлечение из совета интересной информации — о верности или ошибочности гипотезы Гольдбаха и т.п. — потребовало бы невероятного объема вычислений и почти наверняка оказалось бы совершенно непрактичным. На практике, вероятно, вы бы не смогли отличить Ω от простой случайной строки. Но все же: вот глупость!)
Интуитивно сложно себе представить, что BQP/qpoly = ALL, потому что полиномиальное число кубитов совсем не то же самое, что экспоненциальное длинная строка классических битов. Вопрос в том, насколько это «море» экспоненциального количества классических битов, необходимых для описания квантового состояния, определяет то, что мы получим?
Пожалуй, я перейду к главному и расскажу вам, как много лет назад на одном семинаре Гарри Бурман задал мне этот вопрос; мне было очевидно, что BQP/qpoly — это не все, и он попросил меня доказать это. И постепенно я понял, что все, что можно сделать с полиномиального размера квантовым советом, можно сделать и с полиномиального размера классическим советом, если, конечно, вы можете выполнить измерение и затем осуществлять выбор по результатам измерения. Иначе говоря, я доказал[114], что BQP/qpoly ⊆ PostBQP/poly. (Позже, в 2010 г., мы с Эндрю Друкером[115] улучшили этот результат, показав, что на самом деле BQP/qpoly ⊆ QMA/poly, что в определенном смысле дает нам «оптимальную» верхнюю оценку для BQP/poly в терминах класса с классическим советом, при допущении, что BQP/qpoly не является попросту равным BQP/poly. Но пока хватит об этом.) Сухой остаток в том, что все, что вы можете узнать из квантового совета, вы можете узнать и из классического совета сравнимого размера, при условии, что вы готовы тратить экспоненциально больше вычислительных усилий на извлечение информации, которую пытается сообщить совет.
Опять же достаточно будет двух минут, чтобы привести не слишком строгое доказательство того, что BQP/qpoly ⊆ PSPACE/poly. Мне нравится, как Грег Куперберг описал это доказательство. Он сказал: если у нас есть квантовый совет, а мы хотим имитировать его при помощи классического совета посредством постселекции, мы используем «дарвинову обучающую последовательность» входных сигналов. Пусть у нас есть машина, способная принять классический совет, а мы хотим рассказать этой машине про некоторый набор квантовых советов при помощи только классических советов. Для этого мы рассматриваем некоторые тестовые входы X1, X2, …, XT. Заметьте, кстати, что наша машина с классическим советом не знает истинного состояния квантового совета |ψ〉 Машина с классическим советом начинает с предположения о том, что квантовый совет — это максимально смешанное состояние, поскольку без априорного знания любое квантовое состояние имеет равную вероятность оказаться состоянием совета. Далее, X1 — это входная строка к алгоритму, такая, что если максимально смешанное состояние используется вместо квантового совета, то алгоритм выдает неверный ответ с вероятностью выше одной трети. Если же алгоритм все же угадывает верный ответ, то проведенное измерение изменит состояние совета в некоторое новое состояние ρ1. Почему же этот процесс описывается как «дарвинов»? Следующая часть классического совета, X2, описывает некоторый входной сигнал к алгоритму, такой, что неверный ответ будет дан с вероятностью, большей одной трети, если использовать ρ1 вместо настоящего квантового совета. Если, несмотря на высокую вероятность получения неверного ответа, алгоритм, получив на вход X1 и X2, все же даст два верных ответа, то мы используем полученную в результате оценку состояния совета ρ2, чтобы получить следующую часть классического совета X3. По существу, мы пытаемся научить нашу машину для классического совета работе с квантовым советом, раз за разом повторяя: «Предположим, ты все предыдущие уроки усвоила успешно, вот тебе новый тест, который ты наверняка провалишь. Иди учись, дитя мое».
Суть в том, что если мы признаем |ψn〉 стинным квантовым советом, то, поскольку мы можем разложить максимально смешанное состояние в любом базисе, в каком захотим, мы можем считать его результатом смешения состояния истинного совета, которое мы пытаемся узнать, и кучи других вещей, ортого-нальных ему. Всякий раз, когда мы даем неверный ответ с вероятностью, большей одной трети, мы как бы отсекаем от этого пространства еще треть. После этого мы делаем постселекцию из того, что получилось. Мы знаем также, что если бы мы начали с истинного состояния совета, мы выдали бы верный ответ, так что этот процесс должен где-то завершиться; постепенно мы отсеем весь мусор, и примеры, на которых алгоритм ошибается, у нас закончатся.
Итак, в этой ситуации квантовые состояния работают не как экспоненциально длинные векторы. Они работают как если бы в них был закодирован лишь полиномиальный объем информации, хотя извлечение того, что вы хотите узнать, может оказаться экспоненциально более эффективным, чем если бы та же информация была представлена классически. Опять же мы получаем неоднозначные ответы, но мы этого и ожидали. Мы знали, что именно квантовые состояния населяют это странное срединное царство между распределениями вероятности и экспоненциально длинными строками. Тем не менее приятно точно знать, как играет интуитивное понимание в каждом из этих конкретных сценариев. Мне кажется, что именно это привлекает меня в квантовой теории сложности. В каком-то смысле это то самое, о чем спорили Бор и Гейзенберг, но мы сегодня можем задавать вопросы намного конкретнее — и иногда даже отвечать на них.
Скептики о квантовых вычислениях
В предыдущей главе мы говорили о том, следует ли рассматривать квантовые состояния как экспоненциально длинные векторы, и я ввел класс BQP/qpoly и кое-какие концепции, вроде квантового совета. На самом деле я бы сказал, что главная причина моего интереса так и не была названа; она связана с вопросом о том, следует ли нам в принципе считать квантовые вычисления фундаментально возможными или нет. Есть люди, такие как Леонид Левин и Одед Голдрейх, для которых очевидно, что квантовые вычисления просто должны оказаться невозможными[116]. Отчасти их аргументы сводятся к тому, что мир, в котором для описания состояния 200 частиц требуется больше битов, чем существует частиц во Вселенной, представляется очень уж экстравагантным. Для этих людей такая экстравагантность — четкое указание на то, что что-то здесь не так. Поэтому причина, по которой мне нравится исследовать мощность квантовых доказательств и квантового совета, отчасти состоит в том, что это помогает нам ответить на вопрос, действительно ли квантовое состояние кодирует экспоненциальное количество информации.
Итак, переходим к Одиннадцати возражениям против квантовых вычислений.
1. Работают на бумаге, но не на практике.
2. Нарушают расширенный тезис Чёрча — Тьюринга.
3. В них недостаточно «настоящей физики».
4. Малые амплитуды нефизичны.
5. Экспоненциально большие состояния нефизичны.
6. Квантовые компьютеры — это всего лишь форсированные аналоговые компьютеры.
7. Квантовые компьютеры не похожи ни на что виденное нами ранее.
8. Квантовая механика — всего лишь аппроксимация какой-то более глубокой теории.
9. Декогеренция всегда будет хуже, чем порог допустимой ошибки.
10. Классическим компьютерам не нужна толерантность к ошибкам.
11. Ошибки не являются независимыми.
Что я сделал? Записал все аргументы скептиков против возможности квантовых вычислений, какие только сумел вспомнить. Теперь я просто пройдусь по ним и откомментирую. Позвольте для начала сказать, что моя точка зрения всегда была довольно простой: вполне может быть, что квантовые вычисления окажутся невозможными по какой-то фундаментальной причине. Если вдруг обнаружится, что это действительно так, тут-то и начнется самое увлекательное. Вообще, это было бы намного интереснее, чем если квантовые вычисления возможны, — ведь такое открытие изменит наши представления о физике. Получить квантовый компьютер, способный раскладывать на простые множители 10 000-значные целые числа, — относительно скучныйрезультат, полностью соответствующий уже имеющимся у нас теориям.
Я люблю спорить со скептиками по нескольким причинам. Во-первых, потому что я вообще люблю спорить. Во-вторых, я часто обнаруживаю, что лучший способ получить какие-то новые результаты — найти человека, который говорит что-то, что мне кажется ясно и откровенно неверным, и попробовать придумать для него контраргументы. Ошибочные утверждения — благодатный источник исследовательских идей.
Итак, как выглядят некоторые скептические аргументы, которые мне приходилось слышать? Чаще всего я слышу что-то вроде: «Ну хорошо, это работает формально, на бумаге, но это не будет работать в реальном мире». Нет, правда, люди действительно говорят такое и при этом считают свои слова серь-езным аргументом. Для меня ошибочность этого заявления не в том, что у людей могут возникать идеи, не работающие в реальном мире, а в том, что эти идеи, не работая в реальном мире, способны «работать на бумаге». Разумеется, могут существовать допущения, без которых та или иная идея не работает. Но возникает вопрос, имеются ли здесь четко сформулированные допущения.
Я с радостью обнаружил, что был не первым, кто указал на эту конкретную ошибку. Иммануил Кант написал целый трактат на эту тему под названием «О поговорке "Может, это и верно в теории, но не годится для практики"».
Второй аргумент состоит в том, что квантовые вычисления, должно быть, невозможны, потому что нарушают расширенный тезис Чёрча — Тьюринга: «Все, что эффективно вычислимо в физическом мире, вычислимо за полиномиальное время на стандартной машине Тьюринга». То есть мы знаем, что квантовые вычисления не могут оказаться возможными (считая, что BPP ≠ BQP), потому что мы знаем, что BPP определяет предел эффективной вычислимости.
Итак, у нас есть тезис и квантовые вычисления этот тезис нарушают, так что (если вы верите в этот тезис) они, следовательно, невозможны. С другой стороны, если заменить разложение на множители NP-полными задачами, то этот аргумент для меня лично станет более правдоподобным, потому что я бы сказал, что любой мир, в котором мы реально могли бы эффективно решать NP-полные задачи, не был бы слишком похож на наш мир. Для NP-промежуточных задач, таких как разложение на множители и изоморфизм графов, я не готов занять ту или иную априори теологическую позицию. Но диаграмма показывает, как, на мой взгляд, скорее всего обстоит дело.
Это был второй аргумент. Переходим к третьему: «Мне кажутся подозрительными все эти статьи о квантовых вычислениях, потому что в них недостаточно настоящей физики, которую я изучал в университете. Там слишком много унитарных матриц и недостает гамильтонианов. И еще всякая запутанность, но мой профессор запрещал мне даже думать о запутанности, потому что все это выглядит очень странно и попахивает философией, к тому же не имеет отношения к строению атома гелия». Что можно на это сказать? Конечно, это заявление четко показывает, что мы сегодня иначе думаем и говорим о квантовой механике, чем принято было в течение многих лет. Но те, кто выдвигает этот аргумент, утверждают также, что этот новый способ рассуждать о квантовой механике неверен. Это утверждение, разумеется, требует отдельного обсуждения. Не знаю, о чем тут еще говорить.
Четвертое возражение состоит в том, что «экспоненциально малые амплитуды откровенно нефизичны». Выдвинул этот аргумент Леонид Левин. Рассмотрим некоторое состояние 1000 кубитов, таких, что каждый их компонент имеет амплитуду 2–500. Нам неизвестен ни один физический закон, который выполнялся бы с большей точностью, чем до примерно дюжины десятичных знаков, а вы просите точности до сотен десятичных знаков? Как могло кому-то прийтив голову, что такое возможно в принципе?
Очевидный ответ на аргумент № 4 заключается в том, что я могу взять классическую монетку и бросить ее тысячу раз. Тогда вероятность любой конкретной последовательности составит 2–1000, что намного меньше любой константы, которую мы могли бы измерить в природе. Означает ли это, что теория вероятностей — «всего лишь» аппроксимация какой-то другой, более глубокой теории или что она перестанет работать, если я кину монетку слишком много раз подряд?
Для меня ключевой момент здесь в том, что амплитуды развиваются линейно и в этом отношении схожи с вероятностями. Теперь у нас есть знак минус и интерференция, но очень может быть, что если бы мы взяли на себя труд как следует подумать о том, почему вероятности так хорошо работают, мы могли бы сказать, что дело не только в том, что мы всегда находимся в детерминистском состоянии и просто не знаем, что это такое; может быть, свойство линейности — это нечто более общее. Именно линейность не позволяет небольшим ошибкам вкрадываться в наши расчеты. Если у нас есть куча мелких ошибок, они скорее складываются, чем перемножаются. Это и есть линейность.
Аргумент 5 возвращает нас к тому, о чем говорилось в предыдущей главе: «Очевидно, что квантовые состояния — весьма экстравагантные объекты; невозможно просто взять 2n битов и упаковать их в n кубитов». Как-то в споре со мной Пол Дэвис выдвинул этот аргумент, апеллируя к голографическому принципу и говоря, что существует конечная верхняя оценка числа битов, которые можно втиснуть в конечную область пространства-времени. Если у вас есть квантовое состояние на 1000 кубитов, то требуется 21000 бит, и, по Дэвису, мы только что нарушили голографическую границу[117].
Как на это реагировать? Во-первых, эту информацию — вне зависимости от того, считаем ли мы, что она «там» имеется, — как правило, невозможно прочитать. Об этом говорят такие результаты, как теорема Холево. В определенном смысле вы, может быть, и сможете запихнуть в некоторое состояние 2n битов, но число битов, которые вы сможете уверенно считать оттуда, не превысит n.
Голографическая граница означает, неформально говоря, что максимальное число битов, которое можно упаковать в произвольную конечную область, пропорцио-нально площади поверхности этой области с коэффициентом примерно один бит на планковскую площадь, или 1,4 × 1069 битов на квадратный метр. Почему максимальное число битов растет как площадь поверхности, а не как объем? Это очень глубокий вопрос, который, вероятно, не дает спать спокойно таким людям, как Эд Виттен и Хуан Малдасена. Дурацкий ответ: если попытаться взять много-много битов и запихнуть их все в некоторый объем (к примеру, в кубический жесткий диск), то в какой-то момент этот кубический накопитель схлопнется и образует черную дыру. Плоский накопитель тоже схлопнется, а вот одномерный накопитель этого не сделает.
Вот в чем дело: все эти биты, кажется, скапливаются возле горизонта событий черной дыры. Почему возле горизонта событий? Потому что если вы стоите вне черной дыры, то вы никогда не увидите, как что-то падает внутрь сквозь горизонт событий. Вместо этого из-за замедления времени все падающие внутрь объекты будут, на взгляд внешнего наблюдателя, зависать непонятным образом над самым горизонтом событий, все время приближаясь к нему, как у Зенона, но никогда не достигая.
Затем, если вы хотите сохранить унитарность и не дать чистым состояниям превратиться в смешанные, когда что-то падает в черную дыру, вы говорите, что при испарении черной дыры через излучение Хокинга все эти биты отшелушиваются с ее поверхности, как чешуйки, и улетают в пространство. Опять же никто этого по-настоящему не понимает. Многие рассматривают (справедливо) голографическую границу как один из немногих намеков на квантовую теорию гравитации, но пока проработанной теории, где применялась бы эта граница, не существует; речь может идти разве что о нескольких специальных модельных сис-темах.
Здесь есть еще один забавный момент: в классической общей теории относительности горизонт событий не играет особо важной роли. Сквозь него можно пролететь и даже не заметить этого. Конечно, со временем ты поймешь, что миновал горизонт событий, поскольку тебя затянет в сингулярность, но в момент прохода сквозь него ты ничего особенного не ощутишь. С другой стороны, с информационной точки зрения можно сказать, что при проходе сквозь горизонт событий ты минуешь множество битов, сосредоточенных возле него. Что же выделяет горизонт событий и ставит его в особое положение с точки зрения хранения информации? Это очень странно и мне бы хотелось понять, в чем тут дело (дальнейшее обсуждение этого вопроса см. в главе 22).
Здесь на самом деле есть интересный вопрос. Голографический принцип гласит, что вы можете заложить на хранение в пределах какой-то области пространства лишь ограниченное количество информации, но что значит заложить эту информацию на хранение? Обязательно ли иметь произвольный доступ к этой информации? Обязательно ли иметь возможность вытащить их хранилища произвольный бит по желанию и при этом получить ответ за разумное время? Если же эти биты хранятся в черной дыре и на поверхности имеется n бит, то, очевидно, потребуется порядка n3/2 времени, чтобы эти биты испарились в виде излучения Хокинга. Так что время извлечения информации по порядку величины полиномиально по числу битов, но этот процесс не особенно эффективен. Не следует сразу же выбирать черную дыру как материал для жесткого диска.
Аргумент 6: «Квантовый компьютер был бы просто форсированной версией аналогового компьютера». Это мне приходится слышать снова и снова от таких людей, как нобелевский лауреат Роберт Лафлин, изложивший этот довод в своей популярной книге «Другая Вселенная»[118]. Эта точка зрения популярна среди физиков. Мы знаем, что аналоговые компьютеры не так уж надежны и могут буквально свихнуться от мелких ошибок. На следующем шаге задается вопрос, почему квантовый компьютер должен быть каким-то иным, если он оперирует амплитудами — постоянно меняющимися величинами.
Но ответ на этот аргумент известен примерно с 1996 г. и называется теоремой о пороговом значении[119]. Если опустить формальности, то теорема о пороге гласит, что если можно сделать вероятность ошибки на кубит на шаг по времени достаточно малой — меньше некоторой константы, которую традиционно оценивали в 10–6, но которая может быть и намного больше, до 0,1 или 0,2, — то можно добиться так называемой квантовой устойчивости к ошибкам, которая не дает им накапливаться и портить расчет. Аналогичную теорему об устойчивости к ошибкам для классических вычислений доказал Джон фон Нейман в 1950-е гг., однако в конце концов она оказалась практически не востребованной: вошедшие в обиход транзисторы были настолько надежны, что людям почти никогда не приходилось беспокоиться об отказах. В середине 1990-х гг. некоторые физики предположили, что «аналоговая» природа квантовых компьютеров исключает квантовую устойчивость к ошибкам. Если говорить подробнее, интуиция подсказывала, что поскольку измерение в квантовой механике — деструктивный процесс, то сам факт измерения с целью обнаружения ошибки или копирования квантовой информации ради ее защиты от будущих ошибок привел бы к разрушению той самой информации, о защите которой шла речь. Но интуиция здесь, как оказалось, ошиблась: существуют хитроумные методы измерения только «синдрома ошибки», при которых вы узнаёте, произошла ли ошибка и как можно ее исправить, но не измеряете и, соответственно, не разрушаете «законную» квантовую информацию. Возможность таких измерений, по существу, обеспечивается линейностью квантовой механики — оружием, насмерть поразившим множество неверных интуитивных представлений о том, как работает квантовая механика!
Существует ли похожая теорема о пороговом значении для аналоговых компьютеров? Нет, ее просто не может быть. Суть в том, что есть одно критически важное свойство, общее для дискретных, вероятностных и квантовых теорий, но не имеющее отношения к аналоговым или непрерывным теориям. Это свойство — нечувствительность к малым ошибкам. Это опять же следствие линейности.
Обратите внимание: если бы нам нужна была более слабая теорема о пороговом значении, мы могли бы рассмотреть некое вычисление, занимающее t шагов по времени, в котором количество ошибок на один шаг составляло бы 1/t. Тогда теорема о пороговом значении доказывалась бы тривиально. Если бы у нас было произведение унитарных матриц U1U1 … U100 и каждая из них искажалась бы на величину 1/t (1/100 в данном случае), то мы бы получили примерно такое произведение:
Произведение всех этих ошибок все же будет невелико, опять благодаря линейности. Бернштейн и Вазирани[120] отметили, что квантовые вычисления в каком-то смысле естественно устойчивы к обратно-полиномиальным ошибкам. «В принципе» это уже можно рассматривать как ответ на вопрос; остается «всего лишь» показать, как проявлять терпимость к более крупным и более реалистичным количествам ошибок, а не только к обратно-полиномиальным.
Переходим к аргументу 7. Его выдвигает, к примеру, Михаил Дьяконов[121]. Аргумент состоит в том, что все сис-темы, с какими нам приходилось сталкиваться, испытывают очень быструю декогеренцию, поэтому не слишком реально ожидать, что мы могли бы «просто» соорудить некую сис-тему, не похожую ни на одну из природных сис-тем, с которыми нам случалось иметь дело.
Да, но ядерный реактор тоже во многих отношениях не похож ни на одну из природных сис-тем. А космический аппарат? В природе никто и ничто не пользуется реактивной силой, чтобы убежать от Земли. Мы ничего такого никогда не видели. Или, наконец, классический компьютер.
Далее, есть люди, убежденные в том, что квантовая механика — приближенная теория, работающая лишь для небольшого числа частиц. При переходе к значительному числу частиц на сцене должно появиться что-то другое. Проблема в том, что проводились эксперименты, в которых квантовая механика испытывалась на довольно большом числе частиц; в качестве примера можно назвать эксперимент группы Цайлингера с фуллеренами. Были также эксперименты SQUID со сверхпроводящим квантовым интерферометром, в которых было подготовлено «состояние кота Шрёдингера» |0…0〉 |1…1〉 а n кубитах, где в зависимости от того, что вам угодно считать степенью свободы, n может доходить до нескольких миллиардов.
Хотя опять же главное здесь то, что открытие нарушения квантовой механики стало бы самым интересным из всех возможных результатом попыток создания квантового компьютера. И как еще можно это обнаружить, кроме как путем экспериментальных исследований? Поразительно, но я встречаю людей (в первую очередь компьютерщиков), спрашивающих у меня: «Как, вы ожидаете получить Нобелевскую премию, если ваш квантовый компьютер не заработает?» Для них так очевидно, что квантовый компьютер работать не будет, что это даже неинтересно.
Кто-то скажет: «Нет-нет, я хочу высказать отдельное возражение. Я не считаю, что квантовая механика где-то перестанет работать, но даже если этого не произойдет, квантовые вычисления могут все же оказаться фундаментально невозможными, просто потому, что в мире слишком много декогеренции». Эти люди утверждают, что декогеренция — фундаментальная проб-лема. То есть что ошибка всегда будет выше, чем порог устойчивости, или что какая-то нехорошая маленькая частица непременно пролетит и декогерирует ваш квантовый компьютер.
Следующий аргумент немного тоньше: для классического компьютера нам не приходится прикладывать подобные усилия. Устойчивость к ошибке в нем получается естественным образом. У вас есть некоторое напряжение, которое либо ниже нижнего порога, либо выше верхнего, и это дает нам два легко различимых состояния, которые мы можем обозначить как 0 и 1. Нам не приходится много работать, чтобы обеспечить устойчивость к ошибке. В современных микропроцессорах, к примеру, никто даже не старается ввести существенную избыточность и обеспечить особую устойчивость к ошибке, поскольку компоненты настолько надежны, что в подобных предосторожностях нет нужды. Далее говорится, что вы можете в принципе производить универсальные квантовые вычисления при помощи специальных устройств, обеспечивающих устойчивость к ошибке, но что сама необходимость таких устройств должна вызывать тревогу: почему необходима сложная сис-тема коррекции ошибок? Разве это не должно вызывать подозрения?
Вот мой ответ. Единственная причина, по которой мы не нуждаемся в устройствах коррекции ошибок в классических компьютерах, состоит в том, что компоненты очень надежны, а вот надежные квантовые компоненты нам пока построить не удалось. В начальный период классических вычислений было совершенно неочевидно, что когда-нибудь появятся такие надежные компоненты. Фон Нейман даже доказал классический аналог теоремы о пороговом значении, и только позже выяснилось, что мы в ней не нуждаемся. Он сделал это, чтобы дать ответ скептикам, которые заявляли, что всегда найдется какой-нибудь фактор, который помешает работе вашего компьютера: кто-нибудь совьет в нем гнездо, налетят насекомые — и в результате неизбежно возникнет физический предел для классических вычислений. Такое впечатление, что история повторяется.
Мы уже видим намеки на то, как все может в конце концов обернуться. Есть, к примеру, такие темы, как неабелевы энионы, где квантовые вычисления становятся «естественно устойчивыми к ошибкам», поскольку единственные процессы, способные породить ошибки, должны обходить квантовый компьютер с нетривиальной топологией. Эти предложения показывают, что когда-нибудь мы, возможно, научимся создавать квантовые компьютеры с такой же «естественной» коррекцией ошибок, какую мы имеем сегодня в классических компьютерах.
Я хотел сделать число критических аргументов круглым, но в результате их получилось 11. Возражение № 11 исходит от тех, кто понимает теорему об устойчивости к ошибкам, но не согласен с допущением о том, что все ошибки независимы. Это аргумент гласит: нелепо считать, что ошибки не коррелируют между собой или хотя бы коррелируют лишь слабо. Вместо этого утверждается, что такие ошибки непременно связаны, хотя и каким-то очень сложным способом. Чтобы разобраться в этом аргументе, нужно идти от мировоззрения скептиков: для них это не инженерная проб-лема, они априори уверены, что квантовые вычисления не заработают. Вопрос только в том, как именно должны коррелировать ошибки, чтобы квантовые вычисления не заработали.
Мой любимый ответ на этот аргумент принадлежит Дэниелу Готтесману, высказавшему его в споре с Левиным; тот убежден, что ошибки непременно вступят в какой-то заговор за пределами воображения. Готтесман сказал: если предположить, что ошибки коррелируют таким дьявольским способом, а Природа готова прилагать так много усилий, чтобы уничтожить квантовые вычисления, то почему вы не можете вывернуть ситуацию наизнанку и использовать дьявольские ухищрения Природы для получения еще большей вычислительной мощности? Может быть, вам удалось бы даже решить NP-полные задачи. Создается впечатление, что Природе пришлось бы тратить громадные усилия только ради того, чтобы нужным образом скоррелировать кубиты и убить тем самым квантовые вычисления.
Иными словами, ваши ошибки должны будут коррелировать не просто каким-то дьявольским способом, а непредсказуемым дьявольским способом. В противном случае с проблемой можно было бы разобраться в общем и целом.
Подведем итог. Я уверен, что споры со скептиками не только забавны, но и чрезвычайно полезны. Квантовые вычисления вполне могут оказаться невозможными по какой-то фундаментальной причине. Но я до сих пор жду от скептиков аргумент, который на самом деле нетривиально задел бы мое воображение. Есть возражения на то и на это, но нет полностью проработанной альтернативной картины мира, в которой квантовые вычисления не были бы возможны. Вот чего мне не хватает, чего я всегда ищу и пока не нахожу[122].
Я завершу этот разговор вопросом, который вам следует обдумать до начала следующей главы. Если мы видим 500 воронов, и все они черные, следует ли нам ожидать, что и 501-й ворон тоже окажется черным? Если да, почему? Почему созерцание пятисот черных воронов дает нам хоть какие-то основания для такого вывода?
Обучение
Загадка из предыдущей главы известна как проб-лема индукции Юма.
Загадка. Если вы наблюдаете 500 черных воронов, то какие у вас основания ожидать, что следующий ворон, которого вы увидите, тоже будет черным?
Многие люди в ответ апеллируют к теореме Байеса. Однако, чтобы такое обращение сработало, нужно сделать некоторые допущения; к примеру, считать, что все вороны берутся из одного и того же распределения. И если мы откажемся считать, что будущее похоже на прошлое, то очень трудно будет сделать хоть что-нибудь. Такого рода вопросы породили множество философских споров, к примеру таких.
Предположим, вы видите кучку изумрудов, и все они зеленые. Казалось бы, это придает достоверности гипотезе о том, что все изумруды зеленые. С другой стороны, мы можем придумать слово зелебой и определить его так: «зеленый до 2050 г., а после этого голубой». Тогда камни, которые вы видите перед глазами, столь же уверенно подтверждают гипотезу о том, что все изумруды зелебые, а не зеленые. Эта ситуация известна как парадокс зелебого.
Если вы хотите нырнуть в эту тему еще «глубже», давайте рассмотрим парадокс гавагаи. Предположим, что вы пытаетесь изучить язык и что вы — антрополог, посетивший амазонское племя, которое говорит на этом языке. (Или, может быть, вы младенец этого племени. Так или иначе, представьте, что вы пытаетесь освоить язык племени в процессе общения.) Далее, предположим, мимо пробегает антилопа, и кто-то из членов племени указывает на нее и кричит: «Гавагаи!» Кажется разумным заключить из этого, что слово «гавагаи» на их языке значит «антилопа», но откуда вам знать, что оно не указывает всего лишь на рог антилопы? Или, может быть, это название конкретной разновидности антилоп, представитель которой и пробегал мимо. Хуже того, это может означать, что некая конкретная антилопа пробежала мимо в конкретный день недели! Возможно огромное число ситуаций, на которые мог ссылаться представитель племени, используя это слово, поэтому мы должны сделать вывод о том, что выучить язык невозможно, сколько бы времени мы ни провели в племени.
Есть шутка о планете, населенной людьми, которые верят в антииндукцию: если в прошлом солнце вставало над землей каждый день, то сегодня нам следует ожидать, что оно не взойдет. В результате все эти люди голодают и живут в бедности. Некто посещает эту планету и говорит им: «Послушайте, почему вы до сих пор пользуетесь этой философией антииндукции? Вы живете в ужасной бедности!»
«Ну, никогда раньше это не срабатывало…»
Мы здесь хотим поговорить об эффективности обучения. Мы уже видели все те философские проблемы, которые указывают, на первый взгляд, что обучение невозможно, но мы знаем также, что обучение имеет место в реальности; поэтому мы хотим дать какое-то объяснение тому, как оно происходит. В философии это своего рода проб-лема, но мне кажется, что вся обстановка вокруг нее в последние годы претерпела очень серьезные изменения благодаря так называемой теории вычислительного обучения. Эта теория известна не так широко, как того заслуживает. Даже если вы (скажем) физик, вам полезно знать кое-что об этой теории, поскольку она задает отправную точку — не ту, что дает более известная байесовская позиция, но связанную с ней и, возможно, более полезную в некоторых ситуациях — для решения вопроса о том, можно ли ожидать от той или иной теории предсказания будущих результатов.
Мне кажется, ключевой момент, который должен приниматься во внимание при любом подходе, будь то байесизм, теория вычислительного обучения или еще что-то, состоит в том, что мы никогда не рассматриваем все логически представимые гипотезы на равных основаниях. Если у вас имеется 500 воронов, каждый из которых либо бел, либо черен, то в принципе существует 2500 гипотез, которые вам следует рассмотреть. Если вороны могут быть не только черными и белыми, но и зелеными, гипотез будет еще больше. Однако в реальности мы никогда не рассматриваем все эти гипотезы как равно возможные. Мы всегда ограничиваем свое внимание некоторым небольшим подмножеством гипотез — их можно назвать «достаточно простыми» гипотезами, — если только данные не вынуждают обратиться к более сложным гипотезам. Иными словами, мы всегда неявно используем так называемую «бритву Оккама» (хотя совершенно неясно, это ли имел в виду сам Оккам).
Почему это работает? В основном потому, что сама Вселенная усложнена не в максимальной степени. Мы могли бы, конечно, спросить, почему нет, и не исключено, что тому нашлось бы какое-нибудь антропное объяснение, но, как бы то ни было, мы принимаем на веру тот факт, что Вселенная довольно проста, и занимаемся наукой.
Но это все пустые разговоры. Можем ли мы на самом деле понять, как взаимосвязаны число рассматриваемых гипотез и степень уверенности, с которой мы предсказываем будущее? Один из способов сделать это сформулировал Лесли Валиант в 1984 г.[123] Его подход называется PAC-обучение, где PAC означает "probably approximately correct" («вероятно почти корректное»). Мы не собираемся предсказывать все, что происходит в будущем, не собираемся даже предсказывать с определенностью большую часть, но с высокой вероятностью мы попытаемся предсказать большую часть верно.
Возможно, это звучит как чистая философия, но часть этих рассуждений можно напрямую связать с экспериментами. К примеру, эту теорию использовали в экспериментах с такими вещами, как нейронные сети и машинное обучение. Когда-то в процессе написания статьи о PAC-обучении я захотел выяснить, как эта теория реально используется, и заглянул на «Академию Google». На момент публикации этой книги статья Валианта была процитирована 4000 раз. На основании этого можно заключить, что следует ожидать дальнейших публикаций на эту тему.
Как же работает PAC-обучение? Возьмем множество S, которое может быть конечным или бесконечным, и назовем его пространством примеров. К примеру, пусть мы — это младенец, который пытается освоить язык и получающий несколько примеров предложений, грамматически верных или неверных. Из этого нам нужно вывести правило, по которому можно определить, является ли новое предложение грамматически верным или нет. В этом случае наше пространство примеров — это множество возможных предложений.
Концепция — это булева функция f:S → {0, 1}, отображающая каждый элемент пространства примеров либо на 0, либо на 1. Позже мы можем отбросить допущение о том, что концепции представляют собой булевы функции, но для простоты мы пока будем считать их таковыми. В нашем примере концепция — это язык, который мы пытаемся изучить; получив предложение, концепция сообщает нам, верно ли оно грамматически. Далее, мы можем получить класс концепций и обозначить его C. Здесь C можно считать множеством языков, которые наш младенец, приходя в мир, считает в принципе возможными еще до получения каких-либо данных о реальном используемом языке.
Пока скажем, что у нас имеется некоторое распределение вероятностей D по примерам. В примере с младенцем это похоже на распределение, из которого родители или сверстники малыша выбирают предложения, которые будут произносить. Младенец не обязан знать, что это за распределение. Мы просто вынуждены считать, что оно существует.
Какова же цель всего этого? Мы получаем m образцов xi, извлеченных независимо из распределения D, и для каждого xi мы получаем f(xi), то есть нам сообщают, верен ли грамматически каждый из наших образцов. Пользуясь этими данными, мы хотим создать язык-гипотезу h, такой, что
где ~ означает, что x берется из распределения D. То есть мы хотим, чтобы наша гипотеза hрасходилась с концепцией f не более чем в доле ε примеров x, извлеченных из распределения D. Можем ли мы уверенно надеяться на такой результат? Нет? Ну почему же нет?
Вам может не повезти с получаемыми образцами; так, можно извлекать из распределения один и тот же образец снова и снова. Если единственное предложение, которое вам доведется слышать младенцем, будет: «Какой умный малыш!», то у вас не выработается никакой базы, на основании которой вы сможете определить, является ли также предложением фраза: «Мы считаем эти истины самоочевидными». В общем-то, следует считать, что возможных предложений существует экспоненциально много, но младенец слышит из них лишь полиномиальное количество.
Итак, мы говорим, что должны лишь выдать только ε-хорошую гипотезу с вероятностью 1 – δпо выбору примеров. Теперь можно привести основную теорему из статьи Валианта.
Теорема. Чтобы удовлетворить требованию о том, что результирующая гипотеза h согласуется с 1 – ε будущих данных из тех, что будут случайно отобраны из D, с вероятностью 1 — δ по выбору примеров, достаточно найти такую произвольную гипотезу h, которая согласуется с
образцами, отобранными независимым образом из D.
Ключевой момент в отношении этой оценки заключается в том, что она логарифмически связана с числом возможных гипотез |C|. Даже если гипотез экспоненциально много, эта оценка все равно полиномиальна. Но почему мы требуем, чтобы распределение D, на котором будет тестироваться обучающий алгоритм, совпадало с распределением, из которого извлекаются пробные примеры?
Потому что если ваше пространство образцов представляет собой ограниченное подмножество пространства примеров, то вас обманули.
Это подобно требованию о том, что в тестовом опросе не должно быть ничего, что не изучалось бы на уроках. Если предложения, которые вы слышите от людей, соответствуют только английскому языку, а вы хотите гипотезу, которая соответствовала бы французским предложениям, то это вряд ли возможно. Все-таки нужно допускать, что будущее напоминает прошлое.
Стоит вам сделать такое допущение, и теорема Валианта скажет, что для конечного числа гипотез и с разумным числом образцов обучение возможно. И более никаких допущений не нужно.
Это противоречит догмам байесовской религии, гласящим, что если ваши априорные допущения различны, то и выводы, к которым вы придете, будут совершенно разными. Сторонники байесовского подхода начинают с распределения вероятностей по возможным гипотезам. По мере накопления данных вы корректируете это распределение при помощи правила Байеса.
Существует способ делать это, но теория вычислительного обучения говорит нам, что этот способ не единственный. Не обязательно начинать с каких бы то ни было допущений о распределении вероятностей по гипотезам. Можно даже сделать наихудшее допущение об этой гипотезе (мы, компьютерщики, обожаем это делать, поскольку все мы пессимисты!), а затем просто сказать, что вы бы хотели получить хоть какую-то гипотезу из класса концепций при любом распределении с высокой вероятностью по выбору образцов. Иными словами, вы можете обменять байесовское распределение вероятностей для гипотез на распределение вероятностей для примеров.
Во многих случаях это и правда предпочтительнее: вы не имеете понятия о том, что представляет собой верная гипотеза, — в этом и заключается проб-лема, — так почему вам нужно априорно принимать какое-то конкретное предварительное распределение? Мы не обязаны знать начальное распределение по гипотезам, чтобы применять теорию вычислительного обучения. Нам нужно только допустить, что некое распределение имеется.
Доказывается теорема Валианта совсем несложно. Назовем заданную гипотезу h плохой, если они расходится с f более чем на доле ε данных. Тогда для любой конкретной плохой гипотезы h, поскольку x1, …, xm независимы, мы имеем
Pr[h(x1) = f(x1), …, h(xm) = f(xm)] < (1 – ε)m.
Это ограничивает вероятность того, что данная плохая гипотеза дала верные предсказания по образцам. Тогда чему равна вероятность того, что существует плохая гипотеза h ∈ C, которая согласуется со всеми данными выборки? Мы можем воспользоваться границей объединения:
Pr[существует плохая h, которая согласуется с f для всех образцов] < |C| (1 – ε)m.
Мы можем приравнять эту вероятность к δ и решить уравнение относительно m. Получаем:
Что и требовалось доказать.
Это дает нам границу числа образцов, необходимых для конечного множества гипотез, но как насчет бесконечных классов концепций? К примеру, что если мы пытаемся узнать прямо-угольник на плоскости? Тогда наше пространство примеров — это множество всех заполненных прямоугольников. Предположим, нам даны m точек, и для каждой указано, принадлежит она или нет «секретному прямоугольнику».
Итак, сколько у нас возможных прямоугольников? Существует 2ℵ0 возможных вариантов, так что мы не можем применить предыдущую теорему! Тем не менее если даны 20–30 случайных точек в прямоугольнике и 20–30 случайных точек вне прямоугольника, но рядом с ним, интуитивно кажется, что мы имеем довольно здравое представление о том, где именно находится прямоугольник. Можем ли мы предложить более общую теорему об обучении, применимую, когда класс концепций бесконечен? Да, но для начала нам понадобится концепция под названием дробление.
Для некоторого класса концепций C мы говорим, что подмножество пространства примеров {s1, s2, …,sk} раздроблено C, если для всех 2k возможных классификаций s1, s2, …, sk существует некоторая функция f ∈ C, которая согласуется с этой классификацией. Тогда определим VC-размеркласса C, обозначаемый VCdim (C), как размер наибольшего подмножества, раздробленного C.
Что представляет собой VC-размер класса концепций прямоугольников? Нам нужно наибольшее множество точек, таких, что для любого возможного распределения их на те, которые принадлежат прямоугольнику и которые не принадлежат, существует некоторый прямоугольник, который содержит только те точки, которые нам нужны, причем все. Нижеследующая диа-грамма иллюстрирует, как добиться этого с четырьмя точками. С другой стороны, не существует способа сделать это с пятью точками (доказательство этого пусть будет упражнением для вас!).
Одно из следствий следующей теоремы гласит, что PAC--обучение возможно с конечным числом образцов в том и только том случае, если VC-размер класса концепций конечен.
Теорема (Блумер, Эренфойхт, Хаусслер и Вармут, 1989)[124]. Чтобы получить гипотезу h, способную объяснить долю 1 – ε будущих данных, извлеченных из распределения D, с вероятностью 1 – δ, достаточно построить любую h из C, которая согласуется с
образцов, извлеченных независимо из D. Более того, это точная оценка (с учетом зависимости от ε).
Эту теорему доказать труднее, чем предыдущую, на это потребовалась бы отдельная глава, так что мы опустим доказательство. Интуитивно, однако, за доказательством стоит просто бритва Оккама. Если VC-размер конечен, то после рассмотрения количества образцов, превышающего VC-размер, энтропия уже рассмотренных данных достигнет лишь приблизительно VC-размера. Вы делаете m наблюдений, после чего возможное количество вещей, которые вы уже видели, будет меньше 2m; в противном случае было бы VCdim (C) ≥ m. Следовательно, для описания этих m наблюдений требуется меньше чем m бит. Это означает, что можно предложить теорию, которая объясняет прошлые данные и содержит при этом меньше параметров, чем сами данные.
Если вы можете это сделать, то интуитивно вы должны также иметь возможность предсказать следующее наблюдение. С другой стороны, если предположить, что у вас имеется некая гипотетическая теория в области, скажем, физики высоких энергий, такая, что вне зависимости от того, что обнаружит следующий ускоритель, нашелся бы какой-то способ — ну, я не знаю — свернуть лишние измерения или еще что-то, чтобы воспроизвести те наблюдения… так, в этом случае вы имели бы класс концепций, VC-размер которого был бы по крайней мере столь же велик, как число наблюдений, которые вы пытались бы объяснить. В такой ситуации теория вычислительного обучения не дает вам никаких оснований ожидать, что гипотеза, которую вы выдвинули, способна предсказывать следующее наблюдение.
Главный итог — то, что этот интуитивный размен сжимаемости прошлых данных на предсказуемость будущих данных может реально быть формализован и доказан; иначе говоря, при разумных допущениях бритва Оккама является теоремой.
Но что, если вещь, которую мы пытаемся узнать, — это квантовое состояние, скажем некоторое смешанное состояние ρ? Мы могли бы провести измерение E с двояким результатом. В квантовой механике самый общий тип измерения называется положительной операторной мерой (POVM, positive operator valued measure). POVM — это всего лишь обычное «проективное» измерение — измерение того типа, который мы обсуждали ранее, за исключением того, что перед измерением как таковым вы должны провести произвольное унитарное преобразование измеряемого состояния ρ вместе с некоторым дополнительным «вспомогательным состоянием», не зависящим от ρ. В данном случае вам достаточно знать следующее: если у вас имеется POVM M с двумя возможными исходами, действующее на n-мерном смешанном состоянии ρ, то вы можете полностью характеризовать M при помощи эрмитовой матрицы E размера n × n, все собственные величины которой принадлежат [0, 1]. Тогда вероятность того, что M «принимает» ρ, просто равна tr(Eρ) (где tr, или ранг, есть сумма диаго-нальных элементов), а вероятность того, что M «отвергает» ρ, равна 1 — tr(Eρ).
Далее, если нам дано некоторое состояние ρ, то мы бы хотели иметь возможность предсказывать результат любого измерения, проведенного над этим состоянием, то есть оценивать вероятность принятия tr(Eρ) для любого двухвариантного POVM-измерения E. Легко убедиться, что это эквивалент томографии квантового состояния, то есть выяснения самой матрицы плотности ρ.
Но что такое ρ? Это некоторое n-кубитное состояние, представленное в виде матрицы 2n × 2n с 4n независимых параметров. Хорошо известно, что число измерений, необходимых для томографии n-кубитного состояния, растет экспоненциально с n. Уже одно это представляет серьезную практическую проблему для экспериментаторов. Чтобы узнать восьмикубитное состояние, вам, может быть, придется настроить свой детектор 65536 разными способами и провести с каждой настройкой не одну сотню измерений, чтобы добиться приемлемой точности.
Повторюсь, это практическая проб-лема для экспериментаторов. Но не является ли это также и концептуальной проблемой? Некоторые скептики в отношении квантовых вычислений, судя по всему, считают именно так; в предыдущей главе мы видели, что одно из фундаментальных возражений против квантовых вычислений состоит в том, что в них требуется манипулировать именно такими экспоненциально длинными векторами. Для некоторых скептиков это изначально абсурдный способ описания физического мира, и либо квантовая механика не выдержит, когда мы попытаемся проделать что-то подобное, либо найдется что-нибудь еще, что мы пока не приняли во внимание, потому что очевидно неприемлемо иметь 2n «независимых параметров» в описании nчастиц.
Итак, если необходимо провести экспоненциальное число измерений квантового состояния, прежде чем знаний будет достаточно, чтобы предсказывать по ним результаты дальнейших измерений, то мы получили способ формализации упомянутого аргумента, делающий его более убедительным. В конце концов, наша цель в науке — выдвигать гипотезы, которые сжато объясняют прошлые наблюдения и таким образом позволяют нам предсказывать наблюдения будущие. Может быть, у нас есть и другие цели, но как минимум мы хотим именно этого. Если для того, чтобы характеризовать общее состояние из 500 кубитов, вам нужно провести больше измерений, чем возможно за время жизни Вселенной, то создается впечатление, что что-то не так с самой квантовой механикой как научной теорией. Я склонен согласиться в этом со скептиками.
В 2006 г. я опубликовал статью[125], в которой попытался использовать для ответа на этот аргумент теорию вычислительного обучения. Вот как Умеш Вазирани объяснил мой результат. Он сказал: предположим, вы младенец, который пытается усвоить некое правило, позволяющее предсказывать, является ли заданный объект стулом. Вы видите кучу предметов с ярлыками «стул» или «не стул» и на основании этого вырабатываете собственные общие правила («у стула четыре ножки», «на стуле можно сидеть» и т.п.), отлично работающие в большинстве случаев. Правда, эти правила могут отказать, если (скажем) вы находитесь в музее современного искусства, но мы не будем об этом беспокоиться. В теории вычислительного обучения мы хотим предсказывать не все, а лишь большую часть будущих наблюдений. Если вы простой обыватель и не ходите в музей современного искусства, то вам нечего беспокоиться о стулоподобных объектах, которые можно там обнаружить. Нам следует принимать во внимание будущие намерения обучающегося, поэтому мы смягчаем цель томографии квантового состояния и говорим, что она заключается в предсказании исхода большинства измерений, взятых из некоторого распределения вероятностей D.
Более формально, если задано смешанное состояние ρ на n кубитах, а также измерения E1, E2, …, Em ~ D и расчетные вероятности pj ≈ Tr(Ejρ) для каждого j ∈ {1, 2, …, m}, то цель состоит в том, чтобы сформировать гипотетическое состояние σ, которое с вероятностью не менее 1 — δимеет свойство
Для этой цели существует теорема, ограничивающая число необходимых образцовых измерений.
Теорема. Зафиксируем параметры ошибки ε, δ и γ и зафиксируем также η > 0, такое, что γε ≥ 7η. Назовем E = (E1, …, Em) «хорошим» обучающим множеством измерений, если любое гипотетическое состояние σ, удовлетворяющее условию |Tr(Eiσ) – Tr(Eiρ) | ≤ η, удовлетворяет также
В этом случае существует константа K > 0, такая, что E будет хорошим обучающим множеством с вероятностью по крайней мере 1 — δ над E1, …, Em, извлеченными из D, при условии что m удовлетворяет условию
Важно отметить, что эта оценка всего лишь линейна по числу кубитов n, и это говорит нам, что на самом деле нам не нужна экспоненциальная относительно числа кубитов размерность, если мы хотим предсказывать лишь большинство результатов измерений.
Почему эта теорема верна? Вспомните результат Блумера и др., который гласит, что можно обучаться с числом образцов, растущим линейно вместе с VC-размером вашего класса концепций. В случае квантовых состояний мы уже не работаем с булевыми функциями. Вы можете рассматривать квантовое состояние как действительную функцию, которая принимает в качестве входного сигнала двухвариантное измерение E и выдает на выходе действительное число из интервала [0, 1] (а именно вероятность того, что измерение принимает). То есть ρ берет измерение E и возвращает Tr(Eρ).
Итак, можно ли обобщить результат Блумера и соавторов на функции с действительными значениями? К счастью, это уже сделали до меня Алон, Бен-Давид, Чеза-Бьянки и Хаусслер, а также, помимо прочих, Бартлетт и Лонг.
Далее, вспомним из главы 14 нижнюю оценку кодов произвольного доступа Амбайниса, Наяка и др., которая говорит нам, сколько классических битов можно надежно зашифровать в состояние из n кубитов. Пусть дана m-битная классическая строка x, и предположим, что мы хотим зашифровать x в квантовое состояние из n кубитов таким способом, что любой бит xi по нашему выбору можно было бы позже извлечь с вероятностью по крайней мере 1 — ε. Амбайнис с соавторами доказали, что на самом деле мы не можем ничего сэкономить, упаковав классические биты в квантовое состояние таким способом. То есть n по-прежнему должно быть линейно относительно m. Поскольку это нижняя оценка, мы можем рассматривать ее как ограничение схем квантового шифрования. Но мы можем также перевернуть все с ног на голову и сказать: это реально хорошо, поскольку подразумевает некую верхнюю оценку VC-размера квантовых состояний, рассматриваемых как класс концепций. Грубо говоря, эта теорема говорит нам, что VC-размер n-кубитных состояний, рассматриваемых как класс концепций, равен максимум m = O(n). Чтобы формализовать ситуацию, нам нужен действительный аналог VC-размера (известный как «сжигатель жира»; не спрашивайте, почему), а также теорема о том, что мы можем усвоить любой действительный класс концепций при помощи числа образцов, возрастающего линейно с ростом жиросжигающего размера.
А что можно сказать о возможности реально найти это состояние? Даже в классическом случае я полностью игнорировал вычислительную сложность нахождения гипотезы. Я сказал, что если вы каким-то образом нашли гипотезу, которая согласуется с имеющимися данными, то все в порядке, вы сможете объяснить будущие данные, — но как вы будете искать эту гипотезу? Мало того, как вы хотя бы запишете ответ в квантовом случае? Явная запись состояния потребовала бы экспоненциально много битов! С другой стороны, может быть, все не так плохо, ведь даже в классическом случае на поиск гипотезы может потребоваться экспоненциальное время.
О чем это нам говорит? В обоих случаях, если вы заинтересованы в вычислительной и представительной эффективности, вам придется ограничить задачу каким-то конкретным случаем. Результаты из этой главы, где говорится о сложности выборки, — это всего лишь начала теории обучения. Они отвечают на первый, информационно-теоретический вопрос и говорят нам, что достаточно взять линейное число образцов. Вопрос о том, как найти и представить гипотезу, составляет значительную часть остальной теории. В настоящее время очень мало известно об этой части теории обучения в квантовом мире.
Однако я могу рассказать вам кое-что из того, что известно для классического случая. Может быть, к нашему разочарованию, значительная часть известного имеет отношение к трудности. К примеру, для класса концепций булевых схем полиномиального размера мы считаем вычислительно трудной задачей поиск схемы (или, что эквивалентно, короткой эффективной компьютерной программы), которая выдавала бы на выходе уже виденные нами данные, даже в предположении, что такая схема существует. Разумеется, мы не можем доказать, что эта задача не имеет алгоритма полиномиального времени (ведь тем самым мы доказали бы, что P ≠ NP); мало того, оказывается, мы не можем даже доказать при нынешнем уровне знания, что это NP-полная задача. Мы знаем, что эта задача по крайней мере столь же трудна, как инвертирование односторонних функций, то есть взлом почти всей современной криптографии. Помните, когда мы в главе 8 говорили о криптографии, мы упоминали односторонние функции, которые легко вычислять, но трудно инвертировать? Мы тогда говорили, что Хостад, Импальяццо, Левин и Луби[126] в 1997 г. доказали, что из любой односторонней функции можно построить псевдослучайный генератор, отображающий n «истинно» случайных битов на, скажем, n2 битов, которые не отличит от случайных никакой алгоритм полиномиального времени. А Голдрейх, Гольдвассер и Микали ранее показали[127], что из любого псевдослучайного генератора можно построить семейство псевдослучайных функций — семейство булевых функций f:{0, 1}n → {0, 1}, которые вычисляются небольшими схемами, но которые не отличит от случайных функций никакой алгоритм полиномиального времени. А такое семейство функций немедленно ведет нас к вычислительно неразрешимой задаче обучения.
Итак, на основании криптографических допущений мы можем показать, что задачи поиска гипотезы для объяснения уже виденных данных, вероятно, трудны в общем случае. После небольшой модификации этого результата мы можем сказать, что если поиск квантового состояния, согласующегося со сделанными измерениями, всегда может быть проведен эффективно, то не существует односторонней функции, надежно защищающей от квантовых атак. Это означает, что нам, по существу, придется расстаться с надеждой решить эти задачи обучения в общем и ограничиться конкретными случаями. В классическом случае существуют особые классы концепций, которые можно эффективно изучить, такие как схемы постоянной глубины или функция четности. Я уверен, что в квантовом мире дело обстоит приблизительно так же.
Загадка
В дополнение к уже упоминавшейся задаче распознавания прямоугольника существует еще одна задача про воронов авторства Карла Хемпеля. Пусть мы хотим проверить свою любимую гипотезу о том, что все вороны — черные. Как мы это делаем? Мы выходим в поле, находим там воронов и смотрим, действительно ли они все черные. С другой стороны, возьмем заявление, противоположное нашей гипотезе и логически ей эквивалентное: все нечерные объекты не являются воронами. Это позволяет предположить, что орнитологические исследования можно проводить, не выходя из офиса! Мне достаточно просто смотреть на случайные объекты, отмечать про себя, что они не черные, и проверять, не являются ли они воронами. По мере работы у меня накапливаются данные о том, что все увиденные нечерные объекты — не вороны, что подтверждает мою гипотезу. Загадка в том, работает ли такой подход. Разрешается считать (для этой задачи), что я не выхожу из офиса в поля, леса или куда-то еще, чтобы наблюдать за птицами.
Интерактивные доказательства, нижняя оценка сложности схемы и многое другое
В завершение предыдущей главы я дал вам загадку: можно ли быть орнитологом, не выходя из офиса?
Я хочу узнать, все ли вороны черные. Старомодный подход заключался бы в том, чтобы выйти наружу, найти стаю воронов и посмотреть, все ли они черные. Более современный подход: оглядеться вокруг, посмотреть на все нечерные объекты в комнате и обратить внимание на то, что все эти объекты не являются воронами. Чем дальше, тем больше я буду таким образом убеждаться, что все нечерные объекты не являются воронами или, что эквивалентно, что все вороны черные. Могу ли я таким передовым способом стать лидером в области орнитологии?
Если вы ответите: «Сидя в офисе, вы не получите случайной выборки нечерных объектов», — то я замечу, что вне офиса я также не получу случайной выборки всех воронов.
Вот кое-что, косвенно связанное с нашей задачей, о чем она мне напомнила: есть игра, в которой вам дают четыре карты, на каждой из которых, по априорному условию, с одной стороны имеется буква, а с другой — число. Если вы видите на картах то, что изображено на рисунке, то какую карту вам нужно перевернуть, чтобы проверить правило: все карты с буквой K на одной стороне имеют на другой число 3?
Очевидно, если вы зададите людям этот вопрос, огромное большинство ответит на него неверно. Чтобы проверить правило K ⇒ 3, нужно перевернуть карты K и 1, и только их. С другой стороны, вы можете задать людям совершенно эквивалентную задачку, в которой вам — вышибале в баре — требуется узнать, пьет ли кто-нибудь несовершеннолетний (до 21 года в США или до 19 лет в Канаде) алкоголь; вам известно, что кто-то в баре пьет, кто-то нет, кому-то больше 21 года, кому-то меньше. В этом сценарии, как ни забавно, большинство людей отвечает верно. Нужно опросить тех, кто пьет алкоголь, и несовершеннолетних. Задачка в точности та же, что с картами, но если вы формулируете ее в абстрактных терминах, многие скажут, к примеру, что нужно перевернуть 3 и Q, что неверно. Так что у человека, судя по всему, имеется встроенная способность рассуждать логически о социальных ситуациях, а вот способности применять ту же логику к абстрактным математическим задачам его приходится долго и нудно учить[128].
В любом случае смысл в том, что на свете намного, намного больше нечерных объектов, чем воронов, так что если бы существовала пара (ворон, нечерный), то нам было бы гораздо проще найти ее, выбирая случайные образцы воронов, чем образцы нечерных объектов. Таким образом, если мы делаем выборку воронов и не находим среди них нечерного ворона, мы можем быть намного сильнее уверены в верности утверждения, что «все вороны черные», потому что вероятность опровергнуть нашу гипотезу при помощи выборки воронов намного выше.
Интерактивные доказательства
«Интерактивные доказательства» являются центральными объектами исследований в теоретической информатике и криптографии с 1980-х гг. Поскольку в этой книге речь идет в основном о компьютерных вычислениях, я хотел бы начать обсуждение интерактивных доказательств нестандартно — с вопроса: Можно ли эффективно имитировать квантовые компьютеры при помощи классических?
Некоторое время назад я беседовал с Эдом Фредкином, и он высказал уверенность в том, что вся наша Вселенная есть классический компьютер и, соответственно, все можно смоделировать классически. Но вместо того чтобы сказать далее, что квантовые вычисления невозможны, он поворачивает рассуждения в другом, очень интересном направлении и говорит, что класс BQPдолжен быть равен P. Хотя у нас имеются алгоритмы разложения на множители для квантовых компьютеров, более быстрые, чем известные классические алгоритмы, это не означает, что не существует быстрого классического алгоритма разложения на множители, о котором мы просто не знаем. С другой стороны, Дэвид Дойч выдвигает аргумент, о котором мы уже говорили несколько раз: если алгоритм Шора не задействует пресловутые «параллельные вселенные», то как он раскладывает число на множители?[129] Где были найдены простые делители числа, если при этом не использовалось экспоненциальное множество вселенных? Мне кажется, возразить Дойчу можно так (разумеется, это не единственное возражение): он априорно считает, что эффективной классической имитации не существует. Мы полагаем, что не существует способа, при помощи которого Природа могла бы реализовать те же вычисления при помощи полиномиальных классических средств, но точно мы этого не знаем. Доказать это мы не можем.
Почему мы не можем это доказать? Принципиальный момент в том, что если можно было бы доказать, что P ≠ BQP, то при этом было бы доказано также, что P ≠ PSPACE. Физики могут считать, что неравенство этих классов очевидно и вообще не требует доказательства, но это другой вопрос… Что до попыток пойти в обратном направлении и доказать P = BQP, то мне кажется, что такие попытки делались неоднократно. Не знаю, стоит ли говорить об этом на лекции, но я тоже посвятил этому несколько дней. По крайней мере, было бы хорошо поместить BQP в АМ или в полиномиальную иерархию — получить хотя бы предварительный результат. К несчастью, мне кажется, что мы пока просто недостаточно хорошо понимаем эффективные вычисления, чтобы отвечать на такие вопросы, даже если оставить в стороне квантовый аспект.
Вот вопрос: если P ≠ BQP, P ≠ NP и т.п., то почему никто не может доказать это? Объяснить это пытались несколькими способами. Один из них — релятивизация. Мы можем говорить о том, чтобы дать P-компьютеру и BQP-компьютеру доступ к одному и тому же оракулу. То есть снабдить их одной и той же функцией, которую они смогут вычислять за один вычислительный шаг. Тогда должен, по идее, существовать оракул, делающий их равными, и другой оракул, делающий их неравными. Роль оракула, делающего их равными, к примеру, мог бы выполнять просто PSPACE-оракул, который как бы прослаивает все и просто делает все равным PSPACE. Роль оракула, который делает их неравными, мог бы играть оракул к задаче Саймона или к какой-то задаче нахождения периода, которую квантовый компьютер решить может, а классический — нет.
Если два класса совпадают, то интуитивно непонятно, как придание большей мощности может сделать их разными? Главное здесь — понять, что когда мы снабжаем класс оракулом, мы действуем не на класс как таковой. Мы действуем на определение класса. Вот вам пример: несмотря на то что мы считаем P = BPP в реальном мире, очень легко построить оракул O, такой, что PO ≠ BPPO. Ясно, что если бы мы реально воздействовали на классы, то одинаковое воздействие на равные классы дало бы столь же равные результаты. Но на самом деле мы делаем не это, и, возможно, способ записи отчасти нас запутывает. Грубая аналогия: правда, что Обама — президент США, и правда также, что если бы Ромни выиграл выборы, то он был бы президентом. Но мы не можем просто не глядя подставить первое из этих уравнений во второе, ведь тогда нам придется заключить, что если бы Ромни выиграл выборы, то он был бы Обамой.
Таким образом, смысл релятивизации в том, что любой метод решения задачи «P или NP» или большинства других главных задач теории сложности просто обязан оказаться чувствительным к присутствию этих оракулов. Звучит не особенно впечатляюще, пока не сообразишь, что почти все знакомые нам методики доказательства не чувствительны к присутствию оракулов. Очень трудно отыскать методику, которая ощущала бы их присутствие, и поэтому — лично для меня — так интересны интерактивные доказательства. Они — ясный и недвусмысленный пример нерелятивизирующего способа, который я могу вам показать. Иными словами, мы можем доказать, что истинно нечто, что не было бы истинно, если бы вы просто снабдили все оракулом. Это можно рассматривать как первый шаг в неизвестность или как свет в конце тоннеля. По результатам интерактивного доказательства мы можем хотя бы очень приближенно судить о том, на что будут похожи доказательства разделения — когда-нибудь, если нам удастся их придумать. Методы интерактивного доказательства кажутся слишком слабыми, чтобы доказывать с их помощью что-нибудь вроде P ≠ NP, иначе вы бы непременно об этом услышали. Однако мы уже можем использовать эти методики для получения кое-каких нерелятивизирующих результатов разделения. Я покажу вам несколько примеров.
Как насчет P и BPP? Все сходятся во мнении, что P и BPP на самом деле равны. От Импальяццо и Вигдерсона[130] мы знаем, что если бы удалось доказать существование задачи, решаемой за время 2n, для чего требуются схемы размером 2cn при некотором c > 0, то можно было бы построить очень хороший псевдослучайный генератор — такой, что его нельзя было бы отличить от случайного при помощи какой бы то ни было схемы фиксированного полиномиального размера. А если у вас есть такой генератор, его можно использовать для дерандомизации любого вероятностного алгоритма, полиномиального по времени. Можно скормить этому алгоритму данные, идущие с выхода псевдослучайного генератора, и алгоритм не сможет отличить его от по-настоящему случайной строки. Из этого следует, что вероятностный алгоритм может быть смоделирован с детерминистских позиций. Таким образом мы, кажется, в самом деле видим разницу между классической и квантовой случайностью. Представляется, что классическую случайность и правда можно эффективно смоделировать при помощи детерминистического алгоритма, тогда как квантовую «случайность» — нельзя. В данном случае интуиция подсказывает, что с классическим рандомизированным алгоритмом всегда можно просто «исключить случайность», то есть рассматривать алгоритм как детерминистический, а случайные биты как часть входного сигнала. С другой стороны, если нам хочется сымитировать квантовый алгоритм, то что может означать выражение «исключить квантовость»?
Итак, давайте посмотрим этот конкретный пример нерелятивизирующей методики. У нас есть булева формула (примерно такая, какие используются в SAT) от n переменных, удовлетворить которую невозможно. Нам хотелось бы получить доказательство ее неудовлетворимости. То есть мы бы хотели убедиться в том, что не существует никакого набора из n переменных, при которых наша формула даст результат «истина». Прежде мы это видели как пример co-NP-полной задачи. Проблема в том, что у нас недостаточно времени, чтобы перебрать все возможные варианты и убедиться, что все они не работают. В 1980-е годы был задан следующий вопрос: «Что, если у нас есть сверхразумный инопланетянин, который прилетает на Землю и может взаимодействовать с нами?» Мы не доверяем этому инопланетянину и его технологиям, но мы бы хотели, чтобы он доказал нам неудовлетворимость формулы таким способом, чтобы нам не нужно было проявлять доверие. Возможно ли это?
В теории вычислительной сложности, когда мы представления не имеем, как ответить на вопрос, мы часто довольствуемся тем, что находим «оракул», который делает ответ однозначным: да или нет. Пусть, к примеру, мы хотим удостовериться в том, что если нам дана булева схема, вычисляющая некоторую функцию f, то не существует полиномиального по времени алгоритма, который принимает в качестве входа описание схемы и надежно находит в f некую конкретную закономерность или регулярность. (Обратите внимание: значительная часть современной криптографии базируется на общепринятых представлениях такого рода!) Проблема в том, что обычно нет никакой надежды доказать подобную гипотезу, не доказав в качестве первого шага P ≠ NP! С другой стороны, очень часто мы можем доказать более слабое утверждение: что никакой полиномиальный по времени алгоритм не может обнаружить закономерность или регулярность, о которой идет речь, если он имеет доступ к f только как к черному ящику. То есть мы можем доказать, что если алгоритм может узнать об f, только выбирая x, а затем узнавая у волшебной подпрограммы значение f(x), то ему потребуется обратиться к этой подпрограмме экспоненциальное число раз.
Вероятно, этот процесс аналогичен тому, что делают физики при вычислениях в рамках теории возмущений. Вы делаете это, потому что можете это делать и еще потому, что это по крайней мере позволяет проверить нашу реальную задачу на непротиворечивость. (Если даже вариант с черным ящиком окажется неверным, то у вашей «настоящей» гипотезы возникнут большие проблемы!)
Именно это проделали в конце 1980-х гг. Фортноу и Сипсер[131]. Хорошо, сказали они, предположим, у вас имеется экспоненциально длинная строка и какой-то пришелец хочет убедить вас в том, что эта экспоненциально длинная строка состоит из одних нулей. То есть в ней вообще нет ни одной единицы. Сможет ли доказатель это сделать? Представим, что из этого могло бы получиться.
Доказатель может сказать:
В этой строке одни нули.
Нет, я тебе не верю. Убеди меня.
Ну вот, смотри, в этой позиции нуль. В этой тоже нуль. Так что в этой…
Ну хорошо, осталось проверить всего лишь 210 000 бит, и тут пришелец говорит:
Поверь мне, там все нули.
Доказатель мало что может сделать. Фортноу и Сипсер, по существу, формально доказали этот очевидный интуитивный вывод. Возьмите любой протокол обмена сообщениями между вам и доказателем, который заканчивается вашим «да», если вас удалось убедить, или «нет», если вы находите все доводы недостаточно убедительными. Тогда мы могли бы выбрать из строки один случайный бит, тайком поменять его на 1 — и общение почти наверняка пойдет точно так же, как раньше. Вы по-прежнему скажете, что в строке одни нули.
Как всегда, мы можем определить новый класс сложности IP, отнеся к нему множество задач, где вас можно убедить в ответе «да» посредством взаимодействия с доказателем. Прежде мы говорили о таких классах, как MA и AM, где вы имеете постоянное число актов взаимодействия. В классе MA доказатель высылает вам сообщение, а вы проводите вероятностный расчет, чтобы его проверить. В классе AM вы посылаете доказателю сообщение, затем доказатель высылает вам ответное сообщение, а вы проводите вероятностный расчет. Выясняется, что с любым постояннымчислом актов взаимодействия вы получаете один и тот же класс AM, так что не будем мелочиться и разрешим полиномиальное число взаимодействий. В результате получим класс IP. Что сделали Фортноу и Сипсер? Они привели способ построения оракула, относительно которого co-NP ⊄ IP. Они показали, что относительно этого оракула невозможно подтвердить невыполнимость формулы посредством полиномиального числа актов взаимодействия с доказателем. В соответствии со стандартной парадигмой данной области информатики мы, разумеется, не можем доказать безусловно, что co-NP ⊄ IP, но это все же дает нам кое-какие свидетельства; это указывает нам, истинность чего нам следует ожидать.
А теперь настоящая бомба (открыли ее Лунд, Фортноу, Карлофф и Нисан, отсюда название — «теорема LFKN»)[132]. Как показать в «реальном», нерелятивизированном мире невыполнимость формулы? Скорее всего, нам придется каким-то образом использовать структуру этой формулы. Придется воспользоваться тем, что это булева формула, заданная нам явно, а не абстрактная булева функция. Что мы сделаем? Будем считать, что это задача 3-SAT. Поскольку задача 3-SAT относится к NP-полным, это предположение не приведет к потере общности. У нас имеется некоторое количество условий (n штук), в каждом из которых задействовано по три переменных, и мы хотим удостовериться, что не существует способа удовлетворить всем условиям.
Что мы делаем? Отображаем нашу формулу на много-член над конечным полем. Этот фокус называется арифметизацией. По существу, мы собираемся преобразовать данную логическую задачу в алгебраическую, что расширит наши возможности по работе с ней. Вот как это работает: мы записываем нашу реализацию 3-SAT в виде произведения многочленов третьей степени. Каждое условие — то есть каждое «или» трех литералов — просто превращается в 1 минус произведение 1 минус каждый из литералов: к примеру, (x или y или z) превращается в
1 – (1 – x) (1 – y) (1 – z).
Обратите внимание: в случае, когда x, y и z могут принимать только значения 0 и 1, соответствующие значениям ложь и истина, этот многочлен в точности эквивалентен логическому выражению, с которого мы начали. Но теперь мы можем заново интерпретировать этот многочлен и сказать, что он определен над некоторым гораздо более обширным полем. Выберем некоторое достаточно большое простое число N, и мы скажем, что наш многочлен определен над GFN(полем из N элементов). Я обозначу этот многочлен P(x1, …, xn).
Если формула невыполнима, то какую бы подстановку x1, …, xn мы ни выбрали для переменных, в формуле непременно встретится какое-то условие, которое не будет выполнено. Следовательно, один из многочленов третьей степени, которые мы перемножаем, примет значение 0, а значит, и произведение будет равно нулю. Таким образом, отсутствие удовлетворительных назначений эквивалентно получению нуля при суммировании P(x1, …, xn) по всем 2n возможным булевым подстановкам x1, …, xn.
Проблема, разумеется, в том, что результат не кажется сколько-нибудь проще, чем то, с чего мы начинали! Мы получили сумму экспоненциального числа слагаемых, и нам необходимо проверить каждое из них и убедиться в том, что все они равны нулю. Но здесь мы можем воспользоваться помощью доказателя. Если у нас просто имеется строка нулей и он просто сообщает нам, что на всех позициях в ней нули, то мы ему не поверим. Но теперь мы перенесли все на более обширное поле, и у нас появилась некоторая структура, с которой можно работать.
Итак, что мы теперь можем сделать? Мы просим доказателя просуммировать для нас по всем 2n– 1 возможным подстановкам переменных x2, …, xn, не фиксируя x1. Таким образом, доказатель посылает нам одномерный многочлен Q1 первой переменной. Поскольку многочлен, с которого мы начали, имел степень poly (n), доказатель может сделать это, прислав нам полиномиальное число коэффициентов. Он может прислать нам этот одномерный полином. Теперь мы должны убедиться в том, что Q1(0) + Q1(1) = 0 (все по модулю N). Как это сделать? Доказатель дал нам предполагаемое значение всего многочлена. Так что мы просто выбираем случайным образом r1 из нашего поля. Далее нам бы хотелось убедиться в том, что Q1(r1) действительно равняется тому, чему должно равняться. Забудьте про 0 и 1, мы просто идем куда-то в другое место нашего поля. Далее, мы посылаем r1 доказателю. В ответ доказатель посылает нам новый многочлен Q2, в котором первая переменная фиксирована и равна r1, вторая (x2) не фиксирована, а x3, …, xn просуммированы по всем возможным булевым значениям (как раньше). Мы по-прежнему не знаем точно, что доказатель нам не лжет и не высылает бессмысленных многочленов. Что же мы можем сделать?
Проверяем, что Q2(0) + Q2(1) = Q1(r1), затем выбираем случайным образом другой элемент r2и вновь пересылаем его доказателю. В ответ он присылает нам многочлен Q3(X). Это будет сумма P(x1, …, xn) по всем возможным булевым подстановкам x4, …, xn; x1 при этом приравнивается к r1, x2 – к r2, а x3 не фиксируется. Опять же мы проверяем и убеждаемся, что Q3(0) + Q3(1) = Q2(r2). Далее продолжаем по накатанной: выбираем случайное r3 и высылаем его доказателю. Так продолжается n итераций, на n-м шаге мы доходим до последней переменной. Что мы делаем тогда? В этот момент мы можем сами просто оценить P(r1, …, rn), не прибегая к помощи доказателя, и непосредственно проверить его на равенство Qn(rn).
По пути мы проводим кучу проверок. Вот мое первое утверждение: если удовлетворяющего размещения не существует и если доказатель нам не лжет, то каждый из n тестов уверенно принимает. Второе утверждение: если бы удовлетворяющее размещение существовало, то с высокой вероятностью по крайней мере один из тестов не сошелся бы. Почему так? Мне кажется, что доказатель чем-то похож на девушку из сказки «Румпельштильцхен». Начав лгать, он будет все сильнее и сильнее запутываться в своей лжи, и в конце концов его ложь станет настолько явной, что мы сможем уличить его. Так все и происходит. Почему? Предположим, что на первой итерации доказатель должен выдать нам многочлен Q1, но вместо этого выдает Q1′. Но вот в чем дело: все это многочлены не слишком высоких степеней. Итоговый многочлен P имеет степень не более чем в три раза выше числа условий. Мы можем без труда сделать так, чтобы поле было больше размером. Так что пусть степень многочлена d будет много меньше, чем размер поля N.
Быстрый вопрос: предположим, у нас есть два многочлена P1 и P2 степени d. В скольких точках они могут быть равны между собой (предполагая, что они все же не идентичны)? Рассмотрим разность P1 – P2. Поскольку это тоже многочлен степени не выше d, согласно основной теореме алгебры он может иметь не более d различных корней (считая опять же, что многочлен не равен тождественно нулю). Таким образом, два многочлена, не равных между собой, могут совпадать не более чем в d точках, где d — степень многочленов. Это значит, что если это многочлены над полем размера N и мы выбираем в этом поле случайный элемент, то вероятность совпадения двух многочленов в этой точке будет ограничена сверху значением d/N.
Возвращаясь к протоколу, мы предполагали, что d много меньше N, так что вероятность совпадения Q1 и Q1′ на некотором случайном элементе поля много меньше единицы. Так что, когда мы случайно выбираем r1, вероятность того, что Q1(r1) = Q1′(r1), не может быть больше d/N. Только если нам очень не повезет, можем мы выбрать r1, при котором значения окажутся одинаковыми; так что мы смело можем продолжать и считать, что Q1(r1) ≠ Q1′(r1). Далее вы можете представить себе, как доказатель мучается. Он пытается убедить нас во лжи, но, возможно, у него еще все получится. Но затем мы идем дальше и случайно выбираем r2. Опять же вероятность того, что ему удастся впарить нам следующую ложь, будет не выше d/N. Эта верхняя оценка одинакова на всех итерациях, так что вероятность впарить нам любое из ложных утверждений не превышает nd/N. И нам просто нужно выбрать достаточно большое N, чтобы эта величина была много меньше единицы.
Почему нам просто не прогнать этот протокол над множеством положительных целых чисел? Потому что у нас нет способа генерации случайного положительного целого числа, а это нам потребуется. Так что мы просто выбираем очень большое конечное поле.
Итак, описанный протокол свидетельствует, что co-NP ⊆ IP. На самом деле он дает нам более сильное утверждение.
Стандартные рассуждения показывают нам, что самое большее, чем мог бы стать IP в наших самых смелых мечтах, это PSPACE. Вы можете доказать, что все, что можно сделать с интерактивным протоколом, можно также имитировать в PSPACE. Но можем ли мы подрастить IP? Сделать его побольше? До сих пор мы пытались проверить, что все эти величины P(x1, …, xn) в сумме дают нуль, но то же самое доказательство годилось бы и в том случае, если бы мы пытались убедиться в том, что в сумме они дают какую-то другую константу (любую, какую нам захочется).
Иными словами, с помощью Мерлина Артур может реально сосчитать число булевых строк x1, …, xn, таких, что P(x1, …, xn) = 1, а не просто решить, равняется ли это число нулю. Более формально, Артур может решить любую задачу из класса сложности #P (читается «sharp-P»), определенного Валиантом в 1979 г.[133]
Ну хорошо, время для небольшого отступления. В отличие от других классов сложности, виденных нами до сих пор, #P состоит не из задач принятия решения (да-или-нет), но из функций. Говорят, что функция f, отображающая двоичные строки на неотрицательные целые числа, входит в #P, если существует полиномиальный по времени алгоритм V и многочлен p, такие, что f(x) равна числу p(n)-битных строк w, которые заставляют V (x, w) принять. Проще говоря, #P есть класс всех задач, которые можно сформулировать в терминах подсчета числа решений некоторой NP-задачи. Далее, если мы спросим, как #P вписывается в картину классов сложности, которые мы уже видели, то столкнемся лицом к лицу с вопросом о сложении яблок и апельсинов: как сравнить класс функций с классами языков? Но простое решение, нередко используемое на практике, состоит в том, чтобы рассматривать класс P#P, состоящий из всех языков, разрешимых P-машиной с доступом к #P-оракулу.
Упражнение для неленивого читателя. Покажите, что P#P = PPP, где PP — это класс «мажоритарного голосования», определенный в главе 7. (То есть в определенном смысле PP«заранее содержит в себе латентную мощь #P».)
Чрезвычайно важный результат, доказанный в 1990 г. и получивший название теоремы Тоды[134], гласит, что P#P содержит полиномиальную иерархию PH целиком. Если вам интуитивно не очевидно, почему оракул подсчета так силен, — ну, это и не должно быть очевидно! Теорема Тоды стала большим сюрпризом для всех. Как ни печально, у меня нет времени на обсуждение доказательства этой теоремы[135], но у меня до конца книги будет еще несколько поводов на нее сослаться.
Во всяком случае, в терминах классов сложности то, что мы видели выше, означает, что P#P ⊆IP: в интерактивном протоколе Мерлин может убедить Артура в решении любой задачи из #P и, соответственно, также любой задачи из P#P (поскольку Артур может просто использовать Мерлина вместо #P-оракула). По теореме Тоды это, в свою очередь, означает, что IP содержит PH.
После этого появилась «теорема LFKN», множество людей приняло участие в дискуссии посредством электронной почты, и через месяц Шамир установил, что IP = PSPACE, то есть что IPдействительно имеет максимально возможный размер[136]. Я не стану разбирать здесь результат Шамира, но это означает, что если бы на Землю прибыл сверхразумный пришелец, то он сумел бы доказать нам, имеют ли белые или черные в шахматах выигрышную стратегию, или же результат зависит от удачи. Разумеется, он мог бы сыграть с нами и выиграть, но в этом случае мы узнали бы только, что он лучше нас играет в шахматы. Но он мог бы доказать нам, кто из игроков имеет выигрышную стратегию, сведя шахматы к суммированию многочленов над большими конечными полями. (Техническое замечание: это работает только для шахмат с некоторым разумным ограничением на число ходов, таким как «правило пятидесяти ходов», используемое в турнирах.)
Для меня лично это уже достаточно контринтуитивно. Как я уже сказал, это позволяет нам получить хоть какое-то — очень слабое — представление о методиках, которые нам необходимо было бы использовать для доказательства нерелятивизирующих результатов, таких как P ≠ NP. Многие, кажется, думают, что ключевой момент здесь — каким-то образом преобразовать эти задачи из булевых в алгебраические. Вопрос в том, как это сделать. Но я могу показать вам, как эти методики уже позволяют нам получать кое-какие новые нижние оценки. Шутка сказать, даже нижние оценки для некоторых квантовых схем.
Первое утверждение: если мы вообразим, что существуют полиномиального размера схемы подсчета числа удовлетворяющих реализаций булевой формулы и что существует также способ доказать кому-то, чему равно число решений. Понимаете, почему это должно следовать из результата интерактивного доказательства? Ну, обратите внимание: чтобы убедить проверяющего относительно числа подходящих реализаций булевой формулы, доказатель сам по себе не должен иметь большую вычислительную мощность, чем требуется для подсчета числа реализаций. В конце концов, самому доказателю просто приходится все время вычислять эти экспоненциально большие суммы! Иными словами, доказатель для #P может быть реализован в #P. Если бы у вас был #P-оракул, то вы тоже могли бы сыграть роль доказателя. Исходя из этого факта, Лунд с соавторами указали, что если #P ⊂ P/poly, то есть если существует некоторая схема полиномиального по n размера для подсчета числа решений формулы размера n, то P#P = MA. Потому что в MA Мерлин может дать Артуру полиномиальную по размеру схему для решения #P-задач, а затем Артуру достаточно будет просто проверить, что эта схема работает. Для этого Артур просто прогоняет описанный выше интерактивный протокол, в котором играет роли одновременно доказателя и проверяющего, и использует саму схему для моделирования доказателя. Это пример так называемых самопроверяющихся программ. Вам не нужно доверять предполагаемой схеме в подсчете числа решений формулы, поскольку вы можете поставить ее на место доказателя в интерактивном протоколе.
Теперь мы можем доказать, что класс PP, который состоит из задач, решаемых вероятностно за полиномиальное время с неограниченной ошибкой, не имеет схем линейного размера. Этим результатом мы первоначально обязаны Винодчандрану[137]. Почему так? Ну, здесь возможны два случая. Если PP не имеет схем даже полиномиального размера, то все понятно. С другой стороны, если PP все же имеет схемы полиномиального размера, то такие же схемы имеет и P#P, по той простой причине (которую вам, возможно, доставит удовольствие доказать), что P#P = PPP. Далее, P#P = MA по теореме LFKN, так что P#P = MA = PP, поскольку PP зажат между MA и P#P. Но можно доказать (и мы вскоре это сделаем), что P#P не имеет схем линейного размера, при помощи прямой диагонализации. Таким образом, PP тоже не имеет схем линейного размера.
На самом деле вывод даже сильнее: для любого фиксированного k можно найти язык L класса P#P или даже PP, такой, что L невозможно решить схемой размера O (nk). Это совсем не то же самое, что сказать, что в PP имеется единственный язык, не имеющий схем полиномиального размера. Истинность второго утверждения показать невообразимо труднее! Если вы дадите мне свою (полиномиальную) оценку, то я найду PP-задачу, которая окажется не под силу схемам, ограниченным вашей оценкой, но эта задача тем не менее может оказаться решаемой схемами с другой полиномиальной оценкой, побольше. Чтобы выйти за пределы этой новой полиномиальной оценки, мне придется построить новую задачу, и так далее до бесконечности.
А теперь вернемся назад и дополним недостающий шаг в наших рассуждениях. Мы хотим показать для некоторого фиксированного k, что P#P не решаем схемами размера nk. Сколько существует возможных схем размера nk? Где-то около
Но действительно ли это дает нам нижнюю оценку для нерелятивизирующей схемы? То есть существует ли оракул, относительно которого PP имеет схемы линейного размера? Много лет назад мне удалось построить такой оракул[138]. Это показывает, что результат Винодчандрана был нерелятивизирующим, — в самом деле, это один из немногих в теории сложности примеров неоспоримо нерелятивизирующего разделения. Иными словами, барьер релятивизации — один из главных препятствий в доказательстве P ≠ NP — может быть преодолен в некоторых очень ограниченных случаях.
Новые достижения
Во всяком случае, именно так обстояли дела, когда я в первый раз писал эту главу в 2006 г. С тех пор появились кое--какие очень интересные новости. Во-первых, в 2007 г. Рахул Сантханам[139] улучшил результат Винодчандрана и показал, что PromiseMA — класс всех задач с априорными ограничениями на входные данные с протоколами доказательства от Мерлина — Артура — не имеет схем размера nk для любого фиксированного k.
Вскоре после этого мы с Ави Вигдерсоном[140], вдохновленные результатом Сантханама, открыли новое препятствие к дальнейшему развитию теории сложности, которое мы назвали алгебраизацией. По существу, алгебраизация расширяет уже имевшийся барьер релятивизации по Бейкеру, Гиллу и Соловею в том, что когда мы изучаем вопрос о классах сложности относительно некоторого оракула A, мы теперь обеспечиваем одному из классов сложности доступ к «полиномиальному расширению невысокой степени» от A вместо самого A. Этот более мощный тип доступа к оракулу дает нам некоторый дополнительный рычаг воздействия; в частности, он позволяет нам сымитировать все стандартные нерелятивизирующие результаты, основанные на арифметизации. К примеру, хотя (как мы уже обсуждали) неверно, что IPA = PSPACEA для любого оракула A, тем не менее верно PSPACEA ⊆ IP~A, где ~A означает многочлен невысокой степени над большим конечным полем, который оказывается равным A, если получает на вход только булевы строки. Таким образом, мы говорим, что теорема IP = PSPACE «алгебраизирует», хотя и не релятивизирует. С другой стороны, мы с Ави показали также, что для большинства знаменитых открытых задач, включая не только «P или NP», но и «P или BPP», «NEXP или P/poly» и др., любое решение потребует «неалгебраизирующих методик», которые не проходят даже для этих новых алгебраических оракулов в том же смысле, в каком теорема IP = PSPACE не выполняется по отношению к обычным оракулам. Так что сухой остаток в том, что возможности методик, использованных для прорывных открытий с интерактивными доказательствами, тоже ограничены: конечно, они позволяют обойти барьер релятивизации, но лишь для того, чтобы воткнуться на полном ходу в барьер «обобщенной» релятивизации, ожидающий несколькими шагами дальше.
Существуют ли методики поиска нижней грани, позволяющие обойти как барьер релятивизации, так и барьер алгебраизации? Да; мало того, они известны уже не один десяток лет.
В начале 1980-х гг. Фурст, Сакс и Сипсер[141], а также (независимо) Айтаи[142] открыли революционную методику поиска нижних граней для размеров схем постоянной глубины(constant-depth circuits), к примеру схем AC0, состоящих из вентилей и, или и не, организованных в O (1) слои (где каждый вентиль и и или может иметь произвольное число входов). Фурст с соавторами и Айтаи показали, что для определенных функций, таких как четность n бит, любая схема AC0 должна иметь экспоненциальное число вентилей. Поскольку все участники активно использовали методы комбинаторики — в их основе лежало наблюдение за поведением реальных отдельных вентилей, — им удалось обойти барьер релятивизации. С тех пор аналогичными методами были доказаны и другие нижние оценки; особенно интересны работы Разборова[143] и Смоленского[144] для схем AC0, дополненных способностью к выполнению арифметических операций по модулю p (где p — некоторое фиксированное простое число).
К сожалению, в 1993 г. Разборов и Рудич указали[145], что почти все нижние оценки «комбинаторного типа» натыкаются на барьер, который они назвали «естественными доказательствами», — в некоторых отношениях он является дополнительным к барьеру релятивизации. Суть дела в двух словах: при применении комбинаторных методов поиска нижних оценок показывается, что определенные функции (к примеру, PARITY) являются трудными для небольших схем, потому что эти функции «похожи на случайные функции» в некотором эффективно вычислимом отношении, тогда как всякая функция, вычисляемая небольшой схемой должна выглядеть неслучайной в этом отношении. Однако любой аргумент такого сорта можно перевернуть с ног на голову и использовать для отличения «по-настоящему» случайных функций от псевдослучайных, решая таким образом, по иронии судьбы, некоторые из тех самых задач, трудность которых мы хотели доказать! Рассуждения Фурста и Ажтаи сработали именно потому, что схемы AC0 слишком слабы для вычисления псевдослучайных функций, мало того, невозможность псевдослучайности в AC0 может быть выведена как следствие доказательств нижней оценки. Но мы не можем ожидать, что какие-то аналогичные рассуждения сработают при доказательстве нижних оценок против более мощных классов схем, таких как P/poly, считая, как считает огромное большинство из нас, что эти классы и правда имеют псевдослучайные функции. (Говоря языком плаката, именно факт вычислительной трудности делает доказательствовычислительной трудности таким трудным!) Более того, Наор и Рейнгольд показали[146], что при правдоподобных криптографических допущениях даже класс TC0, состоящий из схем постоянной глубины с мажоритарными вентилями, способен вычислять псевдослучайные функции. Так что барьер естественных доказательств по Разборову — Рудичу, похоже, действительно выходит на сцену всего лишь «чуть» выше AC0.
Если вы хотите избежать барьера естественных доказательств, вам, судя по всему, потребуются методики, «пристрелянные» к некоторому особому свойству функции f, трудность которой вы пытаетесь доказать, — к свойству, которое не является общим для f и некоторой случайной функции. Очевидный пример методики, и правда сосредоточенной на таком особом свойстве, — «диагонализация», методика, какой мы пользовались ранее для доказательства того, что P#P не имеет схем линейного размера. (Вспомните, что наше доказательство пользовалось способностью #P-машины моделировать всевозможные схемы линейного размера и избегать моделирования со стороны любой из них.) Увы, но хотя такого рода методики позволяют обойти барьер естественного доказательства, именно они как раз и не позволяют обойти барьер релятивизации! Я имею в виду: да, они позволяют избежать релятивизации, если сдобрить их методиками интерактивных доказательств, но даже в этом случае они по-прежнему подпадают под барьер алгебраизации.
Итак, зададим очевидный следующий вопрос: существует ли нижняя оценка сложности схемы, позволяющая обойти все три барьера одновременно — и релятивизацию, и алгебраизацию, и естественные доказательства? По-моему, первый убедительный пример такой нижней оценки появился совсем недавно, в 2010 г., вместе с прорывным результатом Райана Уильямса[147], который гласит, что NEXP ⊄ ACC0. Здесь NEXP — недетерминистическое экспоненциальное время, тогда как ACC0 — легкое расширение AC0 с целью разрешить модулярную арифметику по любой базе (не забывайте, что мы уже знали бы нижнюю оценку, если бы AC0 был расширен до арифметики по модулю какого-то конкретного простого числа). Вы могли бы заметить, что этот результат кажется довольно жалким в сравнении с теми утверждениями, которые мы считаем истинными! Тем не менее это настоящая веха на нашем пути, потому что здесь удалось обойти все три известных барьера (строго говоря, мы не знаем, применим ли барьер естественного доказательства к ACC0, но если применим, то доказательство Уильямса его обходит!). Чтобы этого добиться, Уильямсу пришлось использовать «кухонную раковину» — диагонализацию, информацию от интерактивных доказательств и различные новые и старые результаты, посвященные нетривиальным структурам в функциях ACC0.
Существует ли четвертый барьер, который не в состоянии обойти даже новые результаты Уильямса? Я не знаю, спросите чего попроще! Общее правило гласит, что прежде чем думать о барьерах, стоящих перед какой-то заданной методикой, я бы сказал, что нам нужно по крайней мере два успешных примера приложения этой методики, примерно по той же причине, по какой нам нужно по крайней мере две точки, чтобы провести прямую.
Во всяком случае, одну вещь существующие нижние оценки сделали очевидной: а именно глубину идей, необходимых для доказательства даже нелепо простых по сравнению с P ≠ NPфактов. Именно поэтому у меня не вздрагивает сердце всякий раз, когда в моей почте появляется очередное заявленное доказательство P ≠ NP фактов (а они действительно там появляются не реже раза в месяц)! Дело не только в том, что я уже видел множество неудачных попыток; дело в том, что я всякий раз спрашиваю себя, как это обобщает, или включает в себя, или расширяет те нетривиальные решения крохотных подзадач глобальной проблемы «P или NP», которые нам уже известны.
Многие из нас (втайне?) боятся, что для дальнейшего прогресса в вопросе о нижних оценках сложности схем будет необходимо на порядки повысить математическую сложность в этой области информатики. Во всяком случае, это главное утверждение программы Кетана Мулмулея «Геометрическая теория сложности»[148], в которой с нижними оценками схем пытаются разобраться при помощи алгебраической геометрии, теории представлений и, кажется, всех иных средств, о которых только написаны учебники. Геометрическая теория сложности — сама по себе отдельная большая тема, и даже попытка объяснить ее увела бы меня слишком далеко в сторону. Просто скажу, что мне лично нравится называть геометрическую теорию сложности «теорией струн теоретической информатики»: с одной стороны, она сумела установить такие поразительные математические связи, что достаточно только взглянуть на них — и чувствуешь, что эта программа просто обязана быть на верном пути. С другой стороны, если судить об этой программе по тому, сколько ответов она сумела дать на вопросы, которыми изначально планировала заниматься, — вопросы, внешние по отношению к самой программе, — то пока первоначальные надежды не оправдываются.
Квантовые интерактивные доказательства
Пока нам приходится ждать продвижения в вопросе нижних оценок классических схем, позвольте мне вернуться назад и рассказать вам кое-что о квантовых сис-темах интерактивных доказательств. Первое, мне кажется, что нужно сказать по этому поводу, — что даже результаты по нижним оценкам классических сис-тем интерактивных доказательств — те, что мы уже видели, — можно использовать для получения нижних оценок квантовой схемы. Так, к примеру, слегка изменив наше доказательство того факта, что PP не имеет схем размера nk, можно доказать, что PPне имеет даже квантовых схем размера nk. Хорошо, но это еще цветочки. Давайте попытаемся добавить квантовый аспект к чему-то еще и получить иной ответ, нежели в классике.
Мы можем определить класс сложности QIP (Quantum Interactive Proofs). Это то же, что IP, но здесь вы — квантовый полиномиальный по времени проверятель, и вместо того чтобы обмениваться с доказателем классическими сообщениями, вы можете обмениваться сообщениями квантовыми. К примеру, вы могли бы послать доказателю половину ЭПР-пары, а вторую половину оставить себе — или поиграть с ним в какие-то другие подобные игры.
Конечно, этот класс по крайней мере столь же мощен, как IP, потому что при желании вы могли бы просто ограничиться классическими сообщениями. Поскольку IP = PSPACE, мы знаем также, что QIP должен быть по крайней мере столь же велик, как PSPACE. Воспользовавшись доводами полуопределенного программирования, Китаев и Ватрус[149] также доказали достаточно рано, что QIP ⊆ EXP. В 2006 г., когда я впервые писал эту главу, мы больше ничего, по существу, о классе QIP не знали. Но в 2009 г. Джейн, Цзи, Упадхиай и Ватрус совершили прорыв: они показали[150], что QIP можно смоделировать даже в PSPACE, и этому QIP = IP = PSPACE. Так что в конечном итоге оказалось, что квантовые интерактивные сис-темы доказательства обладают ровно такой же мощностью, как и классические. Забавно, но в классическом случае самым удивительным было то, что эти сис-темы могут имитировать PSPACE, тогда как в квантовом случае больше всего удивляло, что PSPACE может имитировать их!
Итак, существует ли какой-нибудь аспект, в котором квантовые интерактивные сис-темы доказательства интересно отличаются от классических? Да, есть поразительный факт, который был доказан Китаевым и Ватрусом[151] и сыграл важнейшую роль в доказательстве теоремы QIP= PSPACE. Любой квантовый интерактивный протокол может быть сымитирован протоколом, реализуемым в три круга. В классическом случае нам пришлось отыгрывать ситуацию с Румпельштильцхеном: мы задавали доказателю один вопрос за другим, пока наконец не поймали его на лжи. Нам пришлось задать доказателю полиномиальное количество вопросов. Но в квантовом случае в этом больше нет необходимости. Доказатель посылает вам сообщение, вы посылаете ему ответ, затем доказатель посылает вам еще одно сообщении — и все. Это все, что вам может понадобиться.
Мы не будем здесь доказывать, почему это так, но я могу слегка намекнуть. По существу, доказатель подготавливает состояние, которое выглядит как
Суперпозиция может браться по подмножеству возможных случайных битов! Откуда нам знать, что доказатель попросту не подобрал значение r, взяв его из тех, о которых он может успешно соврать? Выбирать задачи должен проверяющий. Нельзя допускать, чтобы за вас это делал доказатель. Но сейчас мы в квантовом мире, так что дела, возможно, обстоят лучше. Если представить себе, что в классическом мире существует способ убедиться в том, что тот или иной бит случаен, это, может быть, сработало бы. В квантовом мире такой способ действительно существует. К примеру, если дано состояние вроде
вы можете просто повернуть его и убедиться в том, что при измерении в стандартном базисе получите 0 и 1 с примерно равной вероятностью. Точнее, если результат измерения в стандартном базисе окажется случайным, то вы примете с вероятностью единица; если результат окажется далек от случайного, то вы отвергнете с заметной вероятностью.
И все же проб-лема в том, что наше |r〉 апутано с кубитами |q(r) 〉 Поэтому мы не можем просто применить операции Адамара к |r〉 если бы мы это сделали, мы бы получили в ответ просто мусор. Оказывается, однако, что проверяющий может выбрать случайный проход iмоделируемого протокола — пусть всего имеется n таких проходов — и затем попросить доказателя развычислить все, что следует за проходом i. Как только доказатель это сделает, он тем самым ликвидирует запутанность, и тогда проверяющий сможет убедиться, проведя измерение в базисе Адамара, что биты прохода i действительно случайны. Если же доказатель смошенничал на каком-то проходе и выслал неслучайные биты, это позволит проверяющему обнаружить это с вероятностью, обратно пропорцио-нальной числу проходов. Наконец, вы можете повторить весь протокол параллельно полиномиальное число раз, чтобы повысить уверенность в результате. (Я пропускаю многие подробности — моя цель в данном случае лишь намекнуть, натолкнуть на мысль.)
Сравним квантовую ситуацию с положением в классическом мире. Там у вас есть только MA и AM: любой доказательный протокол общения между Артуром и Мерлином с большим постоянным числом проходов схлопывается до AM. Разрешив полиномиальное число проходов, мы поднимаемся до класса IP (равному PSPACE). В квантовом мире у вас есть QMA, QAM, а еще QMAM, который есть то же самое, что QIP = PSPACE. Есть и еще один класс, QIP [2], который отличается от QAM тем, что Артур может переслать Мерлину любую произвольную строку (или даже квантовое состояние) вместо случайной строки. В классическом случае AM и IP [2] — это одно и то же, но в квантовом случае мы этого не знаем.
На этом наш обзор интерактивных доказательств завершается, и я закончу загадкой для следующей главы. Бог бросает честную монетку. Если монетка падает решкой, он создает комнату с рыжим человеком. Если орлом — то две комнаты, одну с рыжим, другую с зеленоволосым. Предположим, вы знаете, что кроме этого на свете ничего нет. Вы просыпаетесь и видите в комнате зеркало. Ваша цель — определить, какой стороной упала монетка. Если вы видите на себе зеленые волосы, все понятно. Но вот вопрос: если вы видите себя рыжим, какова вероятность того, что монетка упала орлом?
Поиграем с антропным принципом[152]
Это глава об антропном принципе и о том, как можно применить байесовские рассуждения там, где приходится рассуждать о вероятности собственного существования, что кажется весьма странным вопросом. Однако это забавный вопрос — можно сказать, что это вопрос, для которого намного проще сформировать мнение, чем получить результат. Но мы можем попытаться по крайней мере прояснить некоторые темы; кроме того, есть все же кое-какие интересные результаты, которые мы можем получить.
Существует центральное положение, вокруг которого многие из тех, кто склонен к рацио-нальности, по идее, должны строить свою жизнь, хотя, как правило, и не делают этого на практике. Это теорема Байеса.
Если вы говорите с философом, то это зачастую единственный математический факт, который ему известен. (Шутка!) Теорема Байеса как таковая не вызывает совершенно никаких возражений. Она говорит о том, как можно уточнить вероятность того, что гипотеза H истинна, при наличии данных о событии E.
Множитель P [E|H] описывает ваши шансы увидеть событие E в случае, если гипотеза H верна. Остальные множители справа, P [H] и P [E], похитрее. Первый из них описывает вероятность того, что гипотеза верна, вне зависимости от каких бы то ни было других событий, а второе описывает вероятность события E, усредненное по всем возможным гипотезам (и взвешенное в соответствии с вероятностями гипотез). Здесь вы заранее предполагаете, что такие вероятности существуют, иными словами, что имеет смысл говорить о том, что байесисты называют априорной информацией. Если вы только что народившийся на свет младенец, вы можете прикинуть, что существует какая-то вероятность того, что вы живете на третьей планете местной звезды, другая вероятность — что вы живете на четвертой планете и т.п. Это и называется априорной информацией: ваши представления о чем-то до того, как вы познакомитесь хоть с какими-то данными об этом. Вы уже поняли, что это понятие, возможно, немножко выдуманное, но если считать, что такое априорное мнение у вас имеется, то теорема Байеса скажет вам о том, как уточнить это мнение при появлении новых данных.
Доказательство этой теоремы тривиально. Умно-жаем обе стороны уравнения на P[E] и получаем P[H|E]P[E] = P[E|H]P[H]. Это очевидно верно, поскольку обе стороны равны вероятности события и гипотезы вместе.
Таким образом, если вы не видите никакой возможности оспорить теорему Байеса, то я хочу заставить вас усомниться в ней. Это моя цель. Чтобы этого добиться, попробуем отнестись к этой теореме очень-очень серьезно — именно как к инструкции, согласно которой мы должны рассуждать о состоянии окружающего мира.
Я начну с чудесного мысленного эксперимента, которым мы обязаны философу Нику Бострому[153]. Называется он «Бог бросает монетку». В предыдущей главе я описал этот мысленный эксперимент как загадку.
Представьте, что в начале времен Бог бросает честную монетку (такую, что падает орлом или решкой с равной вероятностью). Если выпадает орел, Бог создает две комнаты: в одной находится рыжеволосый человек, в другой — человек с зелеными волосами. Если выпадает решка, то Бог создает одну комнату с рыжеволосым человеком в ней. Кроме этих комнат, во вселенной ничего нет, и людей за их пределами тоже нет.
Представим также, что положение дел всем известно от начала и до конца и что в комнатах имеются зеркала. А теперь предположим, что вы просыпаетесь, смотрите в зеркало и видите в нем цвет своих волос. На самом деле вы очень хотите узнать, какой стороной упала монетка. Так вот, в одном случае все просто. Если у вас зеленые волосы, то монетка точно легла орлом. Но предположим, вы видите себя в зеркале рыжеволосым. В этом случае как вы оцените вероятность того, что монетка легла орлом?
Одна вторая — первый ответ, который обычно предлагают. Вы можете просто сказать: «Смотрите, мы знаем, что мо-нетка могла с равной вероятностью упасть и орлом, и решкой, и знаем также, что в том и другом случае должен быть создан рыжеволосый человек, так что рыжие волосы на самом деле ничего не говорят вам о том, какой стороной упала монетка; следовательно, вероятность — одна вторая». Может ли кто-нибудь обосновать другой ответ?
Студент: Представляется, что вероятность выпадения решки выше, потому что в случае выпадения орла одно событие — вы проснулись с рыжими волосами — разбавлено другим возможным событием — вы могли проснуться и с зелеными волосами. Эффект был бы более драматичным, если бы комнат с зеленоволосыми людьми было, скажем, сто.
Скотт: Вот именно.
Студент: Совершенно неясно, является ли выбор рыжих или зеленых волос в случае выпадения орла вероятностным. Нам этого никто не гарантировал.
Скотт: Верно. Это вопрос.
Студент: Вполне возможно, что Бог, прежде чем кинуть монетку, написал для себя правило, по которому в случае выпадения орла он должен сделать вас рыжим.
Скотт: Ну, тогда мы должны спросить, что мы подразумеваем, говоря «вас»? Прежде чем посмотреть в зеркало, вы понятия не имеете, какого цвета у вас волосы. Цвет волос может быть любым, разве что вы уверены, что рыжие волосы — это составная часть вашей «сути». То есть если вы уверены, что невозможно такое состояние вселенной, при котором у вас были бы зеленые волосы, но это по-прежнему во всем остальном были бы «вы».
Студент: Значит, вопрос задают обоим?
Скотт: Ну, зеленоволосый человек точно знает ответ, но вы можете вообразить, что рыжеволосому человеку задают вопрос в обоих случаях — и при выпадении орла, и при выпадении решки.
Чтобы сделать эту дискуссию чуть более формальной, можно просто вставить все это в теорему Байеса. Мы хотим узнать вероятность P[H|R] того, что монетка упала орлом, при условии, что у вас рыжие волосы. Мы могли бы провести расчет, пользуясь тем, что вероятность того, что у нас будут рыжие волосы при выпадении орла, равна 1/2 при прочих равных условиях. Людей двое, и ваша рыжеволосость априори не более вероятна, чем зеленоволосость. Далее, вероятность выпадения орла также равна 1/2 — это не секрет. Какова в этом случае полная вероятность того, что ваши волосы рыжие? Она вычисляется по формуле P[R|H]P[H] + P[R|T]P[T], где индекс H озна-чает орла, а T — решку. Как мы уже говорили, если монетка упала решкой, то ваши волосы наверняка рыжие, так что P[R|T] = 1. Более того, мы уже допустили, что P[R|H] = 1/2. Таким образом, мы получаем, что
Видите ли вы какое-нибудь допущение, которое вернуло бы нашу вероятность к 1/2?
Студент: Вы могли бы допустить, что если вы существуете, то волосы у вас рыжие.
Скотт: Ну да, тоже способ, но есть ли способ добиться этого без априорных допущений о цвете волос?
Такой способ существует, но он может показаться немного странным. Один вариант — указать, что в мире орла, для начала, вдвое больше людей. Поэтому можно было бы сказать, что вероятность существовать в мире с удвоенным числом людей априори вдвое выше. Иными словами, можно было бы сказать, что ваше собственное существование — тоже событие, с которым следует считаться. Мне кажется, что если вы хотите подойти к этому чуть более конкретно, то метафизически ситуацию можно сопоставить с такой: существует склад, полный душ, и в зависимости от числа людей в мире соответствующее число душ выбирают с этого склада и помещают в тела. Можно сказать, что в мире, где людей больше, вероятность того, что вас выберут, будет выше.
При таком допущении можно пробежать все по тому же Байесовскому кругу. Выяснится, что это допущение в точности компенсирует эффект рассуждений о том, что если монетка упала орлом, то у вас могут оказаться зеленые волосы. Так что вероятность возвращается обратно к 1/2.
Таким образом, мы видим, что в зависимости от того, как вы хотите это делать, вы можете получить разные ответы — либо треть, либо половину. Возможно, существуют и другие ответы, которые можно обосновать, но эти два представляются наиболее правдоподобными.
Это был довольно понятный мысленный эксперимент. Можно ли сделать его более драматичным? Все это выглядит очень похоже на философию отчасти потому, что на кону ничего не стоит. Давайте рассмотрим поближе что-нибудь с серь-езными ставками.
Следующим мысленным экспериментом мы обязаны, мне кажется, философу Джону Лесли[154]. Назовем этот эксперимент «комнатой безумца». Представьте, что в мире живет множество людей и что среди них есть один безумец. Этот безумец делает следующее: он похищает десять человек и запирает их в комнате. Затем он кидает пару костей. Если выпадают две единицы, он просто убивает всех в комнате. Если выпадает что-то другое, то он всех отпускает, а затем похищает 100 чело-век. После этого он начинает все сначала: бросает две кости, если на них выпадает две единицы, убивает всех, если нет, выпускает — и похищает 1000 человек. Все идет по кругу до тех пор, пока на костях не выпадет две единицы, — и в этот момент все заканчивается. А теперь представьте, что вас похитили. Вы следили за новостями и знаете всю ситуацию. Можно считать, что вы знаете — или не знаете, — сколько еще людей находится вместес вами в комнате.
Итак, вы в комнате. С учетом этого факта, сильно ли вам надо тревожиться? Насколько вероятна ваша гибель?
Один возможный ответ состоит в том, что вероятность выпадения двух единиц составляет 1/36, так что беспокоиться следует лишь «слегка» (с учетом обстоятельств). Второе, на что можно посмотреть, это соотношение числа тех, кто вышел из комнаты, и тех, кого убил безумец. Пусть все закончилось на 1000. Тогда 110 человек благополучно вышли из комнаты, а 1000 человек умерли. Если все закончится на 10 000, то вышли 1110, а умерли 10 000. В том и другом случае примерно 8/9 всех тех, кто когда-либо попал в эту комнату, умрут.
Студент: Но к рассмотрению здесь привлекаются не все данные. Учитывается только то, что я в какой-то момент нахожусь в комнате.
Скотт: Но вы получаете по существу один и тот же ответ, в какой бы момент вы ни попали в эту комнату. Неважно, когда, по вашему мнению, процесс прервется, все равно примерно 8/9 всех тех, кто когда-либо входил в комнату, будут убиты. Для каждой точки остановки вы можете вообразить себя случайным человеком в череде комнат, ведущей к точке остановки. В этом случае вероятность вашей гибели сильно повышается.
Студент: Но разве вы не используете здесь в качестве условия будущие события?
Скотт: Да, но суть в том, что мы можем устранить эту обусловленность. Мы можем сказать, что мы обуславливаем конкретный пункт остановки, но, каким бы ни был этот пункт, результат получается один и тот же. Шагов может быть 10 или 50, но какой бы ни была точка остановки, почти все люди, когда-либо попавшие в комнату, погибнут, потому что число людей увеличивается экспоненциально.
Если вы байесист, то это представляется своего рода проблемой. Вы можете рассматривать все это как дикий мысленный эксперимент с безумцем или, если захотите, можете отстаивать точку зрения, что это реальная ситуация, в которой находится род человеческий. Мы бы хотели знать, какова вероятность того, что на нас обрушится некий катаклизм или мы вымрем по какой-то причине. Может быть, это будет астероид, обрушившийся на Землю, или ядерная война, глобальное потепление или что угодно еще. Так что существует, пожалуй, две точки зрения на это. Первая: сказать, что все эти риски представляются достаточно малыми — пока что они нас не уничтожили! Прошло множество поколений, и в каждом поколении были люди, предсказывавшие неминуемую гибель, — но она так и не материализовалась. Так что нам следует отталкиваться от этого и назначать относительно небольшую вероятность тому, что именно на наше поколение придется всеобщая гибель. Этот аргумент очень любят приводить консерваторы; я буду называть его «аргументом цыпленка».
В противовес этому существует аргумент, что население Земли растет экспоненциально и что если представить, что оно так и будет расти экспоненциально, пока не истощит ресурсы планеты и не дождется коллапса, то окажется, что громадное большинство когда-либо живших людей жили ближе к концу, примерно как в комнате безумца. Даже считая, что в каждом поколении вероятность всеобщей гибели невелика, громадное большинство когда-либо рожденных людей окажется где-то рядом, когда этот шанс наконец материализуется.
Студент: Но мне по-прежнему кажется, что мы пытаемся что-то обусловливать будущими событиями. Даже если ответ один, какое бы будущее событие вы ни выбрали, вы все равно берете одно из них в качестве условия.
Скотт: Ну, если вы верите в аксиомы теории вероятностей, то если p = P[A|B] = P[A|¬B], то P[A] = p.
Студент: Да, но мы говорим не о B и ¬B, мы говорим о бесконечном перечне вариантов.
Скотт: Так вы считаете, что бесконечность здесь имеет значение?
Студент: Ну, да. Мне не очевидно, что вы можете просто взять этот предел и не беспокоиться об этом. Если население у вас бесконечно, то, может, вашему безумцу будет все время не везти, и он никогда, за целую вечность, не выбросит две единицы.
Скотт: Ну хорошо, мы можем признать, что отсутствие верхней оценки для числа бросков могло бы усложнить ситуацию. Однако наверняка можно привести такие варианты этого мысленного эксперимента, в которых не фигурирует бесконечность.
Аргумент, о котором я говорю, известен как «аргумент Судного дня»[155]. Если коротко, он гласит, что вам следует присвоить событию глобального катаклизма в ближайшем будущем гораздо более высокую вероятность, чем вы могли наивно предполагать, по логике именно такого сорта. Можно привести абсолютно финитный вариант аргумента судного дня. Просто представьте для простоты, что существует всего два варианта развития событий: катастрофа скоро и катастрофа не скоро. В одном варианте род человеческий вымирает очень скоро, тогда как в другом он колонизирует Галактику. В том и другом случае мы можем записать число людей, когда-либо существовавших. Для примера скажем, что в случае скорой катастрофы на Земле успело пожить 80 миллиардов человек, а в случае катастрофы отдаленной — 80 квадриллионов. А теперь предположим, что мы находимся в той точке истории, когда число когда-либо живших людей вплотную приблизилось к 80 млрд. Далее приводим, по существу, те же рассуждения, что в варианте с бросанием монетки. Можно сделать рассуждения яркими и интуитивно понятными. Если мы находимся в ситуации «катастрофа не скоро», то громадное большинство всех тех, кто когда-либо жил, родится после нас. Мы находимся в особом положении людей, попавших в первые 80 млрд, — нас можно считать почти что Адамом и Евой! Если оттолкнуться от этого, мы получим гораздо более низкую вероятность варианта «катастрофа не скоро», чем варианта «катастрофа скоро». Если провести байесовский расчет, то выяснится, что если вы наивно считаете оба варианта равновероятными, то чуть позже, применив аргумент Судного дня, вы поймете, что почти наверняка находитесь в ситуации «катастрофа скоро». Ведь если оттолкнуться от ситуации «катастрофа не скоро», то логика подскажет, что мы почти наверняка не оказались бы в особом положении и не попали бы в первые 80 млрд человек.
Возможно, мне стоит немного рассказать об истории вопроса. Аргумент Судного дня был представлен астрофизиком по имени Брэндон Картер в 1974 г. и периодически обсуждался все восьмидесятые годы. Ричард Готт[156], который тоже был астрофизиком, предложил «принцип заурядности»: если рассматривать всю историю рода человеческого с незапамятных времен, то при прочих равных условиях мы должны находиться где-то в середине этой истории. То есть число людей, живших до нас, не должно слишком сильно отличаться от числа людей, которые будут жить после. Если население Земли увеличивается экспоненциально, то это очень плохая новость, потому что тогда людям на свете осталось совсем немного времени. Этот аргумент кажется интуитивно привлекательным, но большинством он был отвергнут, потому что на самом деле он не укладывается в формальные байесовские рамки. Мало того, что неясно, каково априорное распределение, вполне возможно, у вас есть особая информация, указывающая на то, что вы вряд ли окажетесь в серединке.
Так что современный вид аргумента Судного дня, формализованного Бостромом, — это байесовская форма, в которой вы просто считаете, что имеете какую-то априорную информацию о возможных вариантах. Далее аргумент утверждает лишь, что вы должны учитывать собственное существование и корректировать с его учетом априорное распределение. В книге, посвященной этому, Бостром заключает, что вывод из аргумента Судного дня на самом деле зависит от того, как вы разрешите загадку Бога, бросающего монетку. Если вы даете 1/3 в качестве ответа, это соответствует Допущению о самовыборке (Self-Sampling Assumption, SSA), то есть предположению о том, что можно выбрать некий мир согласно априорному распределению, а затем выбрать произвольного человека в этом мире случайным образом. Если избрать этот подход к применению теоремы Байеса, то избежать вывода о конце света в ближайшее время, похоже, будет очень трудно.
Если же вы хотите уйти от такого вывода, то вам потребуется допущение, которое Бостром называет допущением о самоиндикации (Self-Indication Assumption, SIA). Это допущение гласит, что вероятность вашего существования в мире с большим числом обитателей выше, чем с малым. Тогда аргумент Судного дня будет звучать так: если «на самом деле» катастрофа не скоро, то, хотя для вас действительно не слишком велика вероятность попасть в первые 80 млрд, правда также то, что чем больше людей, тем выше вероятность вашего существования. Оба эти допущения компенсируют друг друга и возвращают вас к первоначальному априорному распределению вероятностей между вариантами «катастрофа скоро» и «катастрофа не скоро» — точно так же, как допущение о самоиндикации возвращает нас обратно к вероятности 1/2 в загадке про Бога и монетку.
В этой точке зрения все сводится к тому, какое допущение — SSA или SIA — вы предпочитаете. Существуют возражения против сценария конца света, не признающие ни одного из этих допущений, но и сами эти возражения открыты для различных контраргументов. Одно из самых распространенных возражений против Судного дня состоит в том, что пещерный человек в свое время мог рассуждать точно так же — и был бы совершенно неправ. Проблема с этим возражением в том, что на самом деле аргумент Судного дня учитывает этот эффект. Конечно, некоторые из тех, кто выдвигает этот аргумент, ошибутся, но главное в том, что громадное большинство окажется право.
Студент: Мне кажется, существует противоречие между желанием оказаться правым самому и желанием построить такую политику, которая максимизировала бы число тех, кто оказался прав.
Скотт: Это интересно.
Студент: Я хочу предложить вариант задачи с рыжеволосым человеком в комнате. Предположим, что монетка у Бога не совсем честная, и с вероятностью 0,9 получается один рыжий и много-много зеленоволосых. С вероятностью 0,1 получается один-единственный рыжий. В том и другом случае в комнате у рыжего имеется кнопка. Вы можете нажать на нее, а можете не нажимать. Если зеленоволосых в мире нет, то на нажатие кнопки вы получаете печеньку, а если зеленоволосых много — то удар в лицо. Вы должны решить, стоит ли нажимать кнопку. Если я приму допущение SSA и проснусь рыжим, то мне нужно будет сделать вывод о том, что зеленоволосых не существует и нужно нажать кнопку.
Скотт: Точно. Ясно, что от того, какие вероятности вы присвоите разным состояниям окружающего мира, может зависеть то, какие решения покажутся вам рацио-нальными. В каком-то смысле именно поэтому нас так интересуют эти вопросы.
Существует и другое возражение против аргумента Судного дня; в нем вообще отрицается, что можно говорить о том, что вас случайно выбирают из некоторого класса наблюдателей. «Я не случайный человек, я — это я». В ответ можно сказать, что существуют, безусловно, ситуации, в которых вы воспринимаете себя как случайного наблюдателя. Предположим, к примеру, что существует наркотик, который убивает 99% тех, кто его принимает, но зато 1% чувствует себя прекрасно. Готовы ли вы сказать, что, поскольку вы не случайный человек, для вас не имеет значения тот факт, что 99% людей, попробовав его, погибает? Готовы ли вы его попробовать? Так что во многих случаях вы вполне реально рассматриваете себя как случайную выборку из какого-то распределения людей. Вопрос в том, когда такое допущение работает, а когда нет?
Студент: Мне кажется, существует разница между выборкой из равномерного распределения людей и равномерного распределения по времени. Вы ведь взвешиваете вероятность жить в определенное время в соответствии с численностью населения в это время?
Скотт: Согласен. Временной аспект действительно осложняет ситуацию. Позже мы перейдем к загадкам, в которых нет временного аспекта. Посмотрим, что вы о них скажете.
Студент: А вот еще иногда у меня возникает вопрос: «Почему я человек?» Может быть, я не случайный человек, а случайный фрагмент сознания. В этом случае, поскольку у людей больше мозгового вещества, чем у других животных, то и вероятность быть именно человеком для меня больше.
Скотт: Еще вопрос — выше ли для вас вероятность прожить долго. Продолжать можно до бесконечности. Предположите, что существует множество разных инопланетных существ. Изменит ли это как-то рассуждения по поводу Судного дня? Ведь в этом случае вы почти наверняка вообще не были бы человеком.
Студент: Может быть, вы ведете именно к этому, но мне кажется, что многое здесь сводится к тому, что вы вообще подразумеваете под вероятностью. То ли вы считаете, что кодируете таким образом недостаток информации, то ли события на самом деле могут быть случайными? Что касается аргумента Судного дня, то не сделан ли уже выбор между вариантами «катастрофа скоро» и «катастрофа не скоро»? В ситуации с наркотиком вы могли бы сказать: «Нет, я не случайно выбран, я — это я, но этот конкретный факт обо мне мне неизвестен».
Скотт: Это тоже один из вопросов. Я считаю, что если вы начинаете с теоремы Байеса, то вы, возможно, уже что-то решили про себя. Вы, безусловно, решили, что в принципе имеет смысл присваивать вероятности событиям, о которых идет речь. Даже если мы представим мир как полностью детерминистский и скажем, что все разговоры о вероятностях нужны для кодирования нашей неуверенности, то сторонник байесовского подхода скажет, что именно это вы и должны делать при неуверенности в чем угодно, не важно, по какой причине. У вас должна быть какая-то априорная позиция по возможным ответам, и вы просто присваиваете им вероятности и начинаете их корректировать. Конечно, если вы примете этот взгляд и попытаетесь быть последовательным, то будете попадать в странные ситуации, к примеру, такие.
Как указал физик Джон Баэс, антропные рассуждения чем-то похожи на науку для бедных[157]. Проводя больше экспериментов, можно получить больше информации, верно? Проверка факта собственного существования — эксперимент. который можно проделать без всякого труда. Вопрос в том, что вы можете узнать из результатов этого эксперимента. Судя по всему, существуют ситуации, в которых антропные рассуждения не вызывают возражений и ничему не противоречат. Пример такой ситуации — вопрос о том, почему Земля находится на расстоянии 150 млн км от Солнца, а не на каком-то ином расстоянии. Можно ли вывести 150 млн км как какую-то физическую константу или получить это число из фундаментальных принципов? Кажется очевидным, что нельзя, но кажется очевидным также, что в той мере, в какой для этого вообще может быть объяснение, оно должно звучать так: если бы Земля располагалась намного ближе к Солнцу, на ней было бы слишком жарко, и жизнь не развилась бы, а если бы она располагалась намного дальше, на ней было бы слишком холодно. Это рассуждение называется «принципом Златовласки»: разумеется, жизнь возникнет только на тех планетах, температура на которых годится для жизни. Представляется, что даже если существует крохотный шанс на возникновение жизни на какой-нибудь Венере или на Марсе, вероятность того, что она зародилась бы на планете, расположенной примерно на нашем расстоянии от Солнца, намного-намного выше. Здесь антропный принцип работает.
Но существуют и куда более двусмысленные ситуации. К примеру, физики давно спорят о том, почему постоянная тонкой структуры примерно равна 1/137, а не чему-то еще. На это вполне можно сказать, что если бы она была другой, нас бы здесь не было.
Студент: Здесь что, примерно так же, как в случае с обратно-квадратичной зависимостью в законе всемирного тяготения? Ведь если бы зависимость была хоть немного другой, наша Вселенная выглядела бы совсем иначе, да?
Скотт: Да. Абсолютно верно. Однако в случае гравитации мы можем сказать, что общая теория относительности объясняет обратно-квадратичную зависимость в этом законе как прямое следствие трехмерности нашего пространства.
Студент: Но ведь нам бы не потребовались подобные сложные объяснения, если бы мы ограничились наукой для бедных и сказали бы просто: «Все это объясняется антропным принципом».
Скотт: Именно это тревожит тех, кто выступает против антропного принципа: что люди просто обленятся и решат, что нет нужды экспериментировать, потому что мир таков, каков он есть. Если бы он был иным, мы тоже не были бы собой; мы были бы наблюдателями в каком-то другом мире.
Студент: Но ведь антропный принцип ничего не предсказывает, правда?
Скотт: Верно, во многих случаях как раз это и является проблемой. Этот принцип, судя по всему, не накладывает ограничений на вещи, которых мы еще не видели. Я люблю всякие идеи доводить до абсурда. Представьте, что ребенок спрашивает родителей, почему луна круглая. «Ясно, что если бы луна была квадратная, то ты был бы не ты, а твой двойник в мире с квадратной луной. Принимая во внимание, что ты — это ты, луна, очевидно, должна быть круглой». Проблема в том, что если вы никогда не видели луны, вы не можете ничего предсказать на этот счет. С другой стороны, если бы вы заранее знали, что вероятность развития жизни максимальна для планет с расстоянием 150 млн км от светила, а не, скажем, 500 млн км, то еще до измерения вы могли бы сделать соответствующее предсказание. Кажется, что в некоторых случаях антропный принцип на самом деле позволяет что-то предсказать.
Студент: То есть применять этот принцип следует именно в тех случаях, когда он дает вам конкретные предсказания?
Скотт: Это возможная точка зрения, но что делать, если предсказание не сбывается?
Как уже упоминалось, все эти разговоры и правда кажутся «просто философией». Но можно устроить так, чтобы от подобных рассуждений зависели реальные решения. Может быть, вам приходилось слышать о верном способе выиграть в лотерею: купить лотерейный билет, а если он не выиграет, покончить с собой. Тогда задать вопрос о результате, то есть выяснить, живы вы или нет, вы сможете только при условии, что будете живы; следовательно, раз вы задаете себе этот вопрос, вы, должно быть, живы, и значит, должно быть, выиграли в лотерею. Что вы можете сказать об этом? Вы можете сказать, что в реальной жизни большинство из нас не принимает за аксиому допустимость таких условий, как собственная смерть (или наоборот). Иначе можно было бы прыгнуть с крыши и рассмотреть ситуацию при условии, что где-то по пути вам встретится батут или еще что-нибудь, что вас спасет. Вам приходится учитывать возможность того, что ваш выбор убьет вас. С другой стороны, как ни трагично, но некоторые и правда кончают с собой. Может быть, на самом деле они оказываются именно в такой ситуации? И уничтожают миры, в которых события разворачиваются не так, как им хотелось?
Конечно, в какой-то момент все наши рассуждения вновь возвращаются к теории вычислительной сложности. И в самом деле, некоторые варианты антропного принципа должны сказываться на вычислениях. Мы уже видели, как это может происходить, на примере ситуации с лотереей. Вместо выигрыша в лотерею вы хотите добиться кое-чего большего: решить NP-полную задачу. Для этого вы могли бы воспользоваться тем же подходом. Выбрать случайное решение, проверить, подходит ли оно вам, и если нет, покончить с собой. Кстати говоря, в этом алгоритме есть техническая загвоздка. Видите, какая?
Верно. Если решения нет вообще, то у вас, кажется, возникнут проблемы. С другой стороны, эту загвоздку очень легко устранить: достаточно просто добавить некоторую фиктивную строку вроде ∗n, которая будет работать как карта бесплатного решения всех ваших проблем.
Итак, мы говорим, что существует 2n возможных решений плюс это фиктивное решение, которое выбирается с какой-то крохотной вероятностью вроде 2–2n. Если выбирается это фиктивное решение, то делать ничего не надо. Если нет, то вы кончаете с собой в том и только том случае, если выбранное решение вас не удовлетворяет. При условии, что решения не существует, а вы живы, получается, что вы выбрали фиктивное решение. Иначе если решение существует, то вы почти наверняка выбрали удовлетворительное решение, опять же при условии, что вы живы.
Естественно, на основании этого принципа можно определить класс сложности BPPpath. Вспомните определение BPP: класс задач, решаемых при помощи вероятностного полиномиального по времени алгоритма с ограниченной ошибкой. То есть если ответ на задачу «да», по крайней мере 2/3 траекторий BPP-машины должны принимать, тогда как если ответ «нет», то принимать должны не более 1/3 траекторий. BPPpath — то же самое, за исключением того, что все вычислительные траектории могут иметь разную длину[158]. Все длины должны быть полиномиальными, но могут различаться между собой.
Вот в чем смысл: в классе BPPpath, если какой-то выбор ведет к большему числу различных траекторий, то он и просчитывается большее число раз. Скажем, к примеру, что в 2n – 1 ветвях мы просто принимаем или отвергаем, то есть машина просто останавливается, но в одной ветви мы будем бросать дополнительные монетки и делать что-то еще. В BPPpath мы можем сделать так, чтобы одна ветвь абсолютно доминировала над остальными. Такой пример показан на рисунке ниже: предположим, мы хотим, чтобы ветвь, окрашенная в серый цвет, доминировала над всеми остальными. Тогда мы можем подвесить целое дерево на эту траекторию, и она будет доминировать над траекториями, которые нам не нужны (окрашены в черный цвет).
Простое рассуждение показывает, что BPPpath эквивалентно классу, который я назову PostBPP(BPP с поствыбором). PostBPP — это опять же множество задач, решаемых полиномиальным по времени вероятностным алгоритмом, где условия приема у вас опять же определяются вероятностями 2/3 и 1/3, но здесь, если вам не нравится выборка случайных битов, вы можете просто покончить с собой. Можно в качестве условия взять такой выбор случайных битов, при котором вы останетесь живы. Физики называют это поствыбором. Вы можете поствыбрать получение случайных битов с каким-нибудь очень специфическим свойством. При условии наличия этого свойства, ответ «да» должен вызывать принятие у 2/3 траекторий, а ответ «нет» — не более чем у 1/3 траекторий.
Если вам нужно формальное определение, то PostBPP — это класс всех языков L, для которых существуют полиномиальные по времени машины Тьюринга A и B (из них A решает, принять или отвергнуть, а B делает постселекцию), такие, что
1. Для любого x ∈ L, Prr[A(x, r)B(x, r)] ≥ 2/3;
2. Для любого x ∉ L, Prr[A(x, r)B(x, r)] ≤ 1/3.
Здесь x — входная строка, а r — строка, которая устанавливает флаг постселекции. В качестве технического условия мы требуем также Pr[B(x, r)] > 0.
Видите, почему это эквивалентно BPPpath?
Во-первых, вот доказательство того, что PostBPP ⊆ BPPpath. Для заданного алгоритма с поствыбором вы делаете множество случайных выборов, и если они вам нравятся, вы делаете еще множество случайных выборов, и этих траекторий становится намного больше тех, в которых случайные биты вам не понравились.
А как насчет обратного утверждения? BPPpath ⊆ PostBPP?
Суть в том, что в BPPpath мы имеем то самое дерево траекторий разной длины. Мы можем дополнить его, чтобы получилось сбалансированное двоичное дерево. Затем мы могли бы воспользоваться поствыбором, чтобы придать всем этим призрачным траекториям устраивающие нас более низкие вероятности, чем имеют траектории истинные, и таким образом смоделировать BPPpath в PostBPP.
Теперь, когда мы знаем, что PostBPP = BPPpath, мы можем задать вопрос о том, насколько велик класс BPPpath. Согласно приведенным ранее рассуждениям, NP ⊆ BPPpath.
С другой стороны, верно ли NP = BPPpath? Конечно, даже если это так, показать это будет трудно. Одна из причин состоит в том, что BPPpath замкнут относительно дополнения. Еще одна причина в том, что он включает в себя BPP. Более того, можно показать, что BPPpath содержит также MA и P||NP (P с параллельными запросами некоторому NP-оракулу, то есть запросами, которые не могут зависеть от ответов на предыдущие запросы). Я оставлю это вам в качестве упражнения. В другом направлении, можно показать, что BPPpath содержится в BPP||NP и, соответственно, в полиномиальной иерархии. Таким образом, согласно гипотезе дерандомизации получаем, что антропный принцип дает нам ту же вычислительную мощность, что и P||NP.
А как насчет верхней оценки? Покажем, что BPPpath ⊆ PP. Принятие решения о том, что делать с входным сигналом — принять или отвергнуть, напоминает экспоненциальную задачу суммирования. Вы можете сказать, что каждая из траекторий, которая является фиктивной, вносит оба варианта — и принятие, и непринятие, тогда как каждая из принимающих траекторий вносит два принятия, а каждая из отвергающих траекторий — два непринятия. В таком случае достаточно просто спросить, чего получается больше — принятий или непринятий. Тем самым мы промоделировали его в PP.
Разумеется, ничто из сказанного не было бы полным, если бы мы не рассмотрели квантовыйпоствыбор. Именно этим я хотел завершить этот разговор. По прямой аналогии с PostBPP, мы можем определить PostBQP как класс задач принятия решений, решаемых за полиномиальное время квантовым компьютером с возможностью поствыбора. Я имею в виду, что это класс задач, в которых вы должны проводить полиномиальное по времени квантовое вычисление, а затем некоторое измерение. Если вам не нравится результат измерения, вы кончаете с собой и выставляете в качестве условия то, что вы должны остаться в живых.
В PostBQP нам придется определить кое-что немного иначе, потому что там нет аналога строки r. Вместо этого скажем, что следует выполнить некоторое полиномиальное по времени квантовое вычисление, провести измерение, принимающее с вероятностью большей нуля, а затем оговорить условие по результатам этого измерения. Наконец, следует провести следующее измерение редуцированного квантового состояния, которое скажет вам, принять или отвергнуть. Если ответ на задачу «да», то второе измерение должно принимать с вероятностью по крайней мере 2/3 при условии, что первое измерение принимает. Аналогично если ответ на задачу «нет», то второе измерение должно принимать с вероятностью не более 1/3 при условии, что первое измерение принимает.
Далее мы можем спросить, насколько мощным является класс PostBQP. Одна из первых вещей, о которой вы можете сказать, — это то, что, разумеется, PostBPP ⊆ PostBQP. То есть мы можем смоделировать классический компьютер с поствыбором. В другом направлении, мы имеем PostBQP ⊆ PP. Адлеман, Де Маррэ и Хуанг[159] доказали также, что BQP ⊆ PP. В этом доказательстве они, по существу, находят то, что физики называли бы фейнмановским интегралом по траектории, где вы суммируете по всем возможным вкладам в каждую из финальных амплитуд. Это просто большое PP-вычисление. На мой взгляд, Фейнман получил Нобелевскую премию по физике за то, что показал BQP ⊆ PP, хотя сам он это так не формулировал. Во всяком случае, это доказательство несложно обобщить на случай PostBQP ⊆ PP, поскольку для этого нужно просто ограничить суммирование теми траекториями, которые заканчиваются в одном из тех состояний, которые вы поствыбираете. Влияние всех остальных траекторий можно исключить, сделав так, чтобы они вносили равное число плюсов и минусов.
Можно ли смоделировать множественный поствыбор при помощи единственного поствыбора? Еще один серьезнейший вопрос. Ответ: да, можно. Мы приходим к этому при помощи так называемого принципа отложенного измерения, который гласит, что в любом квантовом вычислении мы можем считать без потери общности, что в конце есть лишь одно измерение. Можно смоделировать все остальные измерения при помощи вентилей управляемой инверсии, а затем просто не смотреть на кубиты, содержащие результаты измерения. То же можно сказать и о поствыборе. Все поствыборы можно придержать до конца.
Несколько лет назад я показал, что обратное утверждение тоже верно: PP ⊆ PostBQP[160]. В частности, это означает, что квантовый поствыбор — штука гораздо более мощная, чем классический поствыбор, что кажется удивительным. Классический поствыбор оставляет вас в полиномиальной иерархии, тогда как квантовый поствыбор выводит вас в классы вычислений, которые, как мы считаем, намного больше.
Пробежимся по доказательству. Итак, у нас есть некоторая булева функция f:{0, 1}n → {0, 1}, где f эффективно вычислима. Пусть s — число входных строк x, для которых f(x) = 1. Наша цель — решить, верно ли, что s ≥ 2n–1. Очевидно, что это PP-полная задача. Для простоты будем считать без потери общности, что s > 0. А теперь, используя стандартные квантовые вычислительные фокусы (которые я опущу), сравнительно легко подготовить однокубитное состояние вроде
Это означает также, что мы можем подготовить состояние
Это, по существу, условный вентиль Адамара, приложенный к |ψ〉 для некоторых действительных α и β, которые должны быть определены позже. Запишем в явном виде, чему равно H|ψ〉
Так что теперь я хочу предположить, что мы берем представленное выше двухкубитное состояние и поствыбираем, что второй кубит должен быть 1, а затем смотрим, что при этом получается в первом кубите. Вы можете провести расчет и получить следующее состояние, которое зависит от выбранных ранее значений α и β:
Используя поствыбор, мы можем подготовить состояние такого вида для любых фиксированных α и β, каких нам заблагорассудится. Имея это в виду, как нам смоделировать PP? Мы будем продолжать подготовку различных вариантов этого состояния, изменяя отношение β/αпо значениям {2–n, 2–n+1, …, 1/2, 1, 2, …, 2n}. Далее, возможны два случая: либо s < 2n–1, либо s ≥ 2n–1. Предположим, верно первое. Тогда s и 2n – 2s имеют один и тот же знак. Поскольку α и β— действительные числа, состояние |ψα,β〉 ежит на единичной окружности:
Если s < 2n–1, то при варьировании β/α состояние |ψα,β〉 сегда будет иметь положительную амплитуду как для |0〉 так и для |1〉 она будет лежать в правом верхнем квадранте). Нетрудно убедиться в том, что в какой-то момент это состояние станет достаточно сбалансированным. То есть амплитуды |0〉 |1〉 ойдутся в пределы постоянной разницы между ними, как показывает сплошной вектор на рисунке. Если мы будем и дальше измерять эти состояния в базисе {|+〉 – 〉, то одно из них будет выдавать результат |+〉 высокой вероятностью.
Во втором случае, где s ≥ 2n–1, амплитуда |1〉 икогда не бывает положительной, какими бы ни были α и β, тогда как амплитуда |0〉 сегда положительна. Следовательно, состояние всегда остается в правом нижнем квадранте. В этом случае при варьировании β/α в пределах полиномиального числа значений, |ψα,β〉 икогда не подходит близко к |+〉 Это вполне обнаружимая разница.
Итак, я написал об этом, считая, что нашел остроумное доказательство. Годом позже я сообразил, что существует теорема Бейгеля — Рейнгольда — Шпильмана[161], которая показала, что PP замкнут относительно пересечения. Это означает, что если два языка входят в PP, то и язык, полученный из них при помощи операции и, тоже входит в PP. Эта теорема решила задачу, остававшуюся открытой на протяжении 20 лет. Я заметил, что замкнутость PostBQP относительно пересечения тривиальна, потому что если вы хотите найти пересечение двух PostBQP-языков, вам достаточно просто прогнать соответствующие им PostBQP-машины и поствыбрать по усло-вию того, что оба вычисления дадут корректный результат, а затем посмотреть, примут обе машины или нет. Чтобы остаться в пределах нужной ошибки, можно воспользоваться усилением.
Поскольку PostBQP тривиально замкнут относительно пересечения, он обеспечивает альтернативное доказательство замкнутости PP относительно пересечения, намного более простое, как мне кажется, чем первоначальное доказательство. Чтобы получить это более простое доказательство, нужно подумать о квантовом антропном поствыборе. Это напоминает язык программирования высокого уровня для построения «пороговых многочленов», необходимых Бейгелю, Рейнгольду и Шпильману для того, чтобы их теорема работала. Дело просто в том, что квантовая механика и поствыбор дают вам гораздо более интуитивный способ построения этих многочленов.
Позвольте мне привести еще одно интересное следствие теоремы PostBQP = PP, на этот раз для квантовых вычислений. Мы уже видели, что PostBPP = BPPpath входит в полиномиальную иерархию. С другой стороны, предположим, что PostBQP = PP входил бы в полиномиальную иерархию. Тогда PPP = P#P также входил бы в PH, но по теореме Тоды (что PH ⊆ P#P) это означало бы, что PH схлопнется до конечного уровня! Так что наш вывод таков: поскольку PH не схлопывается, постольку PostBQP строго больше, чем PostBPP. Да, и квантовый, и классический поствыбор — чертовски мощные инструменты, но мы можем быть совершенно уверены, что квантовая разновидность мощнее! Я бы даже сказал, что мы можем быть намного более уверены в этом неравенстве, чем в более знакомой гипотезе BPP ≠ BQP, которая основана «всего лишь» на штучках вроде предполагаемой классической трудности разложения на простые множители, что вовсе не настолько «прочно», как бесконечность полиномиальной иерархии.
Но говорит ли это хоть что-нибудь о мощности квантовых компьютеров в «реальном» мире в противоположность гипотетическим мирам с поствыбором? Поскольку в первый раз я писал эту главу в 2006 г., за это время произошли некоторые изменения, появилась новая информация; многое указывает на то, что ответ на этот вопрос: да. А именно: Бремнер, Йожа (Джозза) и Шепард (2011)[162] указали, что если из любого распределения, из которого выборка может быть сделана за квантовое полиномиальное время, она может быть сделана также и за классическоеполиномиальное время, то PostBPP будет равен PostBQP, а это (согласно приведенным рассуждениям) вызовет коллапс полиномиальной иерархии. Более того, этот вывод верен даже в том случае, когда мы ограничиваем свободу квантовых вычислений и рассматриваем только те распределения, выборку из которых можно сделать чрезвычайно примитивными и почти наверняка неуниверсальными типами квантовых компьютеров. Примером у Бремнера с соавторами служило то, что они назвали «мгновенным квантовым компьютером», способным лишь применять гамильтониан, представляющий собой сумму тензорных произведений операторов Паули с различными подмножествами кубитов. В другой, независимой работе мы с Алексом Архиповым[163] пришли к такому же выводу для линейно-оптических квантовых компьютеров, где единственное, что вам разрешается делать, — это сгенерировать группу идентичных фотонов, прогнать ее через сложную сеть «пассивных оптических элементов» (то есть расщепителей и фазовращателей), а затем подсчитать, сколько фотонов завершили свой путь в каждой возможной точке. В обоих случаях заканчивается все моделью квантовых вычислений, которая, вероятно, не способна реализовать алгоритм Шора, алгоритм Гровера или любой другой «стандартный» квантовый алгоритм и потому не может, вероятно, даже производить универсальные классические вычисления! Тем не менее в этих моделях вы можете легко генерировать выборки из вероятностного распределения, что невозможно эффективно проделать при помощи классического компьютера, если только не выполняется PostBPP = PostBQP и полиномиальная иерархия не схлопывается. Более того, с технической точки зрения эти модели может оказаться проще реализовать, чем универсальные квантовые вычисления[164].
На данный момент крупнейший теоретический вызов в этой области состоит в том, чтобы показать: даже если классический компьютер мог бы генерировать выборки из приблизительнотого же распределения вероятностей, что и квантовый компьютер, то это все же привело бы к схлопыванию полиномиальной иерархии. Главное, что сделали в своей статье мы с Архиповым, — это привели свидетельства в пользу того, что даже это более сильное заявление верно. Но чтобы сделать его строгим, потребуется, судя по всему, серьезное продвижение в классической теории сложности, обращения к теореме PostBPP = PostBQP будет уже недостаточно. На случай, если вам это интересно, мы с Архиповым нашли, что достаточно было бы доказать, что оценка перманента матрицы размера n × n из независимых комплексных гауссовых элементов с высокой вероятностью над матрицей есть #P-полная задача. Уже известно, что аппроксимация перманента произвольной комплексной матрицы есть #P-полная задача и что точное вычисление перманента гауссовой случайной матрицы также #P-полная задача. Так что осталось «только» показать, что задача по-прежнему будет #P-полна даже после того, как мы совместим в ней аппроксимацию и средний случай!
Осталось только дать вам пару загадок, чтобы не было скучно. Мы обсуждали временной аспект и как он вносит дополнительную путаницу в аргумент Судного дня. Одна загадка никак не связана с этим, но тоже внушает тревогу. Эта загадка — тоже авторства Бострома — называется «самонадеянные философы». Представьте, что физики ограничили выбор теории всего и свели его к двум априорно равновероятным вариантам. Главная разница между ними состоит в том, что Теория 1 утверждает, что Вселенная в миллиард раз больше, чем по Теории 2. В частности, считая, что Вселенная относительно однородна (с чем согласны обе гипотезы), Теория 2 предсказывает существование в ней в примерно в миллиард раз больше разумных наблюдателей. Поэтому физики планируют построить огромный ускоритель частиц, чтобы различить две теории; понятно, что проект этот будет стоит много миллиардов долларов. И тут приходят философы и говорят, что Теория 2 верна с вероятностью миллиард к одному, поскольку при условии верности этой теории вероятность нашего существования тоже в миллиард раз больше. Вопрос в том, надо ли давать философам Нобелевскую премию по физике за это «открытие».
Конечно, то, что философы в данном случае опускают, это допущение самоиндикации. Именно сюда приводит нас следование SSA и SIA. SSA — прямой путь к аргументу Судного дня, а SIA — дорога к самонадеянным философам. Похоже, что какой бы вариант вы ни выбрали, следствие получится жутковатое.
Наконец, если мы хотим совместить идею антропных вычислений с аргументом Судного дня, то вот вам загадка Адама и Евы. Предположим, что Адам и Ева — это первые двое наблюдателей и что они очень хотели бы решить какую-нибудь реализацию NP-полной задачи, скажем 3-SAT. Для этого они выбирают некоторое случайное размещение и заранее формируют очень четкое намерение: в случае, если это размещение окажется приемлемым, они не будут заводить детей, а если неприемлемым, то начнут плодиться и размножаться. Примем подход SSA. Тогда, при условии, что выбранное размещение неприемлемо, какова вероятность того, что это именно Адам и Ева а не какие-то из громадного числа будущих наблюдателей? Если предположить, что в конце концов у них будет, скажем, 22n потомков, то вероятность этого, судя по всему, будет не больше 2–2n+1. Таким образом, если поставить условием тот факт, что они и есть двое первых наблюдателей, то SSA предсказывает, что с ошеломляющей вероятностью они выберут приемлемое размещение. Если же вы убежденный байесист, вы можете выбрать SSA или SIA по собственному желанию — и в любом случае смириться с последствиями своего выбора!
Свобода воли
Итак, в данной главе мы рассчитываем задать вопрос — и, будем надеяться, ответить на него — о том, существует ли свобода воли. Если вы хотите знать мое мнение, я скажу так: я верю в свободу воли. Почему? Ну, нейроны моего мозга просто срабатывают таким способом, что мой рот открывается и я говорю, что обладаю свободой воли. Какой же у меня выбор?
Прежде чем мы начнем, заметим, что существует два распространенных заблуждения, от которых нам необходимо избавиться. Первым из них грешит лагерь свободы воли, а вторым — лагерь противников свободы воли.
Заблуждение, характерное для лагеря свободы воли, — это то заблуждение, на которое я уже ссылался ранее: если свободы воли не существует, то никто из нас не несет ответственности за свои действия, и поэтому, к примеру, законодательная сис-тема должна рухнуть. Ну, вообще-то мне известен всего один судебный процесс, в котором детерминизм или законы физики реальнопривлекались в суде в защиту обвиняемых. Это процесс Леопольда и Лёба в 1926 году[165]. Слышали о нем? Это был один из самых громких процессов в американской истории. Леопольд и Лёб учились в Университете Чикаго и были блестящими студентами (один из них как раз закончил предпоследний курс в 18 лет). Они хотели доказать, что являются сверхчеловеками по Ницше и при этом так умны, что могут совершить идеальное убийство и избежать наказания. Они похитили и убили четырнадцатилетнего подростка. И их поймали: Леопольд обронил на месте преступления свои очки.
Защищал их в суде Клэренс Дарроу — тот же адвокат, который защищал Скопса на «обезьяньем процессе»; некоторые считают его величайшим адвокатом в истории Америки. В своей знаменитой заключительной речи он действительно привел аргумент, апеллирующий к детерминизму Вселенной. «Кто мы такие, чтобы судить, что могло побудить этих мальчиков совершить то, что они совершили? Какие генетические факторы, какое влияние среды могло заставить их совершить это преступление?» (Вероятно, Дарроу считал, что терять ему нечего.) Во всяком случае, вместо смертного приговора они получили пожизненное заключение, но это, очевидно, было обусловлено скорее их возрастом, а не детерминизмом законов физики.
Ну хорошо, в чем проб-лема отсутствия свободы воли как аргумента криминальной защиты?
Студент: Тогда у судьи и присяжных тоже нет свободы воли.
Скотт: Спасибо! Я рад, что кто-то сразу же это понял, потому что мне случалось читать целые труды об этом, и этот очевидный момент в них никогда не поднимается.
Судья может просто ответить: «Возможно, законы физики предопределили ваше преступление, но они также предопределили и мой приговор: смерть!» (По крайней мере, в США. В Канаде, возможно, это будут 30 дней тюрьмы…)
Я нашел недавно четверостишие Амброза Бирса, где эта идея высказана очень убедительно:
«Свободы воли нет, — говорит философ, —
Вешать — это порок».
«Свободы воли нет, — согласен палач, —
Я исполняю свой долг».
Ну хорошо, это было заблуждение лагеря свободы воли. Теперь перейдем к типичному заблуждению лагеря их противников. Мне часто приходится слышать аргумент о том, что свободы воли не просто нет, а что сама концепция свободы воли непоследовательна и противоречива. Почему? Потому что либо наши действия определяются чем-то, либо они не определяются ничем, а значит, случайны. Ни в том, ни в другом случае приписать их «свободной воле» невозможно.
Для меня бросающаяся в глаза ошибочность этого аргумента заключается в логической цепочке «не детерминирован ⇒ случаен». Если бы это было действительно так, то классов сложности вроде NP просто не могло бы существовать. Максимум, у нас были бы BPP. Слово «случайный» имеет вполне конкретное значение: оно означает, что имеется некоторое распределение вероятностей по возможным вариантам событий. В теоретической информатике мы можем вполне последовательно говорить о вещах недетерминированных, но тем не менее неслучайных.
Знаете, у нас в информатике много различных источников недетерминизма. Самый фундаментальный, возможно, источник состоит в том, что у нас есть некий алгоритм и мы не знаем заранее, какой входной сигнал он получит. Если бы всегда было заранее определено, какой придет сигнал, мы и ответ могли бы задать жестко, на уровне «железа». Разговор об алгоритмах с самого начала подразумевает существование какого-то агента, который может свободно выбирать, какой сигнал подавать на вход нашего алгоритма.
Студент: Не обязательно. Вы можете рассматривать алгоритм просто как большую схему компрессии. Может, мы действительно знаем все входные сигналы, которые могут нам когда-либо понадобиться, но мы не можем записать их все в одну большую таблицу, поэтому записываем их в сжатом виде.
Скотт: Хорошо, но тогда вы задаете технически иной вопрос. Может быть, для какой-то задачи не существует эффективного алгоритма, но есть эффективная схема сжатия. Я говорю лишь, что мы используем язык — по крайней мере, когда говорим о вычислениях — так, что вполне естественно сказать: существует некоторый переход от того, что у нас есть множество возможных событий, но мы не знаем, которое из них произойдет или хотя бы как распределены вероятности между различными вариантами исхода. Мы хотели бы иметь возможность учесть их все, или, может быть, по крайней мере одну из них, или большую их часть, или столько, сколько нам будет угодно. Сказать, что нечто либо детерминировано, либо случайно, — значит оставить за бортом целые отделы Зоопарка сложности[166]. У нас множество способов получить единственный ответ из набора возможностей, поэтому я не думаю, что логически непоследовательно говорить, что во Вселенной могли бы существовать переходы с несколькими возможными исходами, по которым нет даже распределения вероятностей.
Студент: Значит, они детерминированы.
Скотт: Что?
Студент: Согласно классической физике, все в мире детерминировано. С другой стороны, существует квантовая механика, которая случайна. Вы всегда можете построить распределение вероятностей по результатам измерений. Я не думаю, что можно уйти от того факта, что существует всего два варианта, и третьего не дано. Нельзя сказать, что существует частица, которая может перейти в одно из трех состояний, но можно — что вы не можете построить распределение вероятностей по этим вариантам. Если вы не сторонник частотного подхода к вероятностям, то такого просто не может быть.
Скотт: Я не согласен. Я считаю, что это имеет смысл. В качестве примера: мы с вами говорили о теориях со скрытыми переменными. В этом случае вы не получите даже распределения вероятностей по будущим вариантам, пока не уточните, о какой именно теории со скрытыми переменными идет речь. Если мы просто говорим о результатах измерений, то да, если знаете состояние, которое измеряете, и знаете, каким методом измерения пользуетесь, то квантовая механика дает вам распределение вероятностей по возможным исходам. Но если вы не знаете состояния или метода измерения, то не получите даже распределения.
Студент: Я знаю, что в мире существуют неслучайные вещи, но не снимаю свое возражение.
Скотт: Хорошо! Я рад, что кто-то со мной не согласен.
Студент: Я не согласен с вашими рассуждениями, но не с результатом, не с тем, что вы верите в свободу воли.
Скотт: С моим «результатом»?
Студент: Можем ли мы хотя бы определить свободу воли?
Скотт: Ну да, это прекрасный вопрос. Очень трудно отделить вопрос о существовании свободы воли от вопроса о ее определении. Что я пытался сделать, говоря о том, чем не является свобода воли, так это дать некоторое представление о том, к чему относится, судя по всему, эта концепция. Мне кажется, она имеет отношение к некоторому переходу в состоянии Вселенной, где существует несколько возможных вариантов развития событий и мы не можем говорить сколько-нибудь последовательно даже о распределении вероятностей между ними.
Студент: Имея историю?
Скотт: Да, имея историю.
Студент: Не хочу слишком уж упорствовать, но разве вы не можете хотя бы получить какое-то представление о распределении вероятностей, прогнав вашу модель много раз и посмотрев, что каждый раз выберет ваша свободная воля?
Скотт: Наверное, можно, если интересно, но что, если (как в реальной жизни) мы не можем позволить себе роскошь многократных испытаний?
Парадокс Ньюкома
Итак, давайте нарастим немного мяса на философские кости и проведем знаменитый мысленный эксперимент. Предположим, что сверхразумный Предсказатель показывает вам две коробки: в первой лежит тысяча долларов, во второй — миллион долларов или ничего. Вы не знаете, как именно обстоит дело, но Предсказатель уже сделал свой выбор и либо положил деньги в коробку, либо оставил ее пустой. У вас, Выбирателя, две возможности: вы можете взять либо только вторую коробку, либо обе. Ваша цель, разумеется, — деньги, а вовсе не познание Вселенной.
Главное же вот в чем: Предсказатель сделал свое предсказание о вашем выборе еще до начала игры. Если Предсказатель предсказал, что вы возьмете только вторую коробку, то он положил в нее миллион долларов. Если он предсказал, что вы возьмете две коробки, то вторую из них он оставил пустой. Предсказатель играет в эту игру уже не первую тысячу раз, он играл с тысячами людей и ни разу не ошибся. Всякий раз, когда кто-то брал только вторую коробку, в ней обнаруживался миллион долларов. Всякий раз, когда кто-то брал обе коробки сразу, вторая оказывалась пустой.
Первый вопрос: почему очевидно, что брать следует обе коробки? Верно: что бы ни было во второй коробке, вы получите на 1000 долларов больше, если возьмете обе коробки. Решение о том, что класть во вторую коробку, уже принято; взяв обе коробки, вы никак не сможете на него повлиять.
Второй вопрос: почему очевидно, что брать следует только вторую коробку? Верно: потому что Предсказатель никогда не ошибается! Опять и опять вы видите, как счастливые обладатели одной коробки уходят с миллионом долларов, а те, кто взял две коробки, — только с тысячей. Почему на этот раз должно получиться иначе?
Этот парадокс запустил в народ философ по имени Роберт Нозик в 1969 г.[167] В посвященной ему статье он писал: «Почти всем совершенно ясно и очевидно, что следует делать. Сложность в том, что люди, кажется, делятся почти поровну в этом вопросе, причем все считают, что вторая половина ведет себя просто глупо».
На самом деле существует и третья позиция — скучная позиция Витгенштейна, которая гласит, что задача поставлена попросту некорректно. Это как спрашивать о неодолимой силе, которая действует на неподъемный объект. Если бы Предсказатель на самом деле существовал, то у вас с самого начала не было бы возможности сделать свободный выбор; иными словами, сам факт, что вы спорите о том, какой выбор сделать, подразумевает, что Предсказателя быть не может.
Студент: Почему нельзя разрешить этот парадокс бросанием монетки?
Скотт: Прекрасный вопрос. Почему мы не можем уйти от парадокса, воспользовавшись для этого вероятностями? Предположим, что Предсказатель предсказывает, что с вероятностью p вы возьмете только вторую коробку. Тогда он положит в эту коробку миллион долларов с той же вероятностью p. Ваша ожидаемая выгода окажется
1 000 000p2 + 1 001 000p(1 – p) + 1000 (1 – p)2 = 1 000 000p + 1000 (1 – p),
что приводит нас к точно тому же парадоксу, что и раньше, поскольку ваша выгода будет максимальной при p = 1. Так что, по-моему, случайность на самом деле не меняет фундаментальной природы парадокса.
В общем, есть три варианта: лично вы можете относиться к категории с одной коробкой, с двумя коробками или быть согласны с Витгенштейном.
Студент: Бессмысленно подменять вопрос «Что вы предпочтете сделать?» вопросом «Сколько коробок вы возьмете?» Дело не в том, что вы что-то выбираете; вы размышляете, что могли бы сделать, независимо от того, есть здесь какой-то выбор или нет.
Скотт: То есть вы просто предсказываете собственное будущее поведение? Интересное отличие.
Студент: Насколько хорошо должен сработать Предсказатель?
Скотт: Может быть, не обязательно идеально. Даже если он угадывает лишь в 90% случаев, парадокс никуда не денется.
Студент: Значит, в варианте этой задачи свободы воли не существует, и вы должны занимать позицию Витгенштейна.
Скотт: Как в любом хорошем мысленном эксперименте, просто отвергать условия скучно. Это неспортивно.
Я могу познакомить вас со своей попыткой разрешения этого парадокса[168], которая сделала меня интеллектуально убежденным сторонником одной коробки. Во-первых, нам следовало бы спросить, что мы на самом деле имеем в виду, говоря «вы». Я собираюсь определить «вас» как любой объект, способный предсказать свое будущее поведение. В этом определении присутствует очевидная цикличность, но что бы ни значило это «вы», оно должно быть замкнуто по отношению к предсказуемости. То есть «вы» должно совпадать с множеством вещей, способных точно предсказывать ваше будущее поведение.
А теперь вернемся к вопросу о том, насколько мощным компьютером пользуется Предсказатель. Вот вы, а вот компьютер Предсказателя. Далее, в своем решении выбрать одну или две коробки вы можете опираться на что угодно. Вы можете просто вытащить из памяти какие-то детские воспоминания и сосчитать буквы в фамилии своего первого учителя или еще что-то — и в зависимости от этого решить, берете вы одну или две коробки. Следовательно, чтобы предсказывать ваше поведение, Предсказатель должен знать о вас абсолютно все. Невозможно сказать заранее, какие аспекты вашей личности будут учтены при принятии решения. Мне представляется, что в такой ситуации Предсказатель должен решить задачу, которую я назвал бы «вы-полной». Иными словами, Предсказателю, судя по всему, потребуется смоделировать вас настолько точно, что в конце концов возникнет полная ваша копия.
Поиграем с этим допущением. Предположим, что так и есть и что вы сейчас гадаете, одну вам коробку взять или две. Вы говорите себе: «Ну ладно, лично мне симпатична идея насчет двух коробок, потому что 1000 долларов достанется в любом случае». Но есть проб-лема: пока вы это думаете, вы никак не можете знать, «настоящий» ли это вы или всего лишь модель в компьютере Предсказателя. Если вы — модель и выбрали обе коробки, то это реально повлияет на содержимое коробок: на основании этого Предсказатель не положит миллион долларов в коробку. Именно поэтому вам следует взять только одну коробку.
Студент: Мне кажется, что предсказывать можно очень хорошо большую часть времени, исходя из весьма ограниченного набора данных.
Скотт: Ну да, вероятно, это правда. В курсе, который я читал в Беркли, я провел эксперимент, в котором написал простую короткую программу, которая позволяла человеку печатать буквы «f» или «d» и предсказывала, какую клавишу он нажмет следующей. На самом деле совсем несложно написать программу, которая будет делать верные предсказании примерно в 70% случаев. Большинство людей понятия не имеет, как печатать случайным образом. У них буквы будут меняться слишком часто и т.п. В их действиях будут всевозможные закономерности, так что вам просто нужно будет построить какую-то вероятностную модель. Годится даже очень грубая модель. Я и сам не мог обмануть собственную программу, хотя и знал точно, как она работает. Я предлагал людям попробовать обмануть ее, и программа выдавала 70–80% верных предсказаний. Затем мы нашли одного студента, действия которого программа предсказывала ровно в 50% случаев. Мы спросили его, как он этого добился, и он сказал, что «просто пользовался свободой воли».
Студент: Кажется, возможная проб-лема с «вы-полнотой» состоит в том, что на интуитивном уровне вы не равны мне. Но, с другой стороны, все, что может моделировать меня, может, вероятно, моделировать и вас, и это означает, что имитатор — это одновременно вы и я.
Скотт: Позвольте мне сказать так: моделирование должно порождать копию вас. Я не говорю, что модель идентична вам. Помимо этого, моделирование может порождать много чего еще, так что задача, которую оно решает, скорее «вы-трудная», нежели «вы-полная».
Студент: Что происходит, если у вас есть «вы-оракул», и вы решаете делать все, что модель не делает?
Скотт: Верно. Какой вывод мы можем из этого сделать? Если бы у вас была копия компьютера Предсказателя, то Предсказатель сел бы в лужу, верно? Но у вас нет копии компьютера Предсказателя.
Студент: Так что это теория метафизики, включающая в себя монополию на предсказания?
Скотт: Ну, она включает в себя Предсказателя — странное существо, но что вы от меня хотите? Такая уж у нас задача.
Что мне нравилось в моем решении, так это то, что оно позволяло полностью обойти загадку существования или несуществования свободы воли, примерно так же, как доказательство NP-полноты позволяет обойти загадку равенства или неравенства P и NP. Я имею в виду, что, хотя действительно трудно понять, как ваша свободная воля могла бы повлиять на результат моделирования вас Предсказателем, понять, как ваша свободная воля могла бы повлиять на результат работы вашего собственного мозга, ничуть не проще! Что в лоб, что по лбу.
Парадокс Ньюкома мне нравится, в частности, потому, что в нем очевидна связь между «свободой воли» и неспособностью предсказать будущее поведение. Неспособности предсказать будущее поведение объекта, судя по всему, недостаточно, чтобы приписать этому объекту свободную волю; тем не менее это кажется необходимым условием. Если бы у нас была коробка и мы могли бы, не заглядывая внутрь, предсказать, что из нее появится, то мы, вероятно, сошлись бы во мнении, что эта коробка не обладает свободой воли. Кстати говоря, каким образом можно было бы убедить меня в том, что я не обладаю свободой воли? Если бы после того, как я сделал выбор, вы показали мне карточку с написанным на ней предсказанием моего выбора, — ну, пожалуй, такое доказательство можно было бы счесть необходимым и достаточным. А современная нейробиология и правда приближается к этому в некоторых строго ограниченных ситуациях. К примеру, в знаменитых экспериментах Либе[169] (1980-е гг.) ученые закрепляли электроды на мозге человека и говорили ему, что он может нажать определенную кнопку в любой момент, когда захочет. Примерно за секунду до того, как испытуемый осознавал свое решение нажать кнопку, и точно до того, как его палец физически начинал движение, в схеме нейронных срабатываний можно было заметить формирование так называемого потенциала готовности. Это еще не значит, что можно на самом деле предсказать, когда испытуемый нажмет на кнопку: решающий, но редко обсуждаемый пробел в этих экспериментах состоял в том, что экспериментаторы умалчивали о том, как часто потенциал готовности формировался безреального нажатия кнопки. С другой стороны, в более близких по времени экспериментах — к примеру, эксперимент Суна с соавторами[170] в 2008 г. — фМРТ-снимки использовались для предсказания того, какую из двух кнопок нажмет испытуемый, с вероятностью несколько более высокой, чем случайная (примерно в 60% случаев), и за несколько секунд до осознания испытуемым своего решения. Значение такого рода результатов легко переоценить: в конце концов, решения людей можно неплохо предсказывать и без фМРТ, просто пользуясь тем фактом, что большинство людей склонны повторять свои действия снова и снова! Мошенники, соблазнители, рекламщики и т.п. знают это с незапамятных времен. С другой стороны, было бы глупо думать, что предсказательные возможности нейробиологии не будут постепенно повышаться. А раз так, то совершенно не исключено, что в один прекрасный момент упрямые сторонники свободы воли вынуждены будут признать, что по крайней мере некоторые их решения гораздо менее «свободны», чем им кажется, или, по крайней мере, что факторы, определяющие эти решения, действуют раньше по времени, чем кажется субъективному сознанию.
Если свобода воли зависит от неспособности предсказать будущее поведение, то из этого вроде бы следует, что свобода воли каким-то образом зависит от нашей уникальности — от невозможности нас копировать. Это заставляет вспомнить еще один из моих любимых мысленных экспериментов: устройство для телепортации.
Предположим, в далеком будущем существует очень простой способ попасть на Марс — Марсианским экспрессом — всего за 10 минут. Некое устройство шифрует положение всех атомов вашего тела, а затем передает его в виде информации на Марс при помощи радиопередатчика; на Марсе вас восстанавливают, а оригинал (естественно) уничтожают. Кто готов первым подписаться и купить билеты на Марс? Можете считать, что уничтожение оригинала проходит безболезненно. Если вы верите, что ваш мозг состоит исключительно из информации, вам всем следовало бы встать в очередь за билетами, так?
Студент: Мне кажется, есть большая разница между ситуацией, когда вы разбираете кого-то, а затем собираете его вновь в другом месте, и ситуацией, когда вы заглядываете к кому-то во внутренности, определяете, как соорудить копию, строите ее на другом конце, а оригинал убиваете. Есть очень большая разница между перевозкой и копированием. Я был бы рад, если бы меня перевезли, но на копирование я не согласен.
Скотт: В большинстве операционных сис-тем и языков программирования перемещение работает именно так: вы создаете копию и уничтожаете оригинал. В компьютере перемещение означает копирование-и-уничтожение. Допустим, у вас имеется строка битов x1, …, xn и вы хотите переместить ее из одного места в другое. Вы что, считаете важным, как мы поступим: сначала скопируем все биты, а затем уничтожим исходную строку, или будем копировать и уничтожать побитно — сначала первый бит, затем второй и т.п.? Вы действительно считаете, что это имеет значение?
Студент: Имеет, если речь идет о копировании меня.
Другой студент: Мне кажется, я предпочел бы, чтобы меня сначала скопировали, а уже потом я по своим ощущениям решил бы, нужно ли уничтожать оригинал, — и если нет, просто смирился бы с появлением еще одной своей копии.
Скотт: Хорошо. А которая из двух ваших копий будет принимать это решение? Или вы примете его вместе? Я думаю, вы могли бы проголосовать, но тогда для принятия решения вам может потребоваться третий.
Студент: А вы представляете собой квантовое состояние или классическое?
Скотт: Вы меня опередили, чему я всегда рад. Что меня всегда интересовало в отношении знаменитого протокола телепортации (который позволяет вам «дематериализовать» квантовое состояние и заново «рематериализовать» его в другом месте), так это то, что для его работы вам потребовалось бы измерить — и, следовательно, уничтожить — оригинальное состояние. Но, возвращаясь к классическому сценарию, мне кажется, что неуничтожение оригинала породит даже больше проблем, чем его уничтожение. Тогда возникнет проб-лема, кого из вас считать «настоящим».
Студент: Это напоминает мне о многомировой интерпретации.
Скотт: По крайней мере, в ней две ветви волновой функции никогда не будут взаимодействовать между собой. Как максимум, они могли бы провзаимодействовать и взаимно уничтожить друг друга, но здесь-то две копии могли бы просто поговорить друг с другом! Это добавляет целый новый слой осложнений.
Студент: Так что, если бы вы заменили классический компьютер квантовым, вы могли бы просто копировать-и-унитожать всякий раз, когда вам нужно что-то передвинуть…
Скотт: Верно! Мне кажется, это важное замечание. Мы знаем, что если имеется неизвестное квантовое состояние, его невозможно просто скопировать, но можно передвинуть. Дальше возникает следующий вопрос: зашифрована ли информация в человеческом мозге в некоторомортого-нальном базисе? Поддается ли она копированию? Ответ не кажется очевидным априори. Обратите внимание: мы не спрашиваем, является ли мозг квантовым компьютером (тем более квантовым гравитационным компьютером a la Пенроуз) и может ли он раскладывать на простые множители 300-значные целые числа. Может быть, Гаусс и способен был это делать, но довольно очевидно, что остальные люди этого не умеют. Но даже если мозг способен только на классические вычисления, он все же мог бы проделывать их так, чтобы использовать при этом отдельные кубиты в разных базисах, таким способом, что было бы физически невозможно копировать важные части состояния мозга. Для этого даже не потребовалось бы особой запутанности. Мы знаем, что существуют всевозможные слабые эффекты, способные сыграть какую-то роль в определении того, сработает данный нейрон или нет. Итак, сколько информации нужно вам получить от мозга, чтобы предсказать будущее поведение человека (по крайней мере вероятностно)? Хранится ли вся необходимая вам информация в «макроскопических» переменных, таких как синаптические потенциалы, которые, вероятно, принципиально допускают копирование? Или какая-то часть информации хранится микроскопически и к тому же, возможно, не в фиксированном ортого-нальном базисе? Это не метафизические вопросы. На них, в принципе, можно ответить эмпирически.
Теперь, когда в нашей картине появились кванты, давайте внесем еще немного остроты и добавим относительности. Есть один аргумент (опять же можно прочесть целую диссертацию обо всех этих вещах), известный как аргумент блок-вселенной (block-universe argument). Идея в том, что специальная теория относительности каким-то образом исключает свободу воли. Вот вы и вы пытаетесь решить, заказать ли вам пиццу или что-нибудь китайское. Вот ваша подруга, которая собирается зайти к вам позже и хочет знать, что вы собираетесь заказывать. Случилось так, что ваша подруга движется со скоростью, близкой к скорости света в вашей покоящейся сис-теме отсчета. При этом, хотя вы ощущаете, что еще не приняли решение, и от этого сильно страдаете, с ее точки зрения, ваше решение уже принято.
Студент: Если вы и ваша подруга разделены пространственно-подобным интервалом, что вообще это может значить?
Скотт: Вот именно. Я лично не думаю, что этот аргумент говорит хоть что-то о существовании или несуществовании свободы воли. Проблема в том, что все это работает только с наблюдателями, разделенными пространственно-подобными интервалами. Ваша подруга в принципе может сказать, что в том, что она воспринимает как собственную пространственно-подобную гиперповерхность, вы уже приняли свое решение, но она все еще не знает, что же вы заказали! Единственное место, откуда информация может дойти до вашей подруги, так это из точки, где вы реально принимали свое решение. Для меня это говорит просто о том, что множество событий у нас не упорядочено полностью по времени, а упорядочено лишь частично. Но я никогда не понимал, почему это должно заранее исключать свободу воли.
Мне необходимо встряхнуть вас, так что давайте сведем квантовый аспект, относительность и свободу воли воедино. Недавно вышла статья Конуэя и Кохена под названием «Теорема о свободе воли»[171], которая достаточно широко освещалась в средствах массовой информации. О чем эта теорема? По существу, это та же теорема Белла (о ней говорилось в главе 12), или, скорее, интересное следствие из теоремы Белла. Математически это очевидное следствие, но очевидность не делает его менее интересным. Вы можете представить себе, что во Вселенной не существует ничего фундаментально случайного и что все случайности, которые мы наблюдаем в квантовой механике и других подобных местах, были предопределены еще в начале времен. Бог просто зафиксировал одну большую случайную строку и теперь всякий раз, измеряя что-то, люди просто считывают очередной кусок этой единственной случайной строки. А теперь предположим, что мы делаем следующие три допущения.
1. Мы обладаем свободой воли и произвольно выбираем, в каком базисе измерять квантовое состояние. То есть по крайней мере настройка детектора не предопределена историей Вселенной.
2. Теория относительности позволяет двум акторам (Алисе и Бобу) произвести измерение таким образом, что в одной сис-теме отсчета первой измеряет Алиса, а в другой — Боб.
3. Вселенная не может скоординировать результаты измерений путем пересылки информации о них со сверхсветовой скоростью.
Теорема гласит, что при этих трех допущениях существует эксперимент, а именно стандартный эксперимент Белла, результаты которого тоже не предопределены историей Вселенной. Почему так? В первую очередь потому, что если предположить, что два результата предопределены историей Вселенной, то вы могли бы получить локальную модель со скрытыми переменными, что противоречит теореме Белла. Эту теорему можно рассматривать как некоторое обобщение теоремы Белла: она исключает не только локальные теории со скрытыми переменными, но и теории со скрытыми переменными, которые подчиняются аксиомам специальной теории относительности. Даже если бы возможна была некая нелокальная коммуникация между Алисой и Бобом, находящимися в разных галактиках, до тех пор, пока существуют две сис-темы отсчета, такие, что в одной из них первой измерение проводила Алиса, а в другой — Боб, вы получили бы то же самое неравенство. Результаты измерения невозможно определить заранее, даже вероятностно; Вселенная должна «изготовить их на лету» уже после того, как Алиса и Боб настроили свои детекторы. Некоторое время назад я написал рецензию[172] на книгу Стивена Вольфрама[173], в которой упомянул об этом как о фундаментальном следствии теоремы Белла, исключающем детерминистические модели физики того рода, что пытался строить Вольфрам. Я не стал называть свой небольшой результат теоремой о свободе воли, но теперь я усвоил урок: если я хочу, чтобы люди обратили внимание, я должен говорить о свободе воли! Отсюда и данная глава.
На самом деле с тех пор, когда я впервые написал эту главу, основное наблюдение, на котором основывается теорема о свободе воли Конуэя — Кохена, было использовано с большой пользой в квантовой информатике для получения протоколов генерации так называемых сертифицированных по Эйнштейну случайных чисел. Это числа, случайность которых гарантируется физически, если только Природа не прибегнет к сверхсветовой связи, чтобы нарушить их независимость, или не сделает еще что-то столь же кардинальное (к примеру, не отправит информацию назад во времени). Так что все это принципиально отличается от псевдослучайности, которую мы обсуждали в главе 8: здесь числа на самом деле случайны с учетом фундаментальных принципов физики, а не случайны на первый взгляд при допущении истинности гипотез вычислительной сложности. Вы могли бы спросить: если мы принимаем современный подход в физике (и особенно в квантовой механике), разве не очевидно, что мы можем генерировать истинно случайные числа? Ах, но даже в этом случае представьте, что ваш квантово-механический генератор случайных чисел работает неправильно, или какой-нибудь враг там что-нибудь подмухлевал. Нам нужны числа, которые могут пройти, а могут и не пройти некоторый статистический тест, но если уж они проходят этот тест, то мы можем сделать вывод об их случайности, не зная никаких подробностей о физике устройств, которые эти числа сгенерировали. Мы хотим знать только, что эти устройства удовлетворяют некоторым по-настоящему базовым физическим принципам, таким как принцип локальности.
На интуитивном уровне нетрудно понять, как такое можно получить при помощи теоремы Белла и теоремы о свободе воли Конуэя — Кохена. Ведь весь смысл этих результатов в том, что Алиса и Боб проводят некоторый эксперимент над запутанными частицами и квантовая механика предсказывает результат этого эксперимента, который совершенно невозможно объяснить при помощи локальных скрытых переменных. Вместо этого результаты эксперимента Алисы и Боба должны быть истинно вероятностными — Природа как бы бросает кубик непосредственно в момент измерения — просто потому, что это единственный способ объяснить результаты, не предполагая, что сделанный Алисой выбор касательно измерения передает сигнал Бобу, или наоборот.
Но здесь есть серьезная проб-лема: для того чтобы провести эксперимент Белла, Алисе и Бобу уже нужны случайные числа! Ведь выбор измерения с их стороны тоже должен быть случайным. Так что далеко не очевидно, смогут ли Алиса и Боб получить на выходе более случайные биты, чем те, что они использовали на входе! И в любом случае максимум, на что мы можем надеяться, — это расширение случайности, то есть некий протокол, посредством которого Алиса и Боб могут превратить n истинно случайных битов в m ≥ n истинно случайных бит, предполагая, что сверхсветовая коммуникация невозможна и т.п. Собственно, именно такое расширение случайности, как нам известно на сегодняшний день, достижимо. Первый результат в этой области был получен Пиронио с соавторами[174] в 2010 г. Опираясь на высказанные ранее идеи Роджера Колбека, исследователи показали, как при помощи эксперимента Белла превратить nслучайных битов в n2 почти случайных битов. Затем Вазирани и Видик[175] (2012) показали, как получить экспоненциальное расширение случайности, вкладывая n случайных битов и получая на выходе cn для некоторого c > 1. В момент написания этой книги вопрос о том, можно ли таким образом получить более чем экспоненциальное расширение случайности, остается открытым.
Несколько лет назад я присутствовал на одном из семинаров Джона Прескилла в Калифорнийском технологическом институте. Как правило, разговоры на таких встречах идут очень физические, и я понимаю их с трудом. Но однажды мы говорили о статье Криса Фукса об основах квантовой механики, и беседа очень быстро свернула на философию. В конце концов кто-то поднялся и написал на доске: «Свобода воли или Машина?» — и попросил проголосовать. «Машина» победила семью голосами против пяти.
Предлагаю вам к следующей главе подумать над такой загадкой: доктор Зло находится на своей лунной базе, и у него есть очень мощный лазер, направленный на Землю. Разумеется, он планирует уничтожить Землю, поскольку он злой и все такое. В последнюю минуту Остин Пауэрс придумывает план и направляет доктору Зло следующее послание: «В своей земной лаборатории я создал абсолютно точную копию вашей лунной базы во всех деталях. В этой копии есть даже точная копия вас самих. Все абсолютно одинаковое. Зная это, вы не можете быть уверены, находитесь ли вы на настоящей своей лунной базе или в моей копии, здесь на Земле. Так что если вы уничтожите Землю, то с 50%-ной вероятностью вы убьете и себя!» Как следует поступить доктору Зло? Включать ему свою лазерную пушку или нет? (См. статью[176] об этом.)
Путешествия во времени
В предыдущей главе мы говорили о свободе воли, сверхразумных предсказателях и о том, как доктор Зло на своей лунной базе планирует уничтожить Землю. А теперь я бы хотел поговорить на более приземленную тему: о путешествиях во времени. Первым делом я должен повторить вслед за Карлом Саганом: мы все путешествуем во времени — со скоростью одна секунда в секунду! Ха-ха! Двигаясь дальше, мы должны различать путешествия в отдаленное будущее и путешествия в прошлое. Они очень разные.
Путешествие в отдаленное будущее намного проще второго варианта. Известно несколько способов совершить такое путешествие:
заморозить себя и оттаять позже;
полетать с релятивистской скоростью;
приблизиться к горизонту событий какой-нибудь черной дыры.
Это приводит на память одно из любимых моих предложений на тему решения NP-полных задач за полиномиальное время: можно запустить на компьютере программу решения NP-полной задачи, сесть на космический корабль и полетать на нем с околосветовой скоростью, а затем вернуться на Землю и получить готовое решение. Если бы эта идея сработала, она позволила бы нам решить далеко не только NP. Она также позволила бы нам решать PSPACE-полные и EXP-полные задачи, а может быть, вообще все вычислительные задачи, в зависимости от того, какое ускорение времени вы считаете возможным. Но какие проблемы возникают с таким подходом?
Студент: Земля тоже стареет.
Скотт: Ну да, так что все ваши друзья будут давно мертвы, когда вы вернетесь. Какое здесь может быть решение?
Студент: Взять с собой всю Землю, а компьютер оставить плавать в пространстве.
Скотт: Ну, по крайней мере взять с собой всех своих друзей!
Предположим, что вы готовы смириться с неудобствами и вернуться на Землю через экспоненциальное число лет. Возникнут ли у вас при этом еще какие-нибудь проблемы? Самая большая проб-лема заключается в том, сколько энергии требуется на разгон до релятивистских скоростей. Отбросив время, затраченное на разгон и торможение, получим, что если вы путешествуете на скорости, составляющей долю v от скорости света, в течение собственного времени t, то в сис-теме отсчета, связанной с вашим компьютером, пройдет время
Из этого следует, что если вы хотите, чтобы t' было экспоненциально больше, чем t, то vнепременно должно быть экспоненциально близко к единице. С этим уже могут возникнуть фундаментальные трудности, связанные с квантовой гравитацией, но пока мы не будем обращать на это внимания. Более очевидная проб-лема здесь другая: на разгон до скорости v вам потребуется экспоненциальное количество энергии. Представьте себе топливный бак своего корабля или другой источник энергии для него. Он должен быть экспоненциально большим! И просто из соображений локальности: а как топливо из дальних частей бака будет влиять на характеристики корабля и на вас самих? Я здесь использую тот факт, что пространство-время имеет постоянное число измерений. (Вообще-то я, кроме того, пользуюсь пределом Шварцшильда, ограничивающим количество энергии, которую можно хранить в конечном объеме пространства: содержимое вашего топливного бака никак не может быть плотнее черной дыры!)
Поговорим о более интересной разновидности путешествий во времени: о движении вспять. Если вы читали научную фантастику, вы, вероятно, слышали о понятии замкнутых времениподобных траекториях (closed timelike curve, CTC): это области пространства-времени, в которых локально всегда все выглядит так, будто время движется равномерно вперед, а законы физики строго выполняются, но глобально обнаруживается, что время там имеет топологию петли и что, если зайти достаточно далеко в будущее, вновь встретишься с настоящим. Так что это, по существу, всего лишь более цветистый и более эйнштейновский, что ли, способ сказать «путешествие во времени в прошлое».
Но могут ли замкнутые времениподобные траектории реально существовать в природе? Вопрос этот уже очень давно изучают физики всего мира в свободное от работы время. В самом начале Гёдель и другие обнаружили, что классическая общая теория относительности допускает такие решения. Однако все известные решения такого рода содержат элементы, которые можно обвинить в «нефизичности». К примеру, в некоторых решениях имеются так называемые кротовые норы, но для того, чтобы держать их открытыми, требуется «экзотическое вещество» с отрицательной массой[177]. До сих пор все предложенные решения требуют либо нестандартных космологических подходов, либо таких разновидностей вещества или энергии, которые еще только предстоит пронаблюдать в эксперименте. Но это лишь классическая общая теория относительности. Если мы добавляем в картину квантовую механику, вопрос становится еще более сложным. Общая теория относительности — теория не просто о каких-то полях в пространстве-времени, но о самом пространстве-времени, и раз вы его квантуете, то следует ожидать флуктуаций в причинно-следственной структуре пространства-времени. Вопрос звучит так: почему бы этим флуктуациям не породить замкнутые времени-подобные траектории?
Кстати говоря, здесь есть также интересный метавопрос: почему физикам так трудно дается разработка квантовой теории гравитации? Формальный ответ, который обычно приходится слышать, состоит в том, что, в отличие, скажем, от уравнений Максвелла, общая теория относительности не допускает перенормировки. Но мне кажется, есть и более простой ответ, куда более понятный неспециалисту вроде меня. Подлинная суть вопроса заключается в том, что общая теория относительности — это теория самого пространства-времени, так что квантовой теории гравитации придется иметь дело с суперпозициями по пространству-времени и флуктуациями пространства-времени. Один из вопросов, ответы на которые следует ожидать от такой теории, — это вопрос существования замкнутых времени-подобных траекторий. Таким образом, квантовая теория гравитации представляется CTC-трудной в том смысле, что найти ее по крайней мере столь же трудно, как определить, возможны ли в реальности замкнутые времени-подобные траектории! И даже мне очевидно, что такой вопрос не может быть тривиальным. Даже если CTC невозможны, их невозможность, вероятно, не удастся доказать без каких-то новых прорывных открытий и достижений. Разумеется, это всего лишь один конкретный пример общей большой проблемы: никто не представляет себе сколько-нибудь отчетливо, что значит рассматривать само пространство-время с квантово--механических позиций.
В той области, где я начинал, не полагается задаваться вопросом о том, существует ли некоторый физический объект; полагается считать, что он существует, и разбираться в том, какие вычисления с ним можно провести. Поэтому начиная с настоящего момента мы будем считать, что замкнутые времени-подобные траектории существуют. Какие последствия это вызвало бы в теории вычислительной сложности? Как ни удивительно, на этот вопрос можно дать ясный и конкретный ответ.
Итак, как бы вы использовали замкнутые времениподобные траектории для ускорения вычислений? Во-первых, рассмотрим наивную идею: все просчитать, а затем переслать полученный результат назад во времени, в момент до начала вычислений.
С моей точки зрения, такой «алгоритм» работать не будет, даже если все его условия выполняются. (Приятно, что даже в таких безумных вещах, как путешествия во времени, мы можем со всей определенностью исключить некоторые идеи!) Мне известны по крайней мере две причины, по которым он не работает.
Студент: Вселенная может прекратить существование за время, которое ваш компьютер потратит на поиск ответа.
Скотт: Да! Даже в этой модели, где возвращение назад во времени возможно, мне кажется необходимым количественно оценить время, затраченное на вычисления. Тот факт, что в начале у вас уже есть ответ, не отменяет того факта, что вычисления вам все-таки следует провести! Отказ от определения вычислительной сложности этого расчета напоминает логику человека, который, исчерпав лимит своей кредитки, не беспокоится о размерах счета, который ему будет выставлен. Платить все равно придется!
Студент: А нельзя дать компьютеру час на вычисления, затем вернуться во времени на час назад, снова час посчитать, снова вернуться назад — и так до тех пор, пока расчет не будет завершен?
Скотт: Ага! Вы приближаетесь к моему второму аргументу. Это чуть менее наивная идея, она тоже не работает, но более интересным способом.
Студент: Эта наивная идея связана с итерациями по пространству решений, которое может оказаться несчетно большим.
Скотт: Ну да, но будем считать, что мы говорим об NP-полной задаче, так что пространство решений конечно. Если бы мы могли просто решать NP-полные задачи, мы были бы счастливы.
Подумаем еще немного о предложении, где вы считаете в течение часа, затем возвращаетесь на час назад, считаете еще час, вновь возвращаетесь на час назад, и т.п. Проблема с этим предложением в том, что в нем очень легкомысленно говорится о возвращении назад во времени. Вы рассматриваете время как спираль, как какую-то доску, на которой можно писать и стирать написанное, вновь писать и вновь стирать, но ведь на самом деле вы возвращаетесь не в какое-то новое время, вы возвращаетесь в то самое время, с которого начинали. Как только вы поймете, о чем идет речь, и признаете это, вас сразу начнет беспокоить так называемый парадокс дедушки (тот самый, в котором вы попадаете в прошлое и убиваете своего дедушку). К примеру, что, если ваш вычислительный процесс принимает в качестве входа бит b из будущего и производит в качестве выходного сигнала бит ¬b, который затем возвращается в прошлое и становится входным сигналом? Теперь, когда вы используете ¬b в качестве входа, вы получаете ¬¬b = b в качестве выхода, и так далее. Это и есть парадокс дедушки в вычислительной форме. Мы должны предложить некоторое описание того, что происходит в подобной ситуации. Если мы вообще говорим о замкнутых времени-подобных траекториях, то мы говорим о чем-то, в чем такого рода поведение возможно, и мы нуждаемся в какой-то теории о том, что получится в результате.
Мою собственную любимую теорию предложил Дэвид Дойч[178] в 1991 г. Его предложение состояло в том, что, если вы просто обратитесь к квантовой механике, проб-лема будет решена. На самом деле квантовая механика здесь — излишне мощное оружие; применять его — всего равно что стрелять из пушки по воробьям. Нисколько не хуже работает здесь классическая вероятностная теория. В последнем случае мы имеете некоторое распределение вероятностей (p1, …, pn) над возможными состояниями вашего компьютера. Тогда вычисления, имеющие место в пределах замкнутой времениподобной траектории, можно смоделировать как марковскую цепь, которая преобразует это распределение в другое. Какие условия мы должны поставить, чтобы избежать парадокса дедушки? Верно, условие совпадения выходного и входного вероятностных распределений. Мы также налагаем требование, которое Дойч называет причинно-следственной непротиворечивостью (causal consistency): вычисления в пределах замкнутой времениподобной траектории должны отображать входное распределение вероятностей на себя. В детерминистической физике мы знаем, что такая непротиворечивость не всегда может быть достигнута, — это просто другой способ сформулировать парадокс дедушки. Но как только мы переходим к вероятностным теориям — ну, это базовый факт, что любая марковская цепь имеет по крайней мере одно стационарное распределение. В данном случае парадокса дедушки уникальное решение состоит в том, что вы рождаетесь с вероятностью 1/2, и если рождаетесь, то возвращаетесь назад в прошлое и убиваете своего дедушку. Таким образом, вероятность того, что вы вернетесь назад во времени и убьете дедушку, равна 1/2; следовательно, вы рождаетесь с вероятностью 1/2. Все согласовано; ничто ничему не противоречит; никакого парадокса нет.
Что мне нравится насчет решения Дойча, так это то, что оно сразу же предлагает вычислительную модель. Во-первых, мы должны выбрать полиномиального размера схему C:{0, 1}n → {0, 1}n. Затем природа выбирает распределение вероятностей D над строками длины n, такими, что C(D) = D, и дает нам реализацию y из D. (Если для отображения существует более одной неподвижной точки D, то мы проявим консерватизм и будем считать, что природа делает свой выбор в наихудшем варианте.) Наконец, мы можем провести обычное полиномиальное по времени вычисление над реализацией y. Назовем класс сложности, возникающий на основе этой модели: PCTC.
Студент: Разве мы не должны говорить о BPPCTC, поскольку P не имеет доступа ни к какой случайности, тогда как с замкнутыми времениподобными траекториями мы должны иметь распределение?
Скотт: Это тонкий вопрос: даже при распределении с неподвижной точкой мы можем потребовать, чтобы CTC-компьютер выдавал детерминистический результат (так, чтобы случайность, по существу, использовалась только для того, чтобы избежать парадокса дедушки, и больше ни для чего). С другой стороны, если вы ослабите это требование и разрешите ответу иметь некоторую вероятность ошибки, оказывается, что класс сложности вы получите тот же самый. То есть можно показать, что PCTC = BPPCTC = PSPACE.
Что можно сказать об этом классе сложности? Мое первое утверждение состоит в том, что NP⊆ PCTC; то есть CTC-компьютеры могут решать NP-полные задачи за полиномиальное время. Понимаете, почему? Или, конкретнее, предположим, что у нас есть булева формула φ с nпеременными, и мы хотим знать, существует ли удовлетворяющий набор переменных. Что должна делать наша схема C?
Студент: Если входной сигнал — это удовлетворяющий набор, мы можем кинуть его на выход?
Скотт: Хорошо. А что, если входной сигнал — не есть удовлетворяющий набор?
Студент: Перейти к следующему варианту?
Скотт: Верно! И возвращаемся снова к началу, если добрались уже до последнего набора.
Нам нужно просто пробежаться по всем возможным наборам и остановиться, как только попадется подходящий. Считая, что удовлетворяющее размещение существует, получим, что единственные стационарные распределения будут сосредоточены именно на удовлетворяющих размещениях. Так что, делая выборку из стационарного распределения, мы, безусловно, увидим такое размещение. (Если удовлетворяющих наборов нет, то стационарное распределение равномерно.)
Мы считаем, что природа дает нам стационарное распределение бесплатно. Раз уж мы постулируем существование замкнутой времениподобной траектории, ее эволюция просто должнабыть непротиворечива с причинно-следственной точки зрения, чтобы избежать проявлений парадокса дедушки. Но это означает, что природе, чтобы сделать ее непротиворечивой, придется решить трудную вычислительную задачу! Это ключевая идея, которой мы пользуемся.
С этим алгоритмом решения NP-полных задач связано и то, что Дойч называет «парадоксом создания знания». Этот парадокс лучше всего иллюстрирует фильм «Звездный путь IV». Экипаж «Энтерпрайза» отправился в прошлое, в наше время (в данном случае в 1986 г.), чтобы найти там горбатого кита и переправить его в двадцать третий век. Но для того, чтобы построить резервуар для кита, им нужен плексиглас особого типа, который еще не был изобретен. В отчаянии они обращаются в компанию, которая должна в будущем изобрести этот плексиглас, и сообщают инженерам компании молекулярную формулу нужного им вещества. А после этого начинают гадать: а как же на самом деле компании удалось разработать этот плексиглас? Хм-ммм…
Обратите внимание: парадокс создания знания неразрывно связан с путешествиями во времени, но принципиально отличается от парадокса дедушки, поскольку здесь нет настоящей логической непоследовательности. Это всего лишь парадокс вычислительной сложности: каким-то образом эта трудная вычислительная задача получила решение, но где именно на ее решение были затрачены усилия? В фильме пресловутый плексиглас появляется на свет и находит применение, хотя никто и никогда не тратит время на его разработку!
Замечу в скобках, что в теме путешествий во времени мне больше всего нравится, как все дружно повторяют: «Будьте осторожны, ни на что не наступайте, иначе вы можете изменить будущее!», «Позаботьтесь о том, чтобы тот парень ушел с той девушкой, как и должен был!» и т.п. Глупости! Наступать можно на что угодно. Даже просто потревожив молекулы воздуха, вы уже все изменили.
Ну хорошо, мы можем эффективно решать NP-полные задачи при помощи путешествий во времени. Но можем ли мы добиться еще чего-нибудь? Какова реальная вычислительная мощность замкнутых времениподобных траекторий? Я утверждаю, что PCTC, бесспорно, входит в PSPACE. Понимаете, почему?
Так, у нас имеется экспоненциально большое множество возможных входных строк x ∈ {0, 1}nсхемы C, и наша основная цель — найти вход x, который со временем совершит полный круг (то есть такой, что C(x) = x, или C(C(x)) = x, или…). Для этого случая нам нужно найти стационарное распределение. Но поиск такого x, очевидно, представляет собой задачу из PSPACE. К примеру, мы можем последовательно просчитать по всем возможным начальным состояниям x и для каждого применить C вплоть до 2n раз и посмотреть, получится ли на каком-то шаге вновь x. Разумеется, это тоже задача из PSPACE.
Мое следующее заявление — что PCTC равен PSPACE. То есть компьютеры в замкнутых времениподобных траекториях могут решать не только NP-полные задачи, но и вообще все задачи в PSPACE. Почему?
Ну, пусть M0, M1, … будут последовательные конфигурации машины M из PSPACE. Кроме того, пусть Macc будет конфигурация M типа «остановиться и принять», а Mrej — конфигурация типа «остановиться и отвергнуть». Наша цель — выяснить, в которую из этих конфигураций придет машина. Обратите внимание: для записи каждой из этих конфигураций требуется полиномиальное число бит. Далее, мы можем определить полиномиального размера схему C, которая принимает на вход некоторую конфигурацию M плюс некоторый вспомогательный бит b. Эта схема работает следующим образом:
C(〈i, b〉 = 〈i+1, b〉
(〈acc, b〉 = 〈0, 1〉
(〈rej, b〉 = 〈0, 0〉
Таким образом, для каждой конфигурации, которая не является принимающей или отвергающей, C делает переход в следующее состояние, оставляя вспомогательный бит прежним. Если она достигает принимающей конфигурации, то возвращается к началу и устанавливает вспомогательный бит в единицу. Аналогично если она достигает отвергающей конфигурации, то возвращается к началу и устанавливает вспомогательный бит в 0.
Далее, если подумать о том, что происходит, то получается, что у нас имеется два параллельных вычислительных процесса: в одном бит ответа установлен равным 0, в другом — равным 1. Если истинный ответ равен 0, то отвергающее вычисление будет повторяться в цикле, тогда как принимающее вычисление приведет внутрь петли цикла. Аналогичным образом если истинный ответ равен 1, все будет наоборот: зациклится принимающее вычисление. Следовательно, единственным стационарным распределением будет равномерное распределение по этапам вычисления сb, которому присвоено значение верного ответа. Тогда мы можем прочитать выборку и посмотреть на b, чтобы выяснить, принимает PSPACE--машина или отвергает.
Таким образом, мы можем строго характеризовать класс PCTC как равный PSPACE. Одна из позиций, с которых удобно рассматривать эту ситуацию, состоит в том, что замкнутая времениподобная траектория делает время и пространство как вычислительные ресурсы эквивалентными. Оглядываясь назад, можно заключить, что нам, вероятно, следовало ожидать этого с самого начала, но вообще-то это по-прежнему нужно показать!
Далее, перед нами встает очевидный вопрос: что, если внутри CTC у нас действует квантовыйкомпьютер? Очевидно, нам нужно знать ответ. Как это работает? У нас есть полиномиального размера квантовая схема вместо классической и мы говорим, что у нас есть два набора кубитов: «кубиты замкнутой времениподобной траектории» и «уважающие хронологию кубиты». Мы можем провести кое-какие квантовые вычисления с теми и другими, но нас, откровенно говоря, интересуют только CTC-кубиты.
В этот момент мне необходимо ввести концепцию, с которой мы в этой книге еще не встречались, — концепцию супер-оператора. Супероператор — это наиболее общий тип операции, разрешенной в квантовой механике; он включает в себя и унитарные преобразования, и измерения как особые случаи. Вообще говоря, любой супероператор можно считать просто гигантским унитарным преобразованием, в котором задействованы как сис-тема, над которой мы работаем, так и вторая, «вспомогательная» сис-тема (которая в некоторых случаях будет вести себя так, как будто «измеряет» первую сис-тему). По этой причине супероператоры вовсе не меняют правил квантовой механики: это просто удобный способ представить действие на сис-тему A унитарного преобразования, в котором может быть задействована также некоторая другая сис-тема B (которая нас на данный момент не интересует). Грубо говоря, супероператоры относятся к унитарным пре-образованиям, как смешанные состояния к чистым.
Математически супероператор есть функция S, отображающая смешанное состояние (к примеру, матрицу плотности) ρ на другое смешанное состояние S (ρ). Будем считать для простоты, что ρ и S (ρ) живут в одном и том же числе измерений, хотя даже это правило строго вводить не обязательно. Далее, по правилам супероператор должен иметь вид
где
есть единичная матрица.
Упражнения для неленивого читателя. Докажите, что супероператоры всегда отображают допустимые смешанные состояния (то есть эрмитовы положительные полуопределенные матрицы с рангом 1) на другие допустимые смешанные состояния. Приведите пример супероператора, который (в отличие от унитарного преобразования) может отобразить чистое состояние на смешанное. Чтобы было посложнее, докажите, что любое унитарное преобразование, в котором, возможно, задействована какая-то вспомогательная сис-тема, порождает некоторый супероператор и, наоборот, что любой супероператор может быть реализован как унитарное преобразование с возможным участием какой-то вспомогательной сис-темы.
Таким образом, возвращаясь к теме замкнутых времени-подобных траекторий, если мы начинаем с глобального унитарного преобразования как кубитов типа CTC, так и кубитов, уважающих причинность, а затем «исключаем» (или игнорируем) хронологически верные кубиты, то у нас остается некоторый выведенный путем индукции супероператор S, который действует на CTC-кубиты. Тогда Природа в противовес ему найдет смешанное состояние ρ, представляющее собой непо-движную точку преобразования S, то есть такую, что S(ρ) = ρ. Не всегда возможно найти чистое состояние ρ = |ψ〉| с такой характеристикой, но согласно обычной линейной алгебре (детали проработаны у Дойча) такое смешанное состояние всегда существует.
Упражнение для неленивого читателя. Докажите это.
Итак, ρ есть состояние непосредственно над CTC-кубитами. Единственная реальная причина для существования остальных кубитов — то, что без них супероператор всегда был бы унитарным, а в этом случае максимально смешанное состояние I всегда было бы неподвижной точкой. Это сделало бы модель тривиальной.
Согласно общему принципу, квантовые компьютеры способны имитировать классические, и (как несложно показать) при добавлении замкнутых времениподобных траекторий ситуация не меняется. Так что мы можем с уверенностью сказать, что BQPCTC включает в себя PSPACE. Но какова верхняя оценка BQPCTC?
EXPSPACE наверняка подойдет. Можете ли вы дать более точную верхнюю оценку?
Итак, нам дан n-кубитный супероператор (заданный явно в виде схемы), и мы хотим найти в нем неподвижную точку. По существу, это задача из линейной алгебры. Мы знаем, что вычисления линейной алгебры можно проделать за время, полиномиальное в размерности гильбертова пространства, которая в данном случае равна 2n. Это подразумевает, что мы можем имитировать BQPCTC в EXP. Так что мы теперь знаем, что BQPCTC располагается где-то между PSPACE и EXP. В моем обзорном докладе об NP-полных задачах и физической реальности[179] уточнение положения этого класса было названо главной нерешенной формальной задачей!
Около 2008 г. мы с Джоном Ватрусом сумели эту проблему решить[180]. Мы доказали, что BQPCTC = PCTC = PSPACE. Иными словами, если бы замкнутые времениподобные траектории существовали на самом деле, то квантовые компьютеры были бы не мощнее классических.
Студент: Знаем ли мы что-нибудь о других классах с замк-нутыми времениподобными траекториями? Таких как PSPACECTC?
Скотт: Этот класс тоже совпадает с PSPACE. С другой стороны, нельзя просто взять произвольный класс сложности и приписать к нему индекс CTC. Нужно сказать точно, что это означает, к тому же для некоторых классов (таких как NP) это вообще не имело бы смысла.
В последней части этой главы я могу намекнуть вам, почему BQPCTC ⊆ PSPACE. Если дан супероператор S, описанный полиномиального размера квантовой схемой, которая отображает nкубитов на n кубитов, то наша цель — вычислить смешанное состояние ρ, такое, что S(ρ) = ρ. Мы не сможем записать ρ явно (получится слишком длинно для памяти PSPACE-машины), но нам и нужно всего лишь имитировать результат некоторого полиномиального по времени вычисления, которое можно было бы произвести над ρ.
Пусть vec(ρ) — «векторизация» ρ (вектор из 22n компонент, по одному на каждый элемент матрицы ρ). Тогда существует матрица M размера 22n × 22n, такая, что S(ρ) = ρ для любого ρ в том и только том случае, когда M vec (ρ) = vec(ρ). Иными словами, мы можем просто расширить все, от матриц до векторов, и затем нашей целью будет найти a + 1 собственный вектор M.
Определим P:= limz→1 (1 – z) (I – zM)–1. Тогда по разложению в ряд Тейлора
Иными словами, P проецируется на неподвижные точки M. Для любых v имеем M(Pv) = (Pv).
Таким образом все, что нам теперь нужно сделать, это начать с какого-нибудь произвольного вектора v, скажем vec(I), где I есть максимально смешанное состояние, и затем вычислить:
Но как применить эту матрицу P в PSPACE? Ну, мы можем применить M в PSPACE, поскольку это всего лишь полиномиальное по времени квантовое вычисление. Но как насчет того, чтобы найти обратную матрицу? Здесь мы заимствуем кое-что из вычислительной линейной алгебры. Алгоритм Чанки, предложенный в 1970-х гг., позволяет нам вычислить матрицу, обратную матрице n × n, не просто за полиномиальное время, но при помощи схемы глубиной log2 n. Аналогичные алгоритмы реально используются сегодня, к примеру, при проведении научных расчетов с участием множества параллельных процессоров. Далее, «подняв все наверх» в показатели степеней, мы обнаруживаем, что можно обратить матрицу размером 22n × 22n при помощи схемы размером 2O(n) и глубиной O(n2). Но вычисление результата работы схемы экспоненциального размера и полиномиальной глубины (описанной неявно) — это расчет класса PSPACE, более того, это PSPACE-полный расчет. В качестве финального шага можно взять предел при z → 1 при помощи алгебраических правил и еще кое-каких фокусов, за которые мы должны благодарить Бима, Кука и Хувера[181].
Понятно, что я пропускаю здесь многие подробности.
Есть еще один дополнительный момент, о котором нужно поговорить: то, что этот P всегда проецируется на векторизацию матрицы плотности. Если посмотреть на степенной ряд выше, то каждое отдельное слагаемое там отображает векторизацию матрицы плотности на другую векторизацию, так что их сумма также неизбежно проецируется на векторизацию матрицы плотности. (Если вы беспокоитесь, к примеру, о нормализации, то и так сойдет.)
Поскольку в первый раз эта глава писалась в 2006 г., с тех пор появились кое-какие интересные продвижения и дополнения в вопросе о CTC-вычислениях, так что мне, пожалуй, следует сейчас «вернуться назад во времени» и рассказать о них! Во-первых, в квантово-вычислительном сообществе возникли споры о том, действительно ли модель причинно-следственной непротиворечивости Дойча — это «верный» взгляд на замкнутые времениподобные траектории. Началось все со статьи Беннетта с соавторами[182], которые указали, что позиция Дойча не учитывает «статистической интерпретации смешанных состояний». Иными словами, если подать состояние ρ = (ρ1 + ρ2)/2 на вход CTC-компьютера, результат может не совпасть с тем, что вы получите, если подадите ρ1 с вероятностью 1/2 и ρ2 тоже с вероятностью 1/2. Проблема особенно серьезна, если представить, что на вход CTC подается лишь половина от некоторого большего запутанного состояния, — в этом случае нет никакого определенного рецепта на то, что следует делать CTC-компьютеру. С одной стороны, вы могли бы сказать, что это совершенно неудивительно: в конце концов, весь смысл CTC-компьютера состоит в решении трудных задач путем разрушения линейности квантовой механики или даже классической теории вероятностей! А разрушая линейность, вы напрашиваетесь именно на подобного рода неполную определенность. С другой стороны, весьма неприятно все же столкнуться лицом к лицу с неполной определенностью.
Итак, что Беннетт и коллеги предлагают в качестве альтернативы? Их рецепт таков: если вы в принципе хотите говорить об CTC, то вам придется считать, что происходящее внутри замкнутой времениподобной траектории не связано причинными связями ни с чем в остальной Вселенной. В этом случае выходные состояния CTC могут оказаться полезными как «состояния квантового совета» (см. главу 14), но не более того. Так что, согласно Беннетту и компании, аналогом класса сложности BQPCTC на самом деле является подкласс BQP/qpoly. Мою собственную реакцию на это можно обозначить так: да, конечно, можно сделать и так, но по существу это сводится к утверждению о том, что замкнутых времениподобных траекторий не существует! Иными словами, если CTC по Дойчу и правда серьезно «больны», то такое решение проблемы напоминает мне тех медиков, которые способны покончить с болезнью, только убив пациента. Если исключить CTC из динамики, — если оговорить, что природа может снабжать нас определенными статичными «состояниям--советами», которые можно интерпретировать (если захочется) как неподвижные точки супероператоров, но при этом мы не имеем возможности задать свой собственныйсупероператор S и заставить природу найти для нас неподвижную точку S, — то можно спросить себя, в каком смысле мы все еще говорим об CTC.
Второй крупный залп в войнах при CTC прозвучал в 2009 г. с выходом статьи Ллойда с соавторами[183]. В отличие от группы Беннетта, эти авторы не хотели «определить CTC так, чтобы стало ясно, что их не существует». Они привели теоретическую модель их работы, принципиально отличную от модели Дойча. Поместить чистое состояние |ψ〉 замкнутую времениподобную траекторию, по существу, означает просто применить к |ψ〉 екоторое преобразование, затем провести проективное измерение, а затем процедурой поствыборавернуться назад, к тому же состоянию |ψ〉 с которого начали. Если пост-выбор пройдет успешно, то можно сказать, что |ψ〉 прошло сквозь время и встретилось с собой прошлым». Это порождает класс сложности, входящий в PostBQP, то есть квантовый полиномиальный по времени с поствыбором. В самом деле, несложно показать, что получается при этом в точности PostBQP, а это по моей теореме PostBQP = PP (см. главу 18) означает, что вы получаете в точности PP, который считается шире NP, но строго входит в PSPACE. На самом деле Ллойд с соавторами утверждают, что их модель «разумнее» модели Дойча, поскольку Дойч позволяет решать PSPACE-полные задачи полиномиальными средствами, тогда как они позволяют решать «всего лишь» PP-полные задачи! С другой стороны, есть и очевидный аспект, в котором их модель менее разумна, а именно: легко могут существовать поствыбранные измерения, которые имеют успех с нулевой вероятностью. (К примеру, если вы начинаете с кубита в состоянии |0〉 затем применяете к нему операцию не, а затем измеряете его в базисе {|0〉 |1〉, то вы никогда не найдете его в начальном состоянии.) По этой причине нельзя сказать, что модель Ллойда «разрешает парадокс дедушки» тем же способом, что модель Дойча. В самом деле, единственный способ разобраться с парадоксом дедушки — это считать, что небольшие ошибки всегда приводят к тому, что поствыбранные измерения оказываются успешными с ненулевой вероятностью. Это аналог старой идеи о том, что «если вернуться назад во времени и попытаться убить собственного дедушку, то обязательно обнаружишь, что либо ружье дало осечку, либо еще что-то загадочным образом не позволило вам этого сделать». (Чуть позже мы поговорим об этом подробнее.)
Лично я считаю, что Ллойд с соавторами говорит не столько о самих замкнутых времениподобных траекториях, сколько об определенных поствыбранных квантовомеханических экспериментах, которые «имитируют» или «моделируют» CTC. (В самом деле, одной из особенностей модели Ллойда является то, что по крайней мере при небольшом числе кубитов и умеренно большой вероятности успеха поствыбора требуемые эксперименты можно реально проделать. Более того, они были проделаны[184] и привели к совершенно предсказуемым результатам — и к совершенно предсказуемому недопониманию со стороны популярной прессы, которая честно сообщила, что физики экспериментально продемонстрировали квантовую машину времени.)
Самые большие, вероятно, перемены в моих представлениях об CTC-вычислениях произошли в результате осмысления позиции, которую Дойч изложил в своей первой статье, посвященной CTC. Я же непростительно пропустил этот момент и понял его лишь много позже, когда проводил семинар по теореме BQPCTC = PSPACE и философ науки Тим Модлин (присутствовавший в аудитории) буквально вынудил меня в нем разобраться. Суть в следующем: даже если (1) законы природы позволяют нам реализовать любую полиномиального размера схему C, какую захочется, и (2) нахождение неподвижной точки произвольной полиномиального размера схемы представляет собой PSPACE-полную задачу, это все же не подразумевает непосредственно, что мы могли бы использовать CTC для решения PSPACE-полных задач.
Проблема в том, что моделирование абстрактной схемы C «реальными» законами природы, даже если оно прекрасно работает в мире без CTC, вполне возможно, не сохраняет свойство, согласно которому задача поиска неподвижных точек является PSPACE-полной. Иными словами, не исключено, что законы природы, которые мы используем для реализации схемы, всегда разрешают какой-то «выход» — к примеру, в нужный компьютер попадает метеорит или этот компьютер таинственным образом не включается в нужный момент, — позволяющий сохранить причинно-следственную непротиворечивость внутри CTC, вообще не пуская в ход C. (Это, конечно же, вычислительный аналог «осечки ружья» в случае, если вы отправились в прошлое и пытаетесь убить своего дедушку.) Если так, то при запуске CTC-компьютера вы, возможно, всегда будете получать одну из никому не нужных и вычислительно неинтересных неподвижных точек, которые очень легко находятся.
Здесь вы можете возразить, что даже в обычной жизни, без всяких путешествий во времени, всегда есть вероятность того, что ваш компьютер будет разбит метеоритом или из-за какого-то другого непредвиденного происшествия вполне «реальный» процесс вычисления отклонится от своей абстрактной математической модели! Тем не менее мы, как правило, не считаем, что этот очевидный факт как-то отражается на нашей теории сложности или означает, к примеру, что законы природы вообще не поддерживают универсальных вычислений. Так чем же отличается ситуация в случае присутствия на сцене CTC? Тем, что в этом случае мы делаем кое-что новое и экзотическое: просим природу найти нам неподвижную точку заданного физического процесса, но не говорим, какую именно неподвижную точку. В такой ситуации, если вокруг имеются «обманные» неподвижные точки — те, что не соответствуют никаким неподвижным точкам первоначальной схемы C, которую мы моделируем, и не требуют решения каких бы то ни было трудных вычислительных задач, то почему бы Природе не полениться немного и не выбрать одну из таких точек вместо одной из «трудных» неподвижных точек? Если так, то в присутствии CTC «загадочные» отказы компьютеров были бы нормой, а не экзотической аберрацией.
Чтобы решить эту проблему, необходимо было бы показать, что поиск неподвижной точки в реальных уравнениях эволюции Вселенной — заданных Стандартной моделью, квантовой гравитацией, чем-то еще — является PSPACE-полной задачей (и также что можно в принципе задать нужные начальные состояния). Принципиально важно: здесь недостаточно указать, что законы природы универсальны по Тьюрингу, поскольку легко построить игрушечные образцы «законов природы», универсальных по Тьюрингу, для которых неподвижные точки будут легко находиться. (В качестве иллюстрации представьте, что всякая физическая сис-тема содержит «контрольный бит» b и что вселенная осуществляет универсальное вычисление при b = 1 или тождественное при b = 0. Такая вселенная была бы так же способна на универсальное вычисление, как и наша, но при этом она всегда могла бы выдавать фиктивные неподвижные точки, установив b = 0.) Мы с Ватрусом показали лишь, что существуют вычислительно эффективные законы, для которых поиск неподвижных точек — это трудная вычислительная задача, но вопрос о том, относятся ли законы нашей настоящей Вселенной к этой категории, остается открытым.
Интересно отметить, что, по мнению Дойча, CTC не должны позволять решение трудных вычислительных задач. Ведь если бы они это позволяли, то нарушали бы тем самым то, что Дойч называет «эволюционным принципом», — это принцип, согласно которому «знание может возникать только в результате эволюционных процессов» (или, если перевести это на язык теоретической информатики, что NP-полные и другие аналогичные задачи не должны «решаться как по волшебству»). Иначе говоря, Дойч сказал бы, что окончательные законы природы, каковы бы они ни были, непременно воспользуются этими фиктивными неподвижными точками, избавив таким образом природу от необходимости решать PSPACE-полную задачу, чтобы гарантировать непротиворечивость вокруг CTC. Лично мне подобные рассуждении кажутся странными. Если бы замкнутые времениподобные траектории существовали, они, очевидно, заставили бы нас пересмотреть чуть ли не все наши представления о пространстве, времени, причинности и многих других вещах. Что, позвольте спросить, дает Дойчу такую уверенность в том, что эволюционный принцип пережил бы такой переворот, при том что многие другие тоже казавшиеся фундаментальными интуитивные знания не пережили бы? Коли на то пошло, почему не подкрепить эволюционный принцип и еще много чего, просто предположив, что замкнутые времениподобные траектории не могут существовать, — такая гипотеза, судя по всему, полностью согласуется со всем, что нам известно?
Как обычно, я закончу загадкой для следующей главы. Предположим, вы можете установить при помощи CTC только один бит за раз. Можно сделать сколь угодно много замкнутых времениподобных траекторий, но через каждую из них можно переслать лишь один бит, а не полиномиальное их количество. (В конце концов, мы не хотим быть экстравагантными!) Можете ли вы решать в этой альтернативной модели NP-полные задачи за полиномиальное время?
Космология и вычислительная сложность
Загадка из предыдущей главы: что можно вычислить при помощи «узких» CTC, способных пересылать назад во времени только по одному биту?
Решение. Пусть x — уважающий хронологию бит, а y — CTC-бит. Далее присвоим x: = x ⊕ yи y:= x. Предположим, что Pr[x = 1] = p, а Pr[y = 1] = q. Тогда, исходя из причинной непротиворечивости, p = q. Следовательно, Pr[x ⊕ y = 1] = p(1 – q) + q(1 – p) = 2p(1 – p).
Так что мы можем начать с экспоненциально малого p, а затем последовательно увеличивать его. Таким образом мы можем решать NP-полные задачи за полиномиальное время (и PP тоже, при условии, что у нас имеется квантовый компьютер).
Я начну с космологической модели The New York Times, то есть с того, что можно было до недавнего времени прочитать в популярных статьях. Там говорилось, что все зависит от плотности вещества во Вселенной. Существует параметр Ω, представляющий плотность массы Вселенной, и если он больше единицы, то Вселенная замкнута. Это значит, что плотность вещества во Вселенной достаточно высока, чтобы после Большого взрыва непременно произошло Большое сжатие. Более того, если Ω > 1, то пространство-время обладает сферической геометрией (с положительной кривизной). Если Ω = 1, то геометрия пространства плоская и Большого сжатия не будет. Если Ω < 1, то Вселенная незамкнута и обладает гиперболической геометрией. Считалось, что возможны именно эти три случая.
Сегодня мы знаем, что эта модель ошибочна по крайней мере в двух отношениях. Первое, в чем она неверна, — это, разумеется, тот факт, что в ней не учитывается космологический член. Насколько астрономы могут судить, пространство вокруг нас приблизительно плоское. Иначе говоря, никто пока не зарегистрировал нетривиальной кривизны пространства-времени в масштабах Вселенной. Даже если кривизна есть (а это возможно), она достаточно мала. При этом старая картина Вселенной заставляет считать, что наша Вселенная находится на грани Большого сжатия: измени плотность вещества хотя бы чуть-чуть, и получишь сферическую Вселенную, которая когда-нибудь схлопнется, или же гиперболическую, которая будет расширяться вечно. Но на самом деле состояние Вселенной вовсе не находится рядом с режимом, который гарантировал бы Большое сжатие. Почему нам это не грозит? Ну, следует посмотреть, из чего состоит плотность энергии во Вселенной. Есть материя, которая включает обычное вещество и скрытую массу (темную материю), есть излучение, а есть еще знаменитый космологический член — константа, обнаруженная лет десять назад и описывающая плотность энергии пустого пространства. Их (нормализованная) сумма Ω, судя по всему, равна единице, насколько это возможно измерить. Это делает пространство плоским, но космологический член Λ не равен нулю, как считалось на протяжении почти всего XX века. Мало того, около 70% плотности энергии в наблюдаемой Вселенной (в этот период времени) приходится именно на космологическую константу.
Вдоль черной диаго-нальной линии располагаются точки, соответствующие плоскому пространству. Здесь плотности энергии, связанные с космологической константой и с веществом, в сумме дают единицу. В прежней теории никакой космологической константы не было, но пространство тоже было плоским, так что мы находимся на пересечении двух сплошных черных линий. Вы видите, что вторая сплошная линия постепенно начинает загибаться кверху. Если вы находитесь выше этой линии, то Вселенная расширяется вечно, а если ниже — то она со временем вновь схлопывается. Так что если вы находитесь на пересечении, то эта позиция действительно соответствует границе между расширением и сжатием. Но с учетом того, что 70% плотности энергии вселенной связано с Λ, мы, как вы видите, находимся где-то около пересечения диаго-нальной линии с внутренним овалом, то есть далеко от тех областей, где Вселенная схлопывается.
Но это только одно из ошибочных положений простой трихотомии «сферический/плоский/гиперболический». Еще одна ошибка связана с тем, что геометрия Вселенной и ее топология — два разных вопроса. Если мы считаем Вселенную плоской, из этого не следует непосредственно, что она бесконечна. При постоянной положительной кривизне она была бы конечна. Представьте себе Землю; узнав, что она обладает постоянной положительной кривизной, вы сделали бы вывод о ее шарообразности. Я имею в виду, что да, она могла бы уйти в бесконечность сразу за пределами вашего поля зрения, но считая, что ее кривизна везде одинакова, математически она должна завернуться либо в шар, либо в другую более сложную конечную фигуру. Однако если пространство плоское, то это ничего не говорит вам о его конечности или бесконечности. Оно может быть устроено похоже на компьютерную игру, в которой если вы уходите за пределы экрана с одной стороны, то тут же появляетесь с другой. Это вполне совместимо с геометрически плоской формой, но соответствовало бы замкнутой топологии. Таким образом, ответ на вопрос о конечности или бесконечности Вселенной состоит в том, что мы, к несчастью, этого не знаем. (Больше об этом вы можете узнать из работы Корниша и Уикса[185].)
Студент: Но при положительной кривизне возможно также что-то, что уходит в бесконечность, как параболоид.
Скотт: Да, но это уже не постоянная кривизна. Постоянная — значит, одинаковая всюду.
Студент: Мне кажется, во всех этих картинах до сих пор отсутствует время. Как мы считаем: что время началось в какой-то фиксированной точке и идет вперед или что время ходит по кругу и возвращается назад в минус бесконечность?
Скотт: Все эти картины сходятся на том, что когда-то был Большой взрыв, так? Все это варианты космологии Большого взрыва.
Студент: Но если время началось в какой-то конечной точке, то время конечно. Но теория относительности говорит нам, что между временем и пространством на самом деле нет никакой разницы, верно?
Скотт: Нет, она этого не говорит. Она утверждает, что время и пространство взаимосвязаны нетривиальным образом, но время имеет иную сигнатуру метрики (metric signature), нежели пространство. Замечу в скобках, что это моя любимая мозоль. Один физик даже спросил меня, как может P отличаться от PSPACE, поскольку «теория относительности говорит нам, что время и пространство — это одно и то же». Ну, суть в том, что время имеет отрицательную сигнатуру. Это связано с тем фактом, что в пространстве вы можете двигаться и вперед, и назад, а во времени — только вперед. В предыдущей главе мы говорили о замкнутых времениподобных траекториях CTC. Там смысл в том, что CTC позволяют вам двигаться назад во времени, и вследствие этого время и пространство как вычислительные ресурсы действительно становятся эквивалентными. Но до тех пор, пока движение во времени остается односторонним, время — не то же самое, что пространство.
Студент: А можем ли мы зайти в пространстве достаточно далеко, чтобы замкнуть петлю?
Скотт: Если бы ваша рука была достаточно длинной, могли бы вы вытянуть ее вперед и ударить себя в затылок? Как я уже говорил, ответ в том, что мы этого не знаем.
Студент: В том, что касается распределения массы, мне кажется, мы считаем его конечным из-за Большого взрыва.
Скотт: Это результат неверных представлений о Большом взрыве. Большой взрыв происходит не в одной точке пространства; Большой взрыв — это событие, при котором рождается пространство-время. Стандартная аналогия состоит в том, что галактики — это небольшие пятнышки на воздушном шарике, и при надувании шарика дело не в том, что точки разбегаются, дело в том, что шарик становится больше. Если пространство-время незамкнуто, то вполне может оказаться, что в момент Большого взрыва у вас вместо кучки спрессованного вещества на самом деле было бесконечное количество вещества. Со временем бесконечная Вселенная растягивается, но в любой момент времени она все равно продолжается бесконечно. Если посмотреть на наш локальный горизонт, то увидишь, как все объекты разбегаются прочь друг от друга, но это только потому, что мы не можем проникнуть за горизонт и увидеть, что происходит там. Так что Большой взрыв — это не какой-то взрыв, имевший место в определенное время в определенной точке пространства; это просто начало целого многообразия.
Студент: Но разве не должна при этом масса/энергия распространяться быстрее скорости света?
Скотт: Еще один хороший вопрос; я рад, что могу объяснить хоть что-то! В неподвижной сис-теме отсчета вы можете иметь две точки, которые, как кажется, удаляются друг от друга быстрее скорости света, но причина этого явления в том, что пространство в промежутке между ними расширяется. Эмпирическим фактом действительно является то, что далекие галактики уносятся прочь друг от друга быстрее света. Скорость света ограничивает скорость, с которой муравей может двигаться по поверхности раздувающегося шарика, а вовсе не скорость расширения самого шарика.
Студент: Значит, можно наблюдать, как объект уносится от тебя прочь быстрее скорости света?
Скотт: Ну, если бы какой-то свет был излучен давным-давно (скажем, вскоре после Большого взрыва), то к тому времени, когда он достигнет нас, мы, возможно, будем уверены, что галактика, его излучившая, сейчас удаляется от нас со скоростью, превосходящей скорость света.
Студент: Могут ли две галактики двигаться навстречу друг другу быстрее скорости света?
Скотт: При схлопывании могут.
Студент: Как мы обходим все те же старые парадоксы, которые возникают, когда мы разрешаем объектам двигаться быстрее света?
Скотт: Иными словами, почему расширение или сжатие со скоростями, превышающими скорость света, не порождает проблем причинности? Понимаете, именно в этом месте я начинаю уважать людей, которые по-настоящему понимают общую теорию относительности. Но позвольте и мне предложить объяснение: существуют, безусловно, возможные геометрии пространства-времени, к примеру те, в которых имеются кротовые дыры, или вращающаяся вселенная Гёделя, в которых имеются проблемы с причинностью. Но как насчет реальной геометрии, в которой мы живем? Здесь объекты просто удаляются друг от друга, и это невозможно использовать для пересылки сигналов со сверхсветовой скоростью. Что вы можете получить в нашей геометрии, так это объекты, которые расположены так далеко друг от друга, что, наивно говоря, они «никогда не должны были вступать в причинный контакт»; тем не менее они выглядят так, как если бы вступали. Так что гипотеза такова: в самом начале Вселенной был период стремительной инфляции, в ходе которого объекты могли прийти в равновесие между собой, и только после этого они были причинно разделены инфляцией.
Итак, что такое эта космологическая константа? По существу, это своего рода антигравитация. Это что-то, что вынуждает две заданные точки пространства-времени удаляться друг от друга с экспоненциально растущей скоростью. Какая здесь очевидная проб-лема? Как сказала мать одному из героев Вуди Аллена, «Бруклин не резиновый». Если расширение — такая важная сила во Вселенной, то почему она не действует в пределах нашей планеты или галактики? Потому что в нашем масштабе имеются другие силы, такие как гравитация, которые постоянно противодействуют расширению. Представьте себе два магнита на поверхности медленно надувающегося шарика: хотя шарик увеличивается, магниты держатся вместе. Только в масштабе всей Вселенной космологическая константа способна одержать победу над гравитацией.
Можно описать это в терминах масштабного фактора Вселенной. Измерим время t с начала Вселенной в покоящейся сис-теме отсчета, связанной с реликтовым космическим излучением (обычный прием). Насколько «велика» Вселенная в зависимости от времени? Или, формулируя более строго, как изменялось расстояние a(t) между двумя заданными точками как функция времени? Согласно инфляционной гипотезе, в самом начале — при Большом взрыве — в течение нескольких планковских времен происходит тот самый громадный экспоненциальный рост. После этого идет некоторое расширение, но есть уже и гравитация, которая пытается стянуть Вселенную обратно. Получается, что в этот период масштабный фактор увеличивается как t2/3. Через десять миллиардов лет после Большого взрыва, когда на Земле только начинает формироваться жизнь, космологическая константа начинает брать верх над гравитацией. После этого идет просто экспоненциальное расширение, как в самом начале, но не так быстро.
Интересный вопрос: почему все мы живем в период, когда космологическая константа дает 70%, а вещество — 30% плотности энергии? Почему бы одному из компонент не давать почти весь вклад, а второму не быть пренебрежимо малым? Почему существование человека укладывается в небольшое окошко, где оба компонента имеют один порядок величины? Конечно, можно воспользоваться антропным принципом: если бы мы жили в более позднюю эпоху, то здесь нас, может, было бы двое или трое, а остальные находились бы за космологическим горизонтом. Вселенная была бы куда менее наполненным местом.
Физики описали бы космологическую константу так, но я описал бы ее как просто величину, обратную числу битов, которые могут быть когда-либо использованы в вычислениях! Более точно:
В планковских единицах космологическая константа приблизительно равна 10–121, поэтому 10122 — приблизительно максимальное число битов, которые могут быть когда-либо использованы в вычислениях в физическом мире. (Позже мы еще поговорим о том, что конкретно имеется в виду под максимальным числом битов, которые могут быть задействованы в вычислениях.) На чем основана такая интерпретация космологической константы?
Студент: А каково определение космологической константы?
Скотт: Это энергия вакуума. Это с точки зрения физики. Люди не определяют явления и вещи, они их наблюдают. Они не знают, что такое на самом деле энергия вакуума, они просто знают, что она существует. Это энергия пустого пространства, происхождение которой может очень разным.
Студент: Усредненная?
Скотт: Ну да, но она, судя по всему, очень близка к постоянной всюду, где человек в состоянии ее измерить, и во времени тоже. Никто пока не обнаружил никаких отклонений от допущения о том, что она везде одинакова. Можно, к примеру, представить ее так: в вакууме всегда существуют пресловутые пары частица/античастица, они постоянно образуются и тут же аннигилируют друг с другом. Пустое пространство — чрезвычайно сложная штука! Поэтому неудивительно, наверное, что оно должно обладать ненулевой энергией. На самом деле в квантовой теории поля трудно объяснить не почему существует какая-то космологическая константа, а почему по величине она не в 10120 раз больше, чем на самом деле! Наивное рассуждение с позиций квантовой теории поля предсказывает, что вся вселенная должна попросту взорваться в одно мгновение.
Студент: Так что, это ΩΛ?
Скотт: Нет, ΩΛ — это всего лишь доля полной плотности энергии, обусловленной космологической константой. Так что этот параметр зависит также от плотности вещества и, в отличие от самой Λ, может изменяться со временем.
Чтобы понять, какое все это имеет отношение к вычислениям, нам придется отвлечься и поговорить немного о голографическом пределе. Это одна из очень немногих вещей, которые, похоже, мы все же знаем о квантовой гравитации; в этом вопросе специалисты по теории струн и сторонники петлевой квантовой гравитации сходятся. Плюс это некая граница, то есть оценка, а этим языком я владею. Мое рассуждение будет следовать неплохой обзорной работе Буссо[186]. Я включу эту статью в список обязательного чтения, но только для физиков.
Мы уже видели, что существует планковская площадь
Голографический предел гласит, что для любой области пространства-времени количество энтропии, которую вы можете поместить в эту область, или, с точностью до небольшой константы, число битов, которые вы можете заложить туда на хранение, не превосходит одной четверти площади поверхности этой области, измеренной в планковских единицах. Это самое удивительное: число битов, которые можно заложить на хранение, растет пропорцио-нально не объему области, а площади ее поверхности. Я могу показать вам, как это выводится (или, скорее, то, что физики принимают за вывод).
Студент: А этот вывод объясняет, почему нужно делить на 4, а не, скажем, на 3?
Скотт: Специалисты по теории струн считают, что у них есть объяснение этому. Это большой успех, который позволяет им взять верх над остальными квантовомеханическими подходами! У сторонников петлевой квантовой гравитации константы не сходятся, и им приходится подстраивать их вручную при помощи так называемого параметра Иммирци. (Примечание: после 2006 г. из лагеря петлевой квантовой гравитации появились утверждения о том, что эту проблему им удалось решить.)
Грубая интуиция говорит, что если вы пытаетесь построить куб из битов (скажем, жесткий диск) и делаете его все больше и больше, то рано или поздно он коллапсирует в черную дыру. После этого вы можете и дальше вкладывать туда все новые биты, но тогда эта информация просто прилипает к горизонту событий; как — этого никто до конца не понимает. И как бы то ни было, с этого момента содержание информации начинает расти пропорцио-нально площади поверхности.
Чтобы это «вывести», первое, что нам потребуется, — это так называемый предел Бекенштейна. Именно Бекенштейн еще в 1970-е гг. осознал, что черные дыры должны обладать энтропией. Почему? Если энтропии нет и вы роняете что-то в черную дыру, это что-то исчезает, что на первый взгляд нарушает второе начало термодинамики. Более того, черные дыры демонстрируют всевозможные однонаправленные свойства: в черную дыру можно уронить что-то, но невозможно извлечь это что-то обратно; можно смешать две черные дыры и получить третью, большего размера, но невозможно расщепить одну черную дыру на несколько более мелких. Косвенным образом это чрезвычайно сильно напоминает энтропию. Задним числом это очевидно даже мне.
Итак, что такое предел Бекенштейна? Это утверждение о том, что в планковских единицах энтропия S любой заданной области удовлетворяет условию
где k — постоянная Больцмана, E — энергия данной области, а R — ее радиус (опять же в планковских единицах). Почему это так? В сущности, эта формула объединяет π, постоянную Больцмана, постоянную Планка и скорость света, так что она просто обязана быть верна. (Я учусь думать как физик. Шучу!) Если серьезно, то она отталкивается от мысленного эксперимента, в котором мы роняем каплю какого-то вещества в черную дыру и выясняем, насколько должна увеличиться температура этой черной дыры (при этом мы используем физику, в которую здесь вдаваться не будем), а затем используем соотношение между температурой и энтропией, чтобы определить, насколько должна возрасти энтропия черной дыры. После этого мы применяем второе начало термодинамики и говорим, что капля, которую мы туда роняем, должна была иметь энтропию не более той, что получила при этом черная дыра. В противном случае полная энтропия Вселенной снизилась бы, что противоречит Второму началу.
Студент: А разве площадь не пропорцио-нальна квадрату радиуса?
Скотт: Пропорцио-нальна.
Студент: Тогда почему в формуле предела Бекенштейна фигурирует R, а не R2?
Скотт: Мы к этому подходим!
Это факт номер один. Факт номер два — это оценка Шварцшильда, которая гласит, что энергия сис-темы может быть не более чем пропорцио-нальна ее радиусу. В планковских единицах E ≤ R/2. Это опять же потому, что если бы вам пришлось паковать вещество/энергию более плотно, то рано или поздно они коллапсировали бы в черную дыру. Если мы хотим построить жесткий диск, в котором на представление каждого бита тратится фиксированное количество энергии, то мы можем изготовить одномерную ленту Тьюринга, которая будет продолжаться до бесконечности, но если попытаться сделать ее хотя бы двумерной, то, став достаточно большой, она коллапсирует в черную дыру. По этому соотношению, радиус черной дыры пропорционален ее массе (и энергии). Можно сказать, что черная дыра дает максимальный эффект: позволяет впихнуть в заданный радиус максимальное количество энергии. Так что черные дыры максимальны по крайней мере в двух отношениях: они имеют больше всего энергии на единицу радиуса и также больше всего энтропии на единицу радиуса.
Итак, если принять эти два факта, можно объединить их в одно утверждение:
S ≤ 2πER ≤ πR2 = A/4.
То есть энтропия любой области не превышает площади ее поверхности в планковских единицах, деленной на 4. Что до объяснения, почему мы делим здесь A на 4, то мы, в сущности, сводим задачу к объяснению, почему E ≤ R/2. π уходит, поскольку площадь поверхности сферы составляет 4πR2.
На самом деле с голографическим пределом, как я уже говорил, есть одна проб-лема: в некоторых случаях он откровенно не работает. Один из них — это замкнутое пространство-время. Допустим, пространство замкнуто — если идти достаточно далеко в одном направлении, то окажешься совсем с другой стороны, — и эта область как максимум пропорцио-нальна площади поверхности. Но откуда мне знать, что это внутренняя часть? Есть шутка про фермера, который пригласил математика, чтобы тот построил ему ограду максимально эффективным образом — то есть чтобы при заданном периметре, то есть длине ограды, внутри нее оказалась наибольшая возможная площадь. Математик построил крохотную круглую ограду, встал внутрь и объявил, что огородил всю остальную Землю, которая осталась снаружи. Вот и в нашем случае, может быть, внутри находится вся остальная вселенная! Ясно, что общее количество энтропии во всей остальной вселенной может быть больше площади поверхности этой крохотной, малюсенькой черной дыры или чего там еще. В общем, проб-лема с голографическим пределом в том, что он не является «релятивистски ковариантным». Площадь поверхности может быть одинаковой, но в одной сис-теме отсчета у вас голографический предел будет выполняться, а в другой — нет.
В любом случае представляется, что Буссо и другие, в сущности, решили эти проблемы. Делают они это так: смотрят на «нулевые гиперповерхности», составленные из траекторий фотонов (геодезических линий). Вот они релятивистски инвариантны. Так что идея в том, что у вас есть некоторая область и вы смотрите на световые лучи, исходящие от поверхности этой области. Далее вы определяете внутреннюю часть области как направление, в котором эти лучи сходятся. Преимущество такого подхода в том, что при переходе к другим сис-темам отсчета геодезические линии остаются на месте. Таким образом, голографический предел следует интерпретировать как верхнюю оценку количества энтропии, которое можно увидеть в той или иной области, если двигаться от ее поверхности внутрь со скоростью света. Иными словами, энтропия, количество которой вы оцениваете сверху, — это та энтропия, которую вы увидели бы вдоль этих нулевых гиперповерхностей. Кажется, что такой подход позволяет решить проблему.
Но какое отношение все это имеет к вычислениям? Вы могли бы сказать, что если Вселенная бесконечна, то в принципе, очевидно, можно провести сколь угодно длинное вычисление. Просто потребуется достаточно длинная лента для машины Тьюринга. Что не так с этим аргументом?
Студент: Лента схлопнется в черную дыру?
Скотт: Как я уже сказал, лента может быть одномерной и сколь угодно длинной.
Студент: А что если лента начнет удаляться от вас?
Скотт: Верно! Вот ваши биты перед вами, а потом стоит вам отвернуться всего лишь на пару десятков миллиардов лет — и они из-за расширения Вселенной отдалились от вас и пропали за космологическим горизонтом.
Смысл в том, что недостаточно просто иметь все эти биты доступными где-то во Вселенной. Вы должны иметь возможность контролировать их все и задавать их, а затем вам важно иметь доступ к ним позже, в ходе вычисления. Буссо формализует эту идею при помощи штуки, которую он называет «ромбом причинности», но я бы назвал просто вычислением с входом и выходом. Идея в том, что у вас есть некоторая начальная точка P и конечная точка Q, а затем вы смотрите на пересечение светового конуса, направленного вперед из точки P, и светового конуса, направленного назад из точки Q. Это и есть ромб причинности.
Идея в том, что в любом эксперименте, который мы реально можем провести (в любом вычислении, которое мы реально можем осуществить), у нас обязательно будет некая начальная точка эксперимента и некая конечная точка, где мы получаем свои данные (считываем выходные данные). Нам важно не полное количество энтропии во Вселенной, но лишь полное количество энтропии, которая может содержаться в одном из таких ромбов причинности.
С тех пор Буссо опубликовал еще одну статью[187], в которой утверждает, что если вы находитесь в пространстве де Ситтера — то есть в пространстве с космологической константой — примерно таком же, как пространство, в котором мы, судя по всему, живем, то количество энтропии, которая может содержаться в одном из таких ромбов причинности, не превышает 3π/Λ. Вот почему в нашей Вселенной существует предел, приблизительно равный 10122 бит. Смысл в том, что Вселенная расширяется с экспоненциальной скоростью, и поэтому точка, расположенная в настоящий момент на линии нашего горизонта, еще через 15 млрд лет или около того (то есть еще через нынешний возраст Вселенной) окажется от нас на расстоянии в некоторое постоянное число раз больше.
Студент: Где вы помещаете точки P и Q, чтобы получить это число?
Скотт: Их можно поместить где угодно. Вы ищете максимум по всем P и Q. Именно это здесь главное.
Студент: И где же этот максимум возникает?
Скотт: Ну, выбираем P где угодно, затем выбираем Q, скажем, в паре десятков миллиардов лет в ее причинном будущем. Если через 20 млрд лет или около того вы еще не свернете свое вычисление, то данные на другом конце памяти отступят за ваш космологический горизонт. Невозможно на самом деле построить работающий компьютер, радиус которого будет больше 20 млрд световых лет. Это неприятная, но правда.
Студент: Меняется ли Λ со временем?
Скотт: Преобладает мнение, что нет. Могла бы, в принципе, но существуют довольно сильные экспериментальные ограничения в отношении того, на сколько. А вот доля ΩΛ плотности энергии, приходящаяся на Λ, изменяется точно. По мере того как Вселенная становится все более и более разреженной, доля энергии, за которую отвечает Λ, становится все больше и больше, хотя сама Λостается неизменной.
Студент: Но радиус Вселенной меняется.
Скотт: Да. В нынешнюю эпоху мы видим все больше и больше прошлого, по мере того как свет доходит до нас из все более отдаленных мест. Но как только Λ начнет брать верх над веществом, радиус наблюдаемой Вселенной стабилизируется в состоянии примерно 10 млрд световых лет или около того.
Студент: Почему именно 10 млрд световых лет?
Скотт: Потому что с вашей точки зрения объекты, находящиеся на этом расстоянии, будут удаляться от вас со скоростью света, если нет уравновешивающего влияния гравитации.
Студент: Так это просто совпадение, что нынешний размер наблюдаемой Вселенной составляет примерно такую величину?
Скотт: Либо совпадение, либо нечто более глубокое, чего мы пока до конца не понимаем!
Все это прекрасно, но я обещал, что мы еще поговорим о вычислительной сложности. Итак, если голографический предел в сочетании с космологической константой накладывает конечный верхнюю границу на число битов в любом возможном вычислении, то можно было бы сказать, что мы можем решать только задачи, решаемые за постоянное время! При этом есть ощущение, что в каком-то смысле это сводит на нет всю теорию вычислительной сложности. К счастью, из этого тупика есть элегантный выход: мы говорим, что теперь нас интересует асимптотика не только по n(размеру входной строки), но и по 1/Λ. Забудьте на время, что Λ имеет известное (крохотное) значение, и представьте ее себе как переменный параметр — и теория сложности вернется!
Принимая этот момент во внимание, позвольте мне заявить следующее: предположим, что вселенная (1 + 1)-мерна, то есть имеет одно пространственное и одно временное измерение, и характеризуется космологической константой Λ. Тогда класс задач, которые мы в состоянии решить, входит в DSPACE (1/Λ): это класс задач, которые способна решить детерминистская машина Тьюринга с использованием ~1/Λ клеток ленты. Более того, он равен DSPACE (1/Λ), в зависимости от того, какие допущения вы готовы сделать о физике процесса. И уж во всяком случае он включает DSPACE (1/√Λ).
Во-первых и в-главных: почему мы не можем сделать больше чем DSPACE (1/Λ)?
Ну, если подходить к вопросу формально, позвольте мне определить модель вычисления, которое я назову машиной Тьюринга для космологической константы. В этой модели у нас есть бесконечная лента для машины Тьюринга, но теперь на каждом шагу по времени, между каждыми двумя клетками, существует независимая вероятность Λ того, что сформируется новая клетка с символом «*» в ней. На первый взгляд это кажется разумной моделью того, как Λ будет влиять на вычисление. Далее, если считывающая головка машины находится на некоторой клетке, то клетки на расстоянии 1/Λ от нее будут выглядеть удаляющимися от головки со скоростью в среднем одна клетка за шаг. Таким образом, вы не можете рассчитывать добраться до этих клеток хоть когда-нибудь. Всякий раз, когда вы будете делать шаг в их направлении, где-то в промежутке, вероятно, будет возникать новая клетка. (В этой модели скорость света можно считать равной одной клетке за шаг по времени.) То есть класс задач, которые вы будете в состоянии решить, обязательно войдет в DSPACE (1/Λ), поскольку вы всегда можете просто записать содержимое клеток в пределах расстояния 1/Λ от текущего положения головки и не обращать внимания на все остальные клетки ленты.
Но можем ли мы в реальности получить DSPACE (1/Λ)? Можно придумать очень простой алгоритм, позволяющий это сделать. А именно: представьте себе свои 1/Λ битов как стадо животных, которые постоянно норовят разойтись в разные стороны. Вам приходится непрерывно сдерживать их при помощи лассо, подобно этакому космологическому ковбою. Иными словами, ваша считывающая головка будет просто шагать вперед и назад по очереди, сжимая биты, которые постоянно норовят расползтись, и одновременно выполняя вычисления с ними. Далее, вопрос в том, сможете ли вы на самом деле удержать биты при помощи лассо за время О (1/Λ)? Я не писал для этого доказательства, но я не думаю, что это можно сделать за время меньшее чем ~1/Λ2 при помощи стандартной считывающей головки машины Тьюринга (не обладающей, к примеру, способностью уничтожать клетки ленты). С другой стороны, вы определенно можете удержать ~1/√Λ битов за время О(1/Λ). Следовательно, вы можете вычислить DSPACE (1/√Λ). Я предполагаю, что это строгая оценка.
Второй интересный момент — то, что в пространстве двух и более измерений вы не получите той же самой картины. В двух измерениях радиус тоже удваивается за время, примерно равное 1/Λ, но даже для того, чтобы посетить все биты, которые нужно удерживать, здесь требуется время порядка 1/Λ2. Так что мы можем спросить, существует ли что-то, что мы можем сделать за время 1/Λ на двумерной квадратной решетке, чего мы не можем сделать за время 1/Λ на одномерной ленте. Вы здесь имеете 1/Λ2 пространство, и интуитивно кажется, что невозможно за время 1/Λиспользовать больше чем 1/Λ клеток решетки; непонятно, однако, действительно ли это так. Разумеется, если хочется повеселиться, вы можете задать все те же вопросы для квантовой машины Тьюринга.
Еще о чем можно спросить, это о сложности запросов (query complexity) в этой модели. К примеру, допустим, что вы потеряли ключи и они могут при этом оказаться в любой точке вселенной. Если они находятся где-то в пределах вашего космологического горизонта, а ваше пространство одномерно, то вы в принципе можете их найти. Вы можете пройти все пространство в пределах своего горизонта за время O(1/Λ). Но уже при двух измерениях число локаций, которые вы в состоянии проверить прежде, чем большая часть наблюдаемой вселенной отступит за горизонт, сходно лишь с корнем квадратным от числа всех возможных локаций. Вы можете выбрать какое-то отдаленное место, переместиться туда, — и к моменту вашего возвращения область удвоится в размерах.
В квантовом случае есть выход: воспользоваться алгоритмом Гровера! Напомню: алгоритм Гровера позволяет нам провести поиск в базе данных, содержащей N записей, всего за √N шагов. На первый взгляд этого достаточно, чтобы просмотреть двумерную базу данных размером порядка наблюдаемой вселенной. Но есть одна проб-лема. Представьте, как на самом деле работает алгоритм Гровера. Шаги-запросы в нем чередуются с шагами увеличения амплитуд. Для этого нужно собрать все эти амплитуды в одном месте, так чтобы над ними можно было осуществить предложенную Гровером операцию отражения. Если представить себе квантового робота, который ищет что-то в двумерной базе данных размером √N × √N, то ему потребуется всего лишь √Nитераций алгоритма Гровера, поскольку всего в базе содержится N записей, но каждая итерация займет √N времени, поскольку роботу придется собирать результаты всех запросов. Это проб-лема, поскольку мы при этом не получаем, кажется, никаких преимуществ по сравнению с классическим случаем. Следовательно, предложенное решение по поиску в базе данных размером со вселенную, судя по всему, работать не будет. Хотя при трех измерениях оно, кажется, все же даст нам некоторое преимущество. Если представить себе трехмерный жесткий диск, то длина стороны здесь будет равна N1/3, так что нам потребуется √N итераций по Гроверу, каждая из которых займет время N1/3; в итоге суммарное время составит N5/6. Это, по крайней мере, чуть лучше, чем N. По мере увеличения числа измерений полное время будет постепенно приближаться к √N. К примеру, если бы пространство имело 10 полноценных измерений, мы имели бы суммарное время операции, равное N12/22.
В работе, написанной мною в соавторстве с Андрисом Амбайнисом[188] много лет назад, мы показали, что можно воспользоваться рекурсивным вариантом алгоритма Гровера для поиска в двумерной решетке с затратами времени порядка √N log3/2 N. Для трех и более измерений порядок времени составит просто √N. Я могу высказать кое-какие самые базовые догадки о том, как работает наш алгоритм. При этом используется стратегия «разделяй и властвуй», то есть вы делите свою решетку на кучку меньших решеток. После этого вы можете и дальше делить эти меньшие решетки на еще более мелкие подрешетки и применять к каждой подрешетке местный процесс алгоритма Гровера.
В качестве первого шага можно сказать даже, что вы просматриваете каждую строку отдельно. Просмотр каждой строки занимает всего √N времени, а затем вы можете вернуться назад и собрать все результаты воедино. После этого можно провести поиск Гровера по √N строк, каждый проход займет время N1/4; полное время при этом получится равным N3/4.
Это первый способ решить задачу. Позже другие люди открыли более простой и удачный способ ее решения с использованием метода квантовых случайных блужданий. Сводится, однако, все к тому, что при наличии двумерной базы данных размером со вселенную мы реально можем просмотреть ее в поисках конкретного объекта прежде, чем он исчезнет за космологическим горизонтом. Можно провести только один такой поиск или, в лучшем случае, постоянное их число, но по крайней мере можно найти таким образом одну вещь, в которой мы отчаянно нуждаемся.
Задавайте вопросы!
Напомню: эта книга основана на курсе лекций, прочитанном мной в 2006 г. В последний день занятий, следуя прекрасной традиции, заведенной еще Ричардом Фейнманом, я предложил студентам задавать мне любые вопросы. У Фейнмана, по правилам, можно было спрашивать о чем угодно, за исключением политики, религии и итогового экзамена. В моем случае никакого экзамена не предусматривалось, и я даже не стал исключать политику и религию. В этой главе собраны некоторые из вопросов, которые мне тогда задали, вместе с моими ответами.
Студент: Задумываетесь ли вы об использовании теоретической информатики в физике? Может быть, она могла бы ограничить что-то или натолкнуть нас на какие-то новые физические теории? Как вы считаете, не можем ли мы с ее помощью открывать физические теории, которые обеспечат нам более мощные модели, чем квантовые вычисления?
Скотт: Можно ли считать BQP концом пути или нас ждут новые открытия? Фантастический вопрос, и мне хотелось бы, чтобы об этом думало как можно больше людей. Я в этом вопросе поведу себя как политик и не стану отвечать прямо, поскольку очевидный ответ звучит очень просто: «Не знаю». Мне кажется, вся идея науки состоит в том, что если мы не знаем ответа, мы не пытаемся высосать его из пальца или еще как. Мы стараемся обосновывать свои ответы. Так что пока все, что нам известно, согласуется с гипотезой о том, что квантовые вычисления — действительно конец пути. Грег Куперберг привел аналогию, которая мне понравилась. Он сказал, что есть люди, которые говорят: вот, мы перешли от классической механики к квантовой, какие нас еще ждут сюрпризы? Но, может быть, здесь как с Землей. Сначала люди считали, что Земля плоская, а затем, открыв ее шарообразность, говорили, что, может быть, она обладает топологией бутылки Клейна. Да, в заданном направлении есть неожиданности, но когда вы в них разобрались и их приняли, дальше в этом направлении уже может не быть дальнейших неожиданностей.
Земля сегодня такая же круглая, какой была при Эрато-сфене. Мы с вами говорили о странном свойстве квантовой механики, о том, что она кажется очень хрупкой теорией. Даже в общей теории относительности можно представить какие-то изменения и нововведения, скажем торсионные поля или еще что-то. Но в квантовой механике очень трудно что-то варьировать, в ней сразу же возникают противоречия. Разумеется, это никак не доказывает, что за ней ничего нет. В XVIII веке, вероятно, тоже казалось, что невозможно играть с евклидовой геометрией, не порождая противоречий. С другой стороны, сам факт, что нечто можно себе представить, не означает, что на проработку этого нечто следует тратить время. Итак, существуют ли реальные мысли о том, что могло бы стоять за квантовой механикой?
Ну, по квантовой гравитации имеются такие идеи, в которых, похоже, нет даже унитарности — даже вероятности там в сумме не дают единицы. Оптимист здесь воскликнул бы: «Ага! Мы нашли что-то за пределами квантовой механики!» А пессимист сказал бы, что все эти теории (в их нынешнем виде) полная чепуха, и когда специалисты по квантовой гравитации разберутся наконец в том, чем занимаются, унитарность вернется. Еще есть явления, которые, кажется, немного меняют наши представления о квантовой механике. Среди них проб-лема исчезновения информации в черной дыре:
Вот вы падаете в черную дыру. Основная проб-лема в том, что вся информация о вас — если вы падаете в черную дыру — позже, как предполагается, выходит наружу в виде излучения Хокинга. Если физика за пределами горизонта событий унитарна, то эта информация просто обязана выйти. Но мы не знаем в точности, как именно выходит информация. Если провести полуклассическое вычисление, получится, что выходит только тепловой шум. Однако большинство физиков (и даже Хокинг) в настоящий момент считают, что если бы мы на самом деле понимали, что происходит, то увидели бы, что информация и правда выходит.
Проблема в том, что, оказавшись внутри черной дыры, вы даже не приближаетесь к горизонту событий. Вы направляетесь прямо в сингулярность. С другой стороны, если черная дыра должна постепенно выпускать из себя информацию, то представляется, что эта информация должна каким-то образом находиться на горизонте событий или совсем рядом с ним. Это особенно верно, поскольку мы знаем, что количество информации в черной дыре пропорцио-нально площади ее поверхности. Но вы, с вашей точки зрения, находитесь где-то далеко внутри. Так что создается впечатление, что информация должна находиться в двух местах одновременно.
Во всяком случае, одно из предположений, которые выдвигают такие люди, как Герард т'Хоофт и Ленни Сасскинд, состоит в том, что да, информация действительно «дублируется». На первый взгляд, это нарушение унитарности, в первую очередь теоремы о запрете клонирования. Но, с другой стороны, как можно увидеть обе копии этой информации? Если вы внутри черной дыры, вы никогда не увидите внешнюю копию. Можно представить себе, что если кому-то отчаянно захочется выяснить, нарушается ли здесь теорема о запрете клонирования, — настолько отчаянно, что он готов будет пожертвовать ради этого своей жизнью, — то можно сначала измерить внешнюю копию, а затем прыгнуть в черную дыру и поискать там копию внутреннюю. Но вот что забавно: кое-кто уже успел посчитать, что произойдет, если попытаться так сделать; выяснилось, что придется очень долго ждать, пока информация выйдет наружу в виде излучения Хокинга, и к тому времени, когда одна копия выйдет наружу посредством излучения Хокинга, другая уже достигнет сингулярности. Такое впечатление, что какой-то цензор не позволяет вам увидеть обе копии этой информации одновременно. Так что с точки зрения любого наблюдателя унитарность сохраняется. Забавно, что есть какие-то мелочи, которые, кажется, могли бы вызвать конфликт с квантовой механикой или привести к более мощной модели вычисления, но стоит к ним как следует приглядеться, и так казаться перестает.
С тех пор, как я впервые написал эту главу в 2006 г., события на фронте черных дыр развивались активно и очень интересно. Помимо прочего, появились новые аргументы, согласно которым давно сложившиеся представления о том, что наблюдатель, падающий в черную дыру, при прохождении горизонта событий «не увидит ничего особенного» и заметит безумные квантово-гравитационные эффекты лишь за доли секунды до аннигиляции в сингулярности, может оказаться ошибочным. Напротив, теория квантовой гравитации вполне может понадобиться даже для предсказания того, что такой наблюдатель увидит непосредственно на горизонте событий!
Первое указание на это пришло из работы специалиста по теории струн Самира Матхура вместе с образом черной дыры, получившим прозвище «пушистого клубка»[189]. На такую гипотезу Матхура подвигло проистекающее из теории струн «соответствие AdS/CFT[190]», которое определяет некоторые квантовые теории гравитации для D пространственных измерений так: сначала строятся обычные квантовые теории поля для D — 1 пространственных измерений, а затем говорится, что D-мерная квантовая гравитация — это всего лишь «дуальное описание» квантовой теории поля для пространства меньшей размерности. Если соответствие AdS/CFT верно, то, по крайней мере в теории струн черные дыры должны описываться средствами совершенно обычной, унитарной, обратимой квантовой механики, из чего затем следует, что попадающие в черную дыру биты информации должны каким-то образом выходить оттуда в виде излучения Хокинга. Проблема в том, что этот абстрактный аргумент не поясняет, как именно эти биты выбираются наружу или хотя бы как это в принципе возможно, при том что полуклассический расчет Хокинга свидетельствует об обратном. Так что Матхур решил просчитать, что происходит в некоторых «модельных сценариях» теории струн, которые учитывают хотя бы некоторые аспекты физических черных дыр. Обнаружил он — или утверждает, что обнаружил, — что «область квантово-гравитационных странностей» не остается крохотной (планковского размера) штучкой в сингулярности, но вместо этого увеличивается в размерах до тех пор, пока не превратится в сложный «пушистый клубок», заполняющий всю область в пределах горизонта событий. Так что в этой картине причина, по которой биты информации могут выйти наружу в виде излучения Хокинга, по существу, та же, по которой биты, описывающие кусок угля, могут выйти наружу при сжигании этого угля, а именно потому, что эти биты имеютсяна поверхности!
Матхур, однако, не говорил явно, что большой наблюдатель, падающий в черную дыру, увидит на горизонте событий что-то особенное, более того, он предполагал, что существует «приблизительное дуальное описание», верное для реалистичных по размеру наблюдателей, согласно которому эти наблюдатели проследуют сквозь горизонт событий до самой сингулярности, в точности так, как предсказывает классическая общая теория относительности. Это описание будет верным, несмотря на тот факт, что в определенном смысле «настоящая физика» происходит на поверхности этого пушистого клубка, в месте, которое мы привыкли называть горизонтом событий.
Не так давно, однако, появились доводы[191] в пользу того, что наблюдатель все же встретитнечто особенное на горизонте событий: что на самом деле он просто наткнется там на «файервол» в первоначальном смысле слова, то есть на огненную стену, и сгорит задолго до того, как хотя бы приблизится к сингулярности! Или, по крайней мере, даже если ничего такого не случается в «молодых» черных дырах, то непременно случится в «старых», тех, которые уже излучили по крайней мере половину своих битов в виде хокинговского излучения. Я не смогу воспроизвести обоснование этого предсказания во всех подробностях, но основано оно на модифицированной версии парадокса Хокинга, связанного с исчезновением информации в черной дыре. В момент подготовки американского издания этой книги (январь 2013 г.) специалисты, кажется, находились в сомнениях по поводу «файервола», и даже некоторые эксперты меняли свое мнение чуть ли не каждый месяц.
Чем бы ни закончилось разбирательство, я лично, признаюсь, почувствовал облегчение от такого развития событий, поскольку они очень созвучны невнятному ощущению, возникшему у меня после знакомства с проблемой исчезновения информации в черной дыре, а именно что на горизонте событий должно происходить что-то «физически особенное», несмотря на то, что классическая общая теория относительности утверждает обратное.
Я имею в виду вот что. Рассмотрим ситуацию с точки зрения наблюдателя Алисы, находящейся вне черной дыры и наблюдающей за происходящим в то время, как ее полоумный приятель Боб прыгает в черную дыру. Хорошо известно, что, поскольку по мере приближения к горизонту событий свету требуется все больше и больше времени на уход от черной дыры, Алиса на самом деле никогда не увидит, как Боб исчезает за горизонтом событий. Вместо этого Алисе будет казаться, что Боб все ближе и ближе подлетает к горизонту, но так за него и не уходит. По современным представлениям, квантовая информация, соответствующая Бобу, на самом деле «размажется» тонким слоем по всему горизонту событий с невероятной скоростью. Затем Алиса, если подождет лет примерно 1070, увидит, как горизонт событий, по которому размазало ее приятеля, медленно испаряется туманом хокинговского излучения — туманом, информационное содержание которого пропорцио-нально площади горизонта событий в планковских единицах. Опять же по современным представлениям, если Алиса достаточно тщательно соберет и сложит вместе все кусочки хокинговского излучения, то она сможет, в принципе, восстановить те самые «кубиты Боба», которые упали в дыру. Теперь, учитывая все это, я спрашиваю вас: правдоподобно ли описание горизонта событий как совершенно обычного места без всяких странных квантово-гравитационных эффектов и можно ли говорить, что вся новая физика должна быть сосредоточена в крохотной сингулярности? Я говорю: нет, и физики, кажется, все больше склоняются к тому же мнению!
Но даже если мы согласимся с этим, остается вопрос о том, возможна ли «комплементарная» точка зрения, а именно точка зрения Боба, согласно которой он проходит горизонт событий без происшествий и живет еще, может быть, несколько часов (в случае сверхмассивной черной дыры, подобной той, что находится в центре нашей Галактики), пока не погибнет страшной смертью в сингулярности. Может, такая точка зрения возможна, может, нет, а может, возможна только в приблизительном варианте. Забавно, но не очевидно даже, относится ли вопрос о том, что «испытывает» Боб после прохождения горизонта событий, к компетенции науки! Ведь что бы ни испытывал Боб, даже если ничего, он никак не сможет сообщить об этом тем, кто остался вне черной дыры. Правда, информация о нем со временем выйдет наружу в виде тонких корреляций между фотонами хокинговского излучения, но процесс, порождающий эти фотоны, нисколько не хуже можно было описать с «комплементарной» позиции Алисы, с ее точки зрения, согласно которой Боба просто размазало по горизонту событий, и он вообще его не прошел! При этом Алисе не придется даже упоминать о «переживаниях» Боба после прохождения горизонта событий. Так что в каком смысле последние часы субъективного осознания себя Бобом — часы между прохождением горизонта событий и попаданием в сингулярность — реально «существуют»? Один Боб знает!
Конечно, вы могли бы возразить, что ситуация здесь не слишком отличается от обычной, в какой находимся мы все и все время по отношению к чужим, не нашим сознаниям. Философски говоря, Алиса не может быть абсолютно уверена в том, что существует «нечто, испытываемое как» быть Бобом, даже если Боб сидит с ней за одним столом в кливлендской квартире, а не несется кувырком в сингулярность черной дыры. Я бы сказал, что здесь, как часто бывает, физика просто «проводит нас по кругу» и вынуждает посмотреть на древнюю философскую загадку с новой стороны, в данном случае — через возможность двух комплементарных описаний, по одному из которых Боба размазывает в блин толщиной порядка планковской длины, а по второму он проживает еще несколько часов.
Оставив в стороне субъективные переживания Боба, заметим, что все современные представления о черных дырах соглашаются, кажется, в одном: нет нужды хотя бы чуть-чуть менять квантовую механику. Да, черные дыры — чудесная и пугающая лаборатория принципов квантовой механики, но очень многое, судя по всему, свидетельствует о том, что в конечном итоге они, как и прочие физические объекты, не противоречат этим принципам. Но если так, если даже самые экстремальные объекты, самые модные источники гравитации во Вселенной не разрушают квантовую механику, то становится гораздо труднее вообразить, что могло бы ее разрушить. Что-то космологическое? Что-то из самого начала времен? Из связи между сознанием и мозгом? Конечно, все возможно, но очень может быть также, что нам придется примириться с возможностью того, что квантовая механика фундаментально верна.
И это наконец приводит меня к главному моменту этого долгого отступления и поводу его завершить. Фигурально выражаясь, физики к настоящему времени заглянули во многие уголки вселенной, но не обнаружили там никаких явлений, которые могли бы образовать класс сложности, превосходящий наши вычислительные возможности сильнее, чем BQP — класс задач, решаемых квантовым компьютером с ограниченной ошибкой за полиномиальное время. Это не значит, что ничего подобного никогда не произойдет, просто BQP оказался чрезвычайно серьезным противником.
Во всяком случае, ориентироваться на физику — «очевидный» способ разобраться с тем, что может быть за BQP. Второй способ — попытаться найти ответ на этот вопрос внутри теории вычислительной сложности. Иными словами, мы можем спросить с чисто математической позиции, какие разумные с виду классы сложности могут быть выше BQP; когда-нибудь, возможно, новая физическая теория сможет правдоподобно их обосновать.
Первое, что мы замечаем, задав этот вопрос, — это то, что вычислительные модели, дающие нам больше чем BQP, дают в большинстве своем намного больше: позволяют решать не только NP-полные задачи за полиномиальное время, но часто даже PP-полные и PSPACE-полные задачи. Именно так происходит, к примеру, при добавлении нелинейностей, поствыбранных измерений или замкнутых времениподобных траекторий. И конечно, хотя все эти модели логически возможны, мне они представляются не просто слишком фантастическими, но и слишком скучными! В прошлом Природа всегда оказывалась коварнее, чем мы ожидали; она всегда находила способ дать нам то, что мы хотели, но не целиком. Итак, предположим, что мы хотим точно знать, что существует нечто более мощное, чем квантовые вычисления, но при этом такое, что все же не может решать NP-полные задачи за полиномиальное время. Сколько у нас тогда «места» для такой модели? У нас действительно есть задачи, которые вроде бы проще NP-полных, но все же слишком сложны, чтобы эффективно решаться квантовым компьютером. Два примера таких задач — это изоморфизм графа и проб-лема кратчайшего вектора. Они очень «близки» к NP-полным, но, вероятно, все же не совсем; представляется, что эти задачи сводятся к инвертированию односторонних функций и различению функций случайных и псевдослучайных.
Много лет назад я предложил пример вычислительной модели (обсуждается в главе 12), в которой вы видите всю историю скрытой переменной в ходе квантового расчета. Я привел свидетельства того, что в этой модели вы действительно получаете больше, чем при обычных квантовых вычислениях, — к примеру, вы решаете задачи об изоморфизме графа и об аппроксимации кратчайшего вектора, — но по-прежнему не можете решать NP-полные задачи. С другой стороны, признаю, что моя модель была довольно искусственной. Так что, возможно, прежде чем дойти до NP-полных задач, нам все же придется сделать еще один драматический шаг, но я в этом не уверен.
Студент: Откуда вы знаете, что шаг этот один? Теоретически между двумя задачами всегда можно втиснуть еще одну.
Скотт: Разумеется, но вот какое дело: никто не интересовался квантовыми вычислениями, когда Бернштейн и Вазирани выяснили, что с их помощью можно решить задачу рекурсивной выборки Фурье. Интерес возник только тогда, когда обнаружилось, что таким способом можно решать задачи, которые и раньше считались важными, такие как разложение на простые множители. Так что если мы оценим нашу гипотетическую новую модель по тем же стандартам и спросим себя, какие задачи из тех, что мы считаем важными, она может решить, то, возможно, окажется, что между разложением на простые множители и NP-полной задачей их вмещается не так уж много. Опять же может существовать какая-то модель, которая позволит нам зайти чуть дальше BQP, скажем решить задачу об изоморфизме графа или задачу о скрытой подгруппе еще для нескольких неабелевых групп, но, по современным представлениям, «место» между BQP и NP-полными задачами ограничено.
Студент: Откуда вообще берутся оракулы?
Скотт: Их просто определяют. Пусть A — оракул…
Студент: Ничего себе!
Скотт: Ну да, ну да. Мне всегда странно, почему только компьютерщиков критикуют так остро за использование при поиске ответов на вопросы методик, которые имеются в их распоряжении. Вот физики говорят, что собираются провести какой-то расчет в рамках теории возмущений. «О! Конечно, что тут еще сделаешь? Это глубокая и сложная задача». Разумеется, нужно делать то, что работает. Специалисты по теоретической информатике говорят, что мы не можем пока доказать, что P ≠ NP, но мы попробуем исследовать этот вопрос в релятивизированном мире. «Это нечестно!» Представляется очевидным, что начинать всегда нужно с результатов, которые вы можете доказать, и оттуда уже двигаться дальше. Единственное возражение, которое прежде можно было выдвинуть против результатов применения оракулов, состояло в том, что некоторые из них были попросту тривиальны. Они, по существу, просто сводились к переформулированию вопроса. Но сегодня у нас появились кое-какие очень нетривиальные разделения с применением оракула. Я имею в виду, что можно очень конкретно сформулировать, для чего годятся результаты применения оракула. Приблизительно раз в месяц на сайте arxiv.org я встречаю новую статью, в которой NP-полные задачи решаются на квантовом компьютере за полиномиальное время. Должно быть, это самая простая задача в мире. Такие статьи обычно очень длинны и сложны. Но если вы знаете о результатах работы с оракулами, вам не обязательно читать эти статьи. Это очень полезное приложение. Вы можете сказать: если это доказательство верно, то оно верно и относительно оракулов, а этого не может быть, потому что нам известен оракул, для которого это неверно. Автора такой аргумент, вероятно, не убедит, но, по крайней мере, он может убедить вас.
В качестве еще одного примера я привел оракул, относительно которого класс SZK(статистический, с нулевым разглашением) не входит в BQP. Иными словами, поиск противоречий — трудная задача для квантового компьютера. Конечно, годы идут, и на глаза то и дело попадаются статьи, где авторы рассуждают о том, как находить противоречия при помощи постоянного числа запросов на квантовом компьютере. Я, не читая статью, могу сказать, что нет, так не получится, потому что не происходит ничего нерелятивизирующего. Так что оракулы существуют, чтобы подсказывать вам, какие подходы пробовать не стоит. Они направляют вас к нерелятивизирующим методикам, которые, как нам известно, в конце концов нам непременно потребуются.
Студент: К какому классу сложности принадлежите вы сами?
Скотт: Я не дотягиваю даже до полноценного P. Даже до LOGSPACE! Особенно если не выспался.
Студент: К какому классу сложности относится творчество?
Скотт: Прекрасный вопрос. Я сам только сегодня утром думал об этом. Кто-то спросил, есть ли у человека в голове оракул для NP. Может, у Гаусса или Уайлса был. Но для большинства из нас поиск доказательств — в значительной мере дело случая. Попал или промахнулся… Можно посмотреть и с другой стороны: после трех миллиардов лет естественного отбора и тысячелетий строительства цивилизации, после всех войн и остального, мы можем решить несколько примеров типа SAT — но стоит перейти к гипотезам Римана или Гольдбаха, и внезапно окажется, что это предел, что здесь мы ничего уже решить не можем.
Когда речь заходит о доказательстве теорем, нам приходится иметь дело с очень специальным случаем NP-полной задачи. Вы не просто берете какую-то произвольную формулу полиномиального по n размера, вы берете какой-то фиксированный вопрос фиксированного размера и задаетесь вопросом, имеет ли он доказательство размера n. Так что вы формируете эти примеры для доказательств той длины, что вам нужна. Но даже для таких задач нет убедительных свидетельств того, что у нас имеется какой-то общий алгоритм для их решения. Мало кто готов отказаться от общения и провести всю жизнь по-монашески, в размышлениях о математике. Наконец, таким людям удается решать кое-какие задачи и даже получать иногда за это Филдсовскую премию. Но задач, о которых все знают и которые никто не может решить, вокруг меньше не становится. Так что я бы сказал, что прежде чем вслед за Пенроузом пускаться в рассуждения о том, что математическая изобретательность человека превосходит возможности вычислений, нам следовало бы убедиться, что объективные данные подтверждают гипотезу о том, что человек хорошо умеет отыскивать доказательства. Я в этом, откровенно говоря, не убежден.
Ясно, что в определенных случаях у нас очень хорошо получается находить закономерности или брать задачи, которые кажутся трудными, и раскладывать их на более простые подзадачи. Во многих случаях это у нас получается лучше, чем у любого компьютера. Мы можем задать вопрос: «Почему так?» Это очень серьезный вопрос, но мне кажется, что ответ заключается отчасти в том, что у нас фора в миллиард лет. Миллиард лет естественного отбора снабдил нас отличным набором инструментов эвристики для решения поисковых задач определенного типа. Не всех и не всегда, но в некоторых случаях у нас действительно здорово получается. Как я уже говорил, я считаю, что NP-полные задачи не решаются эффективно в реальной Вселенной; поэтому я уверен, что не может быть машины, которая просто сможет эффективно доказать любую теорему. Тем не менее наверняка возможна машина, которая сможет пользоваться теми же творческими озарениями, какими пользуются математики-люди. Машинам не придется соперничать с Богом, только с Эндрю Уайл-сом. Возможно, это проще, но это уже не относится к теории вычислительной сложности; это вопрос искусственного интеллекта.
Студент: Значит, даже если не существует способа решать NP-полные задачи за полиномиальное время, все равно можно считать, что математики-люди устаревают?
Скотт: Конечно. И после того, как компьютеры примут у нас эстафету, возможно, им тоже придется беспокоиться о том, что когда-нибудь появится NP-оракул и оставит их без работы.
Студент: Неравенства Белла, судя по всему, являются важным инструментом исследования ограничений квантовой механики. Мы знаем, что происходит в случае полностью нелокальных ящиков, но что происходит (скажем, с вычислительной сложностью), если мы допускаем уровень корреляций чуть выше, чем, скажем, дает квантовая запутанность?
Скотт: Хороший вопрос, и есть люди, которые над ним думают.
Чтобы немного показать контекст, скажу, что есть важное достижение, известное как неравенство Цирельсона[192], которое можно считать «квантовым вариантом неравенства Белла». Неравенство Белла утверждает, что Алиса и Боб могут выиграть в своеобразной игре под названием CHSH не более чем в 75% случаев в классической вселенной, но в ~85% случаев, если у них будут общие запутанные кубиты. А неравенство Цирельсона гласит, что даже при наличиизапутанных кубитов все же есть предел возможностям Алисы и Боба: они не могут выигрывать в CHSH-игре более чем в ~85% случаев, невзирая на тот факт, что даже 100-процентный выигрыш не позволил бы им посылать сигналы быстрее скорости света. Поэтому можно сказать, что ограничения, наложенные квантовой механикой, немного сильнее, чем им «необходимо быть», сильнее, в частности, чем ограничения, связанные с отсутствием обмена информацией.
Итак, примерно десять лет назад возникла тенденция изучения гипотетических «суперквантовых» теорий, в которых нарушалось бы неравенство Цирельсона, но все же не разрешалась бы сверхсветовая коммуникация. Простейший способ добиться этого — постулировать существование так называемых «нелокальных ящиков» — волшебных устройств, позволяющих Алисе и Бобу выигрывать CHSH-игру, скажем, в 95% случаев вместо 85%. Тогда можно исследовать, как эти нелокальности влияют на другие аспекты. К примеру, Брассар с соавторами[193] (опираясь на более ранний результат Вима ван Дама[194]) показали, что наличие достаточно хорошего нелокального устройства (если ошибка достаточно мала) делает сложность коммуникации тривиальной (к примеру, все проблемы коммуникации могут быть решены при помощи одного-единственного бита).
Фундаментальная проб-лема здесь в том, что нарушение предела Цирельсона действительно можно себе представить, то есть можно представить, что существуют нелокальные корреляции более сильные, чем позволяет квантовая механика, но констатация этого факта не дает нам модели вычисления. Я имею в виду, каковы у нас разрешенные операции? Какое пространство возможных состояний порождает возможность существования нелокальных устройств? Если бы у нас были ответы на эти вопросы, мы могли бы начать думать о вычислительной сложности в этих гипотетических мирах.
Студент: Как вам кажется, не проясняется ли слегка ситуация с классами сложности? А то появляются новые, их становится все больше…
Скотт: Для меня это как спросить у химика, не проясняется ли слегка ситуация с периодической таблицей. Может быть, азот объединится с гелием? В нашем случае даже немного лучше, чем у химиков, мы все же можем надеяться на слияние некоторых классов. Так, мы надеемся и рассчитываем, что P, RP, ZPP и BPP сольются в один класс. Мы надеемся и рассчитываем, что сольются NP, AM и MA, а IP и PSPACE уже слились. Так что да, слияния происходят, но мы также знаем наверняка, что существуют классы, которые не сольются ни при каких обстоятельствах. Так, P отличается от EXP, и из этого сразу следует, что либо P отличается от PSPACE, либо PSPACE отличается от EXP, либо то и другое одновременно. Так что не все может слиться, и это не должно никого удивлять.
Может быть, теория вычислительной сложности пошла не туда, когда стала давать всему названия в виде случайных на первый взгляд сочетаний заглавных букв. Я понимаю, что для непосвященных такие названия выглядят как шифрованные обозначения или юмор «для своих». На самом же деле мы просто говорим о разных концепциях вычислений. Время, объем памяти, рандомность, квантовость, присутствие доказателя. Число классов сложности соответствует числу разных вычислительных концепций. Так что разнообразие зоопарка сложности — всего лишь естественное отражение разнообразия мира вычислений.
Студент: Как вы считаете, BPP сольется с P?
Скотт: О да. Наверняка. У нас есть даже не одна, а несколько достаточно правдоподобных гипотез по поводу нижней оценки схем, о которых известно, что если они верны, то P = BPP. Ведь кое-кто уже в 1980-е гг. понимал, что P должен быть равен BPP. Еще тогда Яо указал, что если бы у нас были достаточно хорошие криптографические генераторы псевдослучайных чисел, то с их помощью можно было бы дерандомизировать любой вероятностный алгоритм; следовательно, P = BPP. В 1990-е гг. работа продолжилась, и тот же вывод делался из все более слабых допущений.
Помимо этого, есть и «эмпирический» вариант. Два из самых впечатляющих результатов последнего десятилетия в области теории сложности — это тест на простоту Аграваля — Кайала — Саксены (AKS), который показывает, что проверка на простоту относится к P, и теорема Рейнгольда о том, что просмотр ненаправленного графа относится к детерминистическому LOGSPACE. Так что идея взять конкретный рандомизированный алгоритм и дерандомизировать его, как мы видим, принесла значительный успех. Она как бы внушает уверенность в том, что если бы мы были достаточно умны или достаточно знали, то справились бы таким же образом и с остальными BPP-задачами. Кроме того, можно взглянуть на конкретный случай, такой как дерандомизация полиномиальной проверки на тождественность. Возможно, это будет хорошей иллюстрацией к сказанному.
Вопрос такой: если дан некоторый многочлен, к примеру x2 – y2 – (x + y) (x – y), то равен ли он тождественно нулю? В данном случае ответ: да. Но в задаче может фигурировать очень сложный многочлен с переменными в очень высоких степенях, и в таком случае неочевидно, как можно его проверить, даже при помощи компьютера. Если попытаться полностью развернуть выражение, можно получить экспоненциальное число слагаемых.
Однако нам известен быстрый рандомизированный алгоритм для этой задачи, а именно: просто подставляем в выражение какие-то случайные величины (над некоторым случайным конечным полем) и смотрим, соблюдается тождество или нет. Вопрос в том, можно ли этот алгоритм дерандомизировать. То есть существует ли эффективный детерминистический алгоритм для проверки тождественного равенства многочлена нулю? Если немного побиться головой об эту задачу, то довольно быстро заберешься в дебри очень глубоких вопросов алгебраической геометрии. К примеру, можете ли вы предложить небольшой список чисел, таких, что для любого многочлена p(x), описанного небольшой арифметической формулой, достаточно подставить все числа из этого списка, и если p(x) = 0 для каждого из них, то он равен нулю всюду? Вроде бы так должно быть, поскольку все, что вам, по идее, нужно сделать, это выбрать для проверки некоторое «обобщенное» множество чисел, намного превышающее размер формулы для p. К примеру, если выяснится, что p(1) = 0, p(2) = 0, …, p(k) = 0, то либо p тождественно равен нулю, либо он нацело делится на многочлены (x – 1) … (x – k). Но существует ли ненулевое произведение (x – 1) … (x – k), которое можно представить арифметической формулой много меньшего размера, чем k? Это принципиальный вопрос. Если вы можете доказать, что такого многочлена не существует, то вы открываете путь к дерандомизации проверки на тождественность многочлена нулю (а это серьезный шаг к доказательству P = BPP).
Студент: Как вы считаете, не предложат ли три индийских математика элементарное доказательство?
Скотт: Я считаю, что для этого потребуется по крайней мере четыре индийских математика! Мы уже знаем, что если удастся доказать достаточно хорошую нижнюю оценку схемы, то удастся доказать и P = BPP. Но Импальяццо и Кабанец получили результат и в другом направлении: если хотите что-то дерандомизировать, то вам придется доказывать нижние оценки схем. Для меня это объясняет отчасти, почему до сих пор никому не удалось доказать, что P = BPP. Все потому, что мы не знаем, как доказывать нижние оценки схем. Эти две задачи почти — хотя и не совсем — идентичны.
Студент: Следует ли из P = BPP, что NP = MA?
Скотт: Почти. Если вы дерандомизируете PromiseBPP, то дерандомизируете и MA. Никто не знает, как дерандомизировать BPP, не дерандомизировав при этом и PromiseBPP.
Студент: Как вы ответили бы защитнику теории разумного замысла? Так, чтобы вас не застрелили?
Скотт: Знаете, на самом деле я не уверен. Это один из тех случаев, где, возможно, идет антропный отбор. Если бы человека можно было убедить в этом вопросе объективными данными, то, наверное, его уже убедили бы? Мне кажется, мы должны смириться с тем, что есть люди, для которых главное в вере — это не ее истинность или ошибочность, но скорее какие-то другие ее качества, к примеру ее роль в обществе. Эти люди играют в другую игру, где вера оценивается по каким-то другим стандартам. Это как баскетболисту выйти играть в регби.
Студент: Может ли теория сложности сыграть какую-то роль в противостоянии эволюции и разумного замысла?
Скотт: В той мере, в какой она там нужна, можно говорить лишь о своего рода тривиальной теории сложности. К примеру, одно то, что мы считаем NP-задачи экспоненциально трудными, не означает, что мы уверены, что любой конкретный пример такой задачи (скажем, появление в ходе эволюции работающего мозга или сетчатки глаза) должен быть трудным.
Студент: Когда Стивен Вайнберг читал лекцию в Институте теоретической физики Университета Ватерлоо, известном как Институт Периметра, его спросили: «Как во все это вписывается Бог?» Он ответил, что пора отбросить религию как артефакт нашей эволюции, потерявший всю свою ценность, и что рано или поздно мы все это перерастем. Вы с ним согласны?
Скотт: Я думаю, что здесь еще немало вопросов.
Студент: Вы говорите как политик.
Скотт: Послушайте, это горячая тема, о которой написаны книги вроде «Бог как иллюзия» Ричарда Докинза…
Студент: Это хорошая книга?
Скотт: Да. Докинз увлекательно пишет, и лучше всего у него получается разносить в пух и прах негодные аргументы. Во всяком случае, можно считать, что мир был бы откровенно лучше, если бы в нем не было войн или хотя бы не было юристов, и никто ни на кого не подавал бы в суд. И есть люди, которые хотят превратить эту идею в настоящую политическую программу. Я говорю не о тех, кто выступает против конкретных войн, таких как в Ираке, по конкретным причинам, я говорю об абсолютных пацифистах. Очевидная проб-лема с этой точкой зрения относится к теории игр. Да, мир был бы лучше без армий, но у других-то армия есть.
Ясно, что религия играет в жизни человека какую-то роль; в противном случае она не могла бы на протяжении тысяч лет быть такой вездесущей и так успешно сопротивляться очень серьезным попыткам ее выкорчевать. Возможно, к примеру, что те, кто верит, что Бог на их стороне, храбрее в бою. Или, может быть, религия — один из факторов, которые побуждают мужчин и женщин вступать в брак и рожать много детей, и потому она адаптивна чисто с точки зрения Дарвиновой теории. Много лет назад меня поразила своеобразная ирония ситуации: в современной Америке на побережье концентрируются типичные элиты, представители которых верят в дарвинизм и зачастую остаются одинокими до тридцати-сорока лет, а то и дольше, а во внутренних районах живет столь же типичный народ, представители которого отвергают дарвинизм, но вступают в брак молодыми и рожают по 7 детей, после чего у них появляется 49 внуков и 343 правнука[195]. Значит, на самом деле конкуренция идет не между «дарвинистами» и «антидарвинистами»; это просто спор между теоретиками дарвинизма и его практиками!
Если эта идея верна, то есть если религия на протяжении всей истории человечества действительно играет эту роль: побуждает человека выигрывать войны, заводить детей и т.п., то возникает вопрос: как можно победить религию, если не посредством другой, конкурирующей религии?
Студент: Конечно, именно об этом думают люди, когда решают, верить им в некоторую религию или нет.
Скотт: Я не говорю, что все это происходит осознанно или что люди действительно обдумывают этот вопрос с такой позиции. Может быть, кто-то и обдумывает, но ведь для того, чтобы их поведение объяснялось именно так, обдумывать не обязательно.
Студент: Мы можем завести много детей без всякой религии, если захотим.
Скотт: Конечно, можем, но заводим ли, в среднем? Я не назову реальных чисел, но в современном обществе действительно есть тенденция к тому, что религиозные люди в среднем более многодетны.
Кстати, есть еще один ключевой фактор: иногда иррацио-нальность может оказаться в высшей степени рацио-нальной, поскольку это единственный способ доказать другому человеку, что ты действительно чему-то предан. Это как если у вас на пороге появится некто и попросит у вас 100 долларов. Вы с гораздо большей вероятностью ему их дадите, если у него будут налитые кровью глаза и невменяемый вид — вы же не знаете, что он собирается сделать! Но чтобы подобная просьба была эффективной, иррацио-нальность и невменяемость этого человека должна быть убедительными. Нельзя просто притвориться, вы это увидите. Нужно быть глубоко, по-настоящему иррацио-нальным и убедительно демонстрировать, что готов на все. Если вы поверите, что человек будет защищать свою честь до смерти, вы, вероятно, не станете с ним связываться.
Так что теоретически религия — это способ продемонстрировать свою преданность чему-то. Ведь человек может говорить, что верит в определенные моральные принципы, но окружающие могут считать, что эти слова ничего не стоят, и не верить ему. С другой стороны, если у этого человека длинная борода, если он каждый день молится и, кажется, действительно верит, что при нарушении этих моральных принципов его ждет вечность в аду, то ясно, что он очень дорого платит за свои убеждения. Его искренность становится куда более правдоподобной. Так что, согласно этой теории, религия работает как способ публично заявить о своей приверженности определенному набору правил. Разумеется, правила эти могут быть хорошими, а могут быть и ужасными. Тем не менее такого рода публичное обязательство подчиняться некоему набору правил, подкрепленное сверхъестественными наградами и наказаниями, представляется важным элементом социальной организации общества на протяжении тысячелетий. Именно поэтому правители надеялись, что подданные не будут бунтовать, мужья рассчитывали на верность жен, жены верили, что мужья их не бросят и т.п., и т.п.
Так что я считаю, что Докинз, Хитченс и другие паладины антирелигиозной борьбы сталкиваются именно с такими силами из теории игр и, возможно, недостаточно учитывают это в своих книгах. Их задача облегчается, безусловно, тем, что их оппоненты не могут просто выйти и сказать: «Да, конечно, все это чепуха, но вот какие важные социальные функции она исполняет!» Вместо этого апологеты религий часто прибегают к легко опровергаемым аргументам (по крайней мере со времен Юма и Дарвина), а все потому, что не могут открыто заявить свою реальнуюпозицию, хотя она значительно сильнее, чем кажется!
В целом человечество, возможно, когда-нибудь и правда перерастет религию (если проживет достаточно долго), поскольку ее объяснительную роль теперь лучше выполняет наука. Но я убежден, что прежде, чем это произойдет, нам по крайней мере придется лучше разобраться в социальных функциях, которые исполняла религия на протяжении всей истории и до сих пор исполняет на большей части территории Земли, и, возможно, предложить какие-то альтернативные социальные механизмы для решения подобных задач.
Студент: Я просто думал, есть ли еще случаи, когда иррацио-нальность может быть предпочтительнее рацио-нальности.
Скотт: И как результат?
Студент: Особенно при недостатке информации. Скажем, если политик чему-то предан и позже не изменит своим идеалам, то вы можете ощущать большую уверенность, что он выполнит свои обещания.
Скотт: Потому что у него есть убеждения. Он верит в то, что говорит. Для большинства избирателей сам факт веры важнее, чем ее содержание.
Студент: Я не уверен, что это соответствует общественным интересам.
Скотт: Да, в этом-то и проб-лема! Но как разубедить людей, овладевших искусством рацио-нальной иррацио-нальности? Сказав: «Нет, погодите, на самом деле все не так»? Вы что, шутите?
Или еще пример: бар знакомств. Успех там имеют те, кто лучше других умеют убедить себя (по крайней мере на какое-то время) в некоторой лжи: «Я здесь самый крутой» или «Я здесь самая соблазнительная». Это очень наглядный пример ситуации, когда иррацио-нальность в определенном смысле лучше рацио-нальности.
Студент: Обычно приводят пример, что если вы идете на таран и ждете, кто первый отвернет, то полезно просто сломать руль, чтобы он не поворачивался.
Скотт: Именно.
Студент: Почему информатика не относится к физике?
Скотт: Это объясняется отнюдь не философией, а скорее историей. Когда-то специалистами по теоретической информатике были либо математики, либо инженеры-электрики. Когда такой специальности не было, те, кто пошел бы учиться информатике, шли либо в математику, либо в электротехнику. Физике и так есть чем заняться; кроме того, чтобы стать физиком, нужно изучить уйму всякой всячины, которая вам, может, и не нужна, если вы просто хотите писать программы или даже размышлять о теории вычислений. Пол Грэм сказал, что информатика — это не столько единая дисциплина, сколько группа людей, объединившихся по исторической случайности, как когда-то Югославия[196]. Есть «математики», есть «хакеры», есть «экспериментаторы», и мы просто объединяем их всех на одной кафедре и надеемся, что они будут общаться между собой хотя бы иногда. Но я считаю (это уже клише), что границы между теоретической информатикой, математикой, физикой и т.п. будут все больше размываться и становиться все более формальными. Ясно, что территория огромна, но совершенно неясно, где провести границы.
[1] www.scottaaronson.com/blog. Использованное в названии блога слово штетл обозначало еврейское местечко в черте оседлости Российской империи. — Прим. пер.
[2] www.youtube.com/watch?v=saWCyZupO4U. Здесь и далее примечания автора даются без дополнительных указаний.
[3] www.scottaaronson.com/blog/?p=277
[4] www.smh.com.au/news/technology/professor-claims-ad-agency-cribs-lecturenotes/2007/10/03/1191091161163.html
[5] idle.slashdot.org/story/07/10/02/1310222/scott-aaronson-printer-shill
[6] www.scottaaronson.com/blog/?p=297
[7] Стандартным учебным пособием в этой области остаются «Квантовые вычисления и квантовая информация» Майкла Нильсена (Michael Nielsen) и Айзека Чуанга (Isaac Chuang).
[8] T. Ito and T. Vidick, A Multi-prover Interactive Proof for NEXP Sound against Entangled Provers. In Proceedings of IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (2012), pp. 243–252.
[9] E. Schrödinger, What is Life? With Mind and Matter and Autobiographical Sketches, Cambridge University Press (reprinted edition), 2012.
[10] У автора — «для всех» (for all). — Прим. пер.
[11] Упрощая, автор использует далее как синонимы слова valid, которое описывает корректность (выводимость) логической формулы, и true, характеризующее истинность конкретного высказывания. — Прим. пер.
[12] Собственным подмножеством называется подмножество, не совпадающее с самим множеством. — Прим. пер.
[13] Аналогично тому, как можно построить непротиворечивые варианты геометрии, включив в число аксиом евклидову аксиому о параллельных либо ее отрицание.
[14] Пусть вас не тревожит термин «гильбертово пространство», который я буду иногда использовать в этой книге. Он означает всего лишь «пространство всех возможных квантовых состояний некоторой сис-темы». В случае сис-тем бесконечной размерности определение гильбертова пространства становится слегка неочевидным, но в этой книге нас будут интересовать только сис-темы конечной размерности. Как мы увидим в главе 9, гильбертово пространство сис-темы конечной размерности представляет собой ни что иное как CN — N-мерное комплексное векторное пространство.
[15] Таких милых шуток у автора много: мы надеемся, что читатель увидит и оценит их. — Прим. пер.
[16] http://www.loebner.net/Prizef/TuringArticle.html
[17] http://www.loebner.net/Prizef/loebner-prize.html
[18] http://www.cs.sfu.ca/~mori/research/gimpy/
[19] W. McCune, Solution of the Robbins Problem, Journal of Automated Reasoning 19:3 (1997), 263–276. http://www.cs.unm.edu/∼mccune/papers/robbins/
[20] Подробнее об этом см.: Scott Aaronson, Why Philosophers Should Care About Computational Complexity, in Computability: Turing, Gödel, Church, and Beyond (MIT Press, 2013; edited by Oron Shagrir), http://www.scottaaronson.com/papers/philos.pdf
[21] «Мыслю — следовательно, существую» (лат.) — Прим. пер.
[22] См.: David J. Chalmers, The Conscious Mind: In Search of a Fundamental Theory, Oxford University Press, 1997.
[23] http://www.ams.org/notices/199607/marker.pdf
[24] A. Burdman Fefferman and S. Fefferman, Alfred Tarski: Life and Logic (Cambridge: Cambridge University Press, 2008).
[25] http://www.complexityzoo.com
[26] A. Stothers, On the complexity of matrix multiplication. Unpublished PhD Thesis, University of Edinburgh (2010). http://www.maths.ed.ac.uk/pg/thesis/stothers.pdf
[27] V. Vassilevska Williams, Breaking the Coppersmith — Winograd barrier. In Proceedings of Annual ACM Symposium on Theory of Computing (2012). http://www.cs.berkeley.edu/~virgi/matrixmult.pdf
[28] http://www.ioccc.org/
[29] См: Saul Kripke, Naming and Necessity, Wiley-Blackwell, 1991 (reprint edition).
[30] См.: http://www.claymath.org/millennium/
[31] То есть останавливается в принимающем состоянии. — Прим. пер.
[32] W. R. Alford, A. Granville and C. Pomerance, There are infinitely many Carmichael numbers, Annals of Mathematics 2:139 (1994), 703–722. http://www.math.dartmouth.edu/∼carlp/PDF/paper95.pdf
[33] M. Agrawal, N. Kayal, and N. Saxena, PRIMES is in P, Annals of Mathematics 160:2 (2004), 781–793. http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primalityv6.pdf
[34] J. Gill, Computational Complexity of Probabilistic Turing Machines, SIAM Journal on Computing 6:4 (1977), 675–695.
[35] Исход президентских выборов в США в ноябре 2000 г. зависел от того, на чью сторону встанут выборщики от штата Флорида, а там количество проголосовавших за Альберта Гора и за Джорджа Буша (сына) различалось всего на несколько десятков голосов. На то, чтобы установить волю избирателей, потребовалось несколько недель, и половину Америки результат подсчета не убедил. — Прим. пер.
[36] Крупные центры игорного бизнеса. — Прим. пер.
[37] http://www.cs.berkeley.edu/∼luca/cs278–01/notes/lecture9.ps
[38] R. M. Karp and R. J. Lipton, Turing machines that take advice, L'Enseignement Mathematique 28 (1982), 191–209.
[39] R. Impagliazzo and A. Wigderson, P = BPP if E requires exponential circuits: derandomizing the XOR lemma. In Proceedings of ACM Symposium on Theory of Computing (New York: ACM, 1997), pp. 220–9.
[40] V. Kabanets and R. Impagliazzo, Derandomizing polynomial identity tests means proving circuit lower bounds. Computational Complexity, 13:1/2 (2004), 1–46.
[41] D. Kahn, The Codebreakers (New York: Scribner, 1996).
[42] См.: http://en.wikipedia.org/wiki/Pizzino.
[43] Ну хорошо. Если вы жаждете увидеть доказательство, то его, например, можно найти в: Oded Goldreich, Foundations of Cryptography (Volume I: Basic Tools), Cambridge University Press, 2007.
[44] L. Blum, M. Blum and M. Shub, A Simple Unpredictable Pseudo-Random Number Generator, SIAM Journal on Computing, 15 (1996), 364–383. (Заметьте, что первый из авторов — женщина. — Прим. пер.).
[45] M. Ajtai and C. Dwork, A public-key cryptosystem with worst-case/average-case equivalence. In Proceedings of 29th Annual ACM Symposium on Theory of Computing (New York: ACM, 1997), pp. 284–93.
[46] O. Regev, On lattices, learning with errors, random linear codes, and cryptography. Journal of the ACM, 56:6 (2009), 1–40.
[47] J. Håstad, R. Impagliazzo, L. A. Levin and M. Luby, A pseudorandom generator from any one-way function. SIAM Journal on Computing, 28:4 (1999), 1364–96. http://citeseer.ist.psu.edu/hastad99pseudorandom.html
[48] A. Chi-Chih Yao, Theory and applications of trapdoor functions [extended abstract]. In Proceedings of 24th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (Silver Spring, MD: IEEE Computer Society Press, 1982), pp. 80–91.
[49] См.: Martin Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers: And the Return of Dr. Matrix, Mathematical Association of America, 1997.
[50] http://citeseer.ist.psu.edu/340126.html
[51] http://www.cs.tau.ac.il/∼odedr/papers/qcrypto.pdf
[52] C. Peikert, Public-key cryptosystems from the worst-case shortest vector problem [extended abstract]. In Proceedings of Annual ACM Symposium on Theory of Computing (New York: ACM, 2009), pp. 333–42.
[53] C. Gentry, Fully homomorphic encryption using ideal lattices. In Proceedings of Annual ACM Symposium on Theory of Computing (New York: ACM, 2009), pp. 169–78.
[54] Американский математик британского происхождения, доказавший Великую теорему Ферма. — Прим. пер.
[55] http://www.scottaaronson.com/papers/island.pdf
[56] Числовое поле F называется «алгебраически замкнутым», если любое алгебраическое уравнение, в котором задействованы числа из F, может быть решено тоже с использованием чисел из F (исключением являются тривиальные нерешаемые уравнения вроде 0 = 1). Чтобы проиллюстрировать это определение, скажем, что рацио-нальные числа не являются алгебраически замкнутыми, поскольку уравнение x2 = 2 имеет только иррацио-нальные решения; даже действительные числа алгебраически не замкнуты, поскольку уравнение x2 = – 1 имеет только мнимые решения. Но в начале XIX века был установлен важный факт: комплексные числа алгебраически замкнуты. Априори можно было предположить, что нам придется изобретать бесконечную пирамиду все более сложных чисел, чтобы с их помощью решать уравнения с числами предыдущего уровня сложности. Но нет, все закончилось на комплексных числах! К примеру, решением уравнения x2 = i является x = (1 + i) / √2, то есть тоже комплексное число.
[57] Матрица комплексных чисел, переходящая сама в себя при последовательном применении операций транспонирования и сопряжения.
[58] В статье S. Weinberg, Precision tests of quantum mechanics, Physical Review Letters 62 (1989), 485.
[59] http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/9801041
[60] http://www.scottaaronson.com/papers/npcomplete.pdf
[61] Stephen Wiesner, "Conjugate coding," ACM SIGACT News 15 (1):78–88. 1983. — Прим. авт.
[62] Charles H. Bennett and Gilles Brassard, "Quantum Cryptography: Public key distribution and coin tossing," Proceedings of the IEEE International Conference on Computers, Systems, and Signal Processing, Bangalore, p. 175, 1984.
[63] Abel Molina, Thomas Vidick, and John Watrous, "Optimal counterfeiting attacks and generalizations for Wiesner's quantum money," 2012. http://arxiv.org/abs/1202/4010.
[64] Charles H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Crepeau, Richard Jozsa, Asher Peres, and William K. Wootters, "Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels," Physical Review Letters 70:1895–1899, 1993.
[65] http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0101012
[66] G. Chiribella, G. M. D'Ariano and P. Perinotti, Informational derivation of Quantum Theory. Physical Review A, 84 (2011), 012311. http://arxiv.org/abs/1011.6451.
[67] http://www.perimeterinstitute.ca/personal/cfuchs/
[68] http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0104088
[69] http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0205115
[70] См. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030
[71] См. http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/9807006
[72] L. M. Adleman, J. DeMarrais, and M.-D. A. Huang, Quantum Computability, SIAM Journal on Computing, 26:5 (1997), 1524–1540.
[73] Чтобы войти в тему, читатель может захотеть ознакомиться с моим изложением алгоритма Гора на популярном уровне, опубликованном под заглавием «Шор, я сделаю это»: http://www.scottaaronson.com/blog/?p=208.
[74] D. R. Simon, On the Power of Quantum Cryptography, Proceedings of IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, (1994), 116–123.
[75] http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/f04quantum/notes/lec7.ps
[76] http://www.scottaaronson.com/papers/uncompute.pdf
[77] S. Aaronson, BQP and the polynomial hierarchy. In Proceedings of Annual ACM Symposium on Theory of Computing (2010), pp. 141–50. http://www.scottaaronson.com/papers/bqpph.pdf
[78] L. K. Grover, A Fast Quantum Mechanical Algorithm for Database Search, Proceedings of ACM Symposium on Theory of Computing (1996), 212–219. http://arxiv.org/abs/quant-ph/9605043
[79] http://www.scottaaronson.com/blog/
[80] См., например, David Deutsch, The Fabric of Reality, Penguin, 1997. Имеется русский перевод: Д. Дойч, Структура реальности. Наука параллельных вселенных. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015.
[81] Подробнее об этом споре можно почитать в работе Scott Aaronson, "Why Philosophers Should Care About Computational Complexity," in Computability: Turing, Gödel, Church, and Beyond (MIT Press, 2013; edited by Oron Shagrir), http://www.scottaaronson.com/papers/philos.pdf
[82] На языке оригинала — Emperor's New Mind и Shadows of the Mind соответственно. —Прим. пер.
[83] J. Lucas, Minds, Machines, and Gödel, Philosophy XXXVI: (1961), 112–127. http://users.ox.ac.uk/~jrlucas/Godel/mmg.html
[84] A. M. Turing, Computing machinery and intelligence, Mind 59 (1950), 433–460. http://www.loebner.net/Prizef/TuringArticle.html
[85] Again, for more, see Scott Aaronson, "Why Philosophers Should Care About Computational Complexity," in Computability: Turing, Gödel, Church, and Beyond (MIT Press, 2013; edited by Oron Shagrir), http://www.scottaaronson.com/papers/philos.pdf
[86] Более подробно этот вопрос излагается, например, в работе Max Tegmark, "The importance of quantum decoherence in brain processes," Physical Review E, 61:4194–4206, 1999. http://arxiv.org/abs/quant-ph/9907009
[87] http://researcher.watson.ibm.com/researcher/view_project.php?id=2862
[88] См.: John Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics: Collected Papers on Quantum Philosophy (second edition), Cambridge University Press, 2004.
[89] См. http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/9906129
[90] C. E. Shannon. A Mathematical Theory of Communication, Bell System Technical Journal 27:3 (1948), 379–423. http://www.alcatel-lucent.com/bstj/vol27–1948/articles/bstj27-3-379.pdf
[91] В журнале Physical Review A 71:032325, 2005. http://www.scottaaronson.com/papers/qchvpra.pdf
[92] См.: http://www.scottaaronson.com/papers/collision.pdf
[93] См.: http://plato.stanford.edu/entries/kochen-specker/
[94] http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0304013
[95] См.: http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/s07quantum/notes/lecture1.pdf
[96] В http://www.scottaaronson.com/papers/qchvpra.pdf
[97] Erwin Schrödinger, "Über die Umkehrung der Naturgesetze," Sitzungsber. Preuss. Akad. Wissen. Phys. Math. Kl., 1:144–153, 1931.
[98] См., напр.: M. Nagasawa, Schrödinger Equations and Diffusion Theory (Basel: Birkhäuser, 1993).
[99] Для введения в вопрос можно обратиться, например, к http://plato.stanford.edu/entries/qm-bohm/
[100] См.: Oded Goldreich, Silvio Micali, and Avi Wigderson, "Proofs that Yield Nothing but Their Validity, or All Languages in NP have Zero-Knowledge Proof Systems," Journal of the ACM 38 (3):691–729, 1991.
[101] Она коротко называется PCP Theorem, и ей посвящена обширная литература; не менее дюжины людей внесли существенный вклад в открытие и совершенствование доказательства. Можно ознакомиться с недавним популярным обзором Dana Moshkovitz, "The Tale of the PCP Theorem," ACM Crossroads 18 (3):23–26, 2012. http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/XRDS.pdf
[102] http://www.scottaaronson.com/papers/qchvpra.pdf
[103] G. Brassard, P. Høyer, and A. Tapp, Quantum cryptanalysis of hash and claw-free functions, SIGACT News 28:2 (1997), 14–19. http://arxiv.org/abs/quant-ph/9705002
[104] S. Aaronson, Quantum Lower Bound for the Collision Problem, Proceedings of ACM Symposium on Theory of Computing, (2002), 635–642. http://www.scottaaronson.com/papers/collision.pdf
[105] Y. Shi, Quantum Lower Bounds for the Collision and the Element Distinctness Problems, Proceedings of IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, (2002), 513–519. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0112086
[106] См., например, J. Kempe, A. Kitaev, and O. Regev, The Complexity of the local Hamiltonian problem. SIAM Journal on Computing 35:5 (2006), 1070–1097. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0406180
[107] J. Watrous, Succinct quantum proofs for properties of finite groups. In Proceedings of IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (2000), pp. 537–46. http://arxiv.org/abs/cs.CC/0009002
[108] S. Aaronson and G. Kuperberg, Quantum Versus Classical Proofs and Advice, Theory of Computing 3:7 (2007), 129–157. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0604056
[109] http://arxiv.org/abs/1107.0321
[110] См.: A. Ambainis, A. Nayak, A. Ta-Shma, and U. V. Vazirani, Dense quantum coding and quantum finite automata, Journal of the ACM, 49:4 (2002), 496–511. Эта статья содержит также последующее продвижение Наяка.
[111] То, о чем мы говорим здесь, на другом языке физик Якир Ааронов и его сотрудники называют концепцией «слабых измерений».
[112] Красивое доказательство этого дал М. Н. Вялый, см. eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2003/TR03–021/
[113] См., например, статью Хайтина http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/sciamer3.html, где имеется хорошее популярное описание Ω.
[114] S. Aaronson, Limitations of Quantum Advice and One-Way Communication, Theory of Computing 1 (2005), 1–28. http://theoryofcomputing.org/articles/v001a001/v001a001.pdf
[115] S. Aaronson and A. Drucker, A full characterization of quantum advice. In Proceedings of Annual ACM Symposium on Theory of Computing (2010), pp. 131–40. http://arxiv.org/abs/1004.0377
[116] См., например, http://www.cs.bu.edu/fac/lnd/expo/qc.htm and http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/on-qc.html
[117] Впоследствии Дэвис опубликовал этот довод; см. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0703041
[118] Англоязычное издание выпущено Basic Books в 2006 г.
[119] Мягкое введение в теорему о пороговом значении можно найти, например, в работе Джона Прескилла http://arxiv.org/abs/quant-ph/9705031 или Дорит Ааронов http://arxiv.org/abs/quant-ph/9812037
[120] www.cs.berkeley.edu/~vazirani/pubs/bv.ps
[121] См. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0610117, или более свежую http://arxiv.org/abs/1212.3562
[122] См. в http://www.scottaaronson.com/blog/?p=1211 недавнюю дискуссию о скептицизме в отношении квантовых вычислений.
[123] L. Valiant, A Theory of the Learnable, Communications of the ACM 27:11 (1984), 1134–1142. http://www.mpi-inf.mpg.de/~mehlhorn/SeminarEvolvability/ValiantLearnable.pdf. Хорошее введение в тему можно найти в An Introduction to Computational Learning Theory by Michael Kearns and Umesh Vazirani, MIT Press, 1994.
[124] A. Blumer, A. Ehrenfeucht, D. Haussler, and M. K. Warmuth, Learnability and the Vapnik-Chernonenkis dimension, Journal of the ACM 36:4 (1989), 929–965.
[125] S. Aaronson, The learnability of quantum states. Proceedings of the Royal Society, A463 (2088), 2007. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0608142
[126] J. Håstad, R. Impagliazzo, L. A. Levin, and M. Luby, A Pseudorandom Generator from any One-way Function. SIAM Journal on Computing 28:4 (1999), 1364–1396.
[127] O. Goldreich, S. Goldwasser and S. Micali, How to construct random functions. Journal of the ACM, 33:4 (1986), 792–807.
[128] Больше об этом см.: How the Mind Works by Steven Pinker (W. W. Norton & Company, reissue edition, 2009).
[129] D. Deutsch, The Fabric of Reality: The Science of Parallel Universes — and Its Implications (London: Penguin, 1998). В русском переводе издана под названием «Структура реальности».
[130] R. Impagliazzo and A. Wigderson, P=BPP if E requires exponential circuits: Derandomizing the XOR lemma. In Proceedings of ACM Symposium on Theory of Computing (1997), pp. 220–229.
[131] L. Fortnow and M. Sipser, Are there interactive protocols for CO-NP languages? Information Processing Letters, 28:5 (1988), 249–51.
[132] C. Lund, L. Fortnow, H. J. Karloff, and N. Nisan, Algebraic methods for interactive proof systems. Journal of the ACM, 39:4 (1992), 859–68.
[133] L. G. Valiant, The complexity of enumeration and reliability problems, SIAM Journal on Computing, 8:3 (1979), 410–421.
[134] За эту работу Сэйносукэ Тода получил Гёделевскую премию 1998 г. — Прим. пер.
[135] Красивое доказательство можно найти, например, в статье Lance Fortnow "A Simple Proof of Toda's Theorem" (http://theoryofcomputing.org/articles/v005a007/v005a007.pdf) или в книге Gems of Theoretical Computer Science by Uwe Schöning (Springer, 1998).
[136] A. Shamir, IP = PSPACE. Journal of the ACM, 39:4 (1992), 869–77.
[137] N. V. Vinodchandran, A note on the circuit complexity of PP. Theoretical Computer Science, 347:1/2 (2005), 415–18.
[138] S. Aaronson, Oracles are subtle but not malicious. In Proceedings of IEEE Conference on Computational Complexity (2006), pp. 340–54. http://arxiv.org/pdf/cs.CC/0504048.pdf
[139] R. Santhanam, Circuit lower bounds for Merlin — Arthur classes. SIAM Journal on Computing, 39:3 (2009), 1038–61.
[140] S. Aaronson and A. Wigderson, Algebrization: a new barrier in complexity theory. ACM Transactions on Computing Theory, 1:1 (2009), 2:1–54.
[141] M. L. Furst, J. B. Saxe, and M. Sipser, Parity, circuits, and the polynomial-time hierarchy. Mathematical Systems Theory, 17:1 (1984), 13–27.
[142] M. Ajtai. Sigma_1ˆ1-formulae on finite structures. Annals of Pure and Applied Logic, 24 (1983), 1–48.
[143] A. A. Razborov, On themethod of approximations. In Proceedings ofACMSymposium on Theory of Computing (New York: ACM, 1989), pp. 167–76.
[144] R. Smolensky, Algebraic methods in the theory of lower bounds for Boolean circuit complexity. In Proceedings of ACM Symposium on Theory of Computing (New York: ACM, 1987), pp. 77–82.
[145] A. A. Razborov and S. Rudich, Natural proofs. Journal of Computer and System Sciences, 55:1 (1997), 24–35.
[146] M. Naor and O. Reingold, Number-theoretic constructions of efficient pseudo-random functions. Journal of the ACM, 51:2 (2004), 231–62.
[147] R. Williams, Non-uniform ACC circuit lower bounds. In Proceedings of IEEE Conference on Computational Complexity (Silver Springs, MD: IEEE Computer Society Press, 2011), pp. 115–25.
[148] Более подробно см.: K. Mulmuley, The GCT program toward the P vs. NP problem. Communications of the ACM, 55:6 (2012), 98–107, http://ramakrishnadas.cs.uchicago.edu/, или прекрасную докторскую диссертацию Joshua Grochow, Symmetry and equivalence relations in classical and geometric complexity theory. Doctoral dissertation, University of Chicago (2012). http://people.cs.uchicago.edu/~joshuag/grochow-thesis.pdf).
[149] http://www.cpsc.ucalgary.ca/~jwatrous/papers/qip2.ps
[150] R. Jain, Z. Ji, S. Upadhyay, and J. Watrous, QIP = PSPACE. Journal of the ACM, 58:6 (2011), 30.
[151] A. Kitaev and J. Watrous, Parallelization, amplification, and exponential time simulation of quantum interactive proof systems. In Proceedings of Annual ACM Symposium on Theory of Computing (New York: ACM, 2000), pp. 608–17.
[152] Начиная с этой главы мы включили в текст некоторые диалоги со студентами, слушавшими данный курс.
[153] См., напр.: Nick Bostrom, Anthropic Bias: Observation Selection Effects in Science and Philosophy, Routledge, 2010.
[154] См., напр.: John Leslie, The End of the World: The Science and Ethics of Human Extinction, Routledge, 1998.
[155] Об аргументе Судного дня существует обширная литература. Хорошим началом служат уже упомянутые книги Бострома и Лесли, рано как и статья http://en.wikipedia.org/wiki/Doomsday_argument.
[156] J. R. Gott III, Implications of the Copernican principle for our future prospects. Nature, 363:6427 (1993), 315–319.
[157] http://math.ucr.edu/home/baez/week246.html
[158] BPPpath был введен в работе Y. Han, L. A. Hemaspaandra, and T. Thierauf, Threshold computation and cryptographic security. SIAM Journal on Computing, 26:1 (1997), 59–78.
[159] L. M. Adleman, J. DeMarrais, and M.-D. A. Huang, Quantum computability. SIAM Journal on Computing, 26:5 (1997), 1524–40.
[160] S. Aaronson, Quantum computing, postselection, and probabilistic polynomial-time. Proceedings of the Royal Society A, 461:2063 (2005), 3473–82. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0412187
[161] R. Beigel, N. Reingold, and D. A. Spielman, PP is closed under intersection. Journal of Computer and System Sciences, 50:2 (1995), 191–202.
[162] M. Bremner, R. Jozsa, and D. Shepherd, Classical simulation of commuting quantum computations implies collapse of the polynomial hierarchy. Proceedings of the Royal Society A, 467:2126 (2010), 459–72. http://arxiv.org/abs/1005.1407
[163] S. Aaronson and A. Arkhipov, The computational complexity of linear optics. In Proceedings of Annual ACM Symposium on Theory of Computing (2011), pp. 333–42. http://arxiv.org/abs/1011.3245
[164] В самом деле, когда проводилась финальная редактура американского издания этой книги, четыре группы в области квантовой оптики объявили о первых успешных демонстрациях предложенной нами с Архиповым «бозонной выборки», хотя пока лишь с тремя идентичными фотонами. См. дополнительную информацию http://www.scottaaronson.com/blog/?p=1177.
[165] См., например, http://law2.umkc.edu/faculty/projects/ftrials/leoploeb/leopold.htm
[166] http://www.complexityzoo.com
[167] R. Nozick, Newcomb's problem and two principles of choice. In Essays in Honor of Carl G. Hempel, ed. N. Rescher, Synthese Library, Dordrecht, the Netherlands. (1969), pp. 114–115.
[168] После того как я прочитал эти лекции в 2006 г., я узнал, что Рэдфорд Нил независимо от меня предложил сходную идею. См.: R. M. Neal, Puzzles of anthropic reasoning resolved using full non-indexical conditioning, http://www.cs.toronto.edu/~radford/ftp/anth.pdf
[169] B. W. Libet, Do we have free will? Journal of Consciousness Studies, 6 (1999), 47–57.
[170] C. S. Soon, M. Brass, H.-J. Heinze, and J.-D. Haynes, Unconscious determinants of free decisions in the human brain. Nature Neuroscience, 11 (2008), 543–45.
[171] http://arxiv.org/abs/quant-ph/0604079
[172] http://www.scottaaronson.com/papers/nks.pdf
[173] S. Wolfram, A New Kind of Science, Wolfram Media, 2002.
[174] S. Pironio, A. Acın, S. Massar, A. Boyer de la Giroday, D. N. Matsukevich, P. Maunz, S. Olmschenk, D. Hayes, L. Luo, T. A. Manning, and C. Monroe, Random numbers certified by Bell's theorem. Nature, 464 (2010), 1021–4. http://arxiv.org/abs/0911.3427
[175] U. Vazirani and T. Vidick, Certifiable quantum dice — or, true random number generation secure against quantum adversaries. In Proceedings of Annual ACM Symposium on Theory of Computing (2012), pp. 61–76. http://arxiv.org/abs/1111.6054
[176] Adam Elga, Defeating Dr. Evil with self-locating belief. http://philsci-archive.pitt.edu/1036/
[177] Доступное введение в тему имеется в книге K. Thorne, Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, W. W. Norton & Company, 1995 (reprint edition). В русском переводе книга Кипа Торна вышла под заглавием «Черные дыры и складки времени. Дерзкое наследие Эйнштейна».
[178] David Deutsch, Quantum mechanics near closed timelike lines. Physical Review D 44 (1991), 3197–3217.
[179] http://www.scottaaronson.com/papers/npcomplete.pdf
[180] S. Aaronson and J. Watrous, Closed timelike curves make quantum and classical computing equivalent. In Proceedings of the Royal Society A, 465 (2009), 631–647. http://arxiv.org/abs/0808.2669
[181] P. Beame, S. A. Cook, and H. J. Hoover, Log depth circuits for division and related problems. SIAM Journal on Computing, 15:4 (1986), 994–1003.
[182] C. H. Bennett, D. Leung, G. Smith, and J. A. Smolin, Can closed timelike curves or nonlinear quantum mechanics improve quantum state discrimination or help solve hard problems? Physical Review Letters 103 (2009), 170502. http://arxiv.org/abs/0908.3023
[183] S. Lloyd, L. Maccone, R. Garcia-Patron, V. Giovannetti, and Y. Shikano, The quantum mechanics of time travel through post-selected teleportation. Physical Review D, 84 (2011), 025007. http://arxiv.org/abs/1007.2615
[184] http://arxiv.org/abs/1005.2219
[185] N. J. Cornish and J. R. Weeks, Measuring the shape of the universe. Notices of the American Mathematical Society (1998). http://arxiv.org/abs/astro-ph/9807311
[186] R. Bousso, The holographic principle. Reviews of Modern Physics, 74 (2002), 825–874, http://arxiv.org/abs/hep-th/0203101
[187] R. Bousso, Positive vacuum energy and the N-bound. Journal of High Energy Physics, 0011:038 (2000). http://arxiv.org/abs/hep-th/0010252
[188] S. Aaronson and A. Ambainis, Quantum search of spatial regions. Theory of Computing, 1 (2005), 47–79. http://www.scottaaronson.com/papers/ggtoc.pdf
[189] See, for example, S. D. Mathur, The fuzzball proposal for black holes: an elementary review. Fortschritte der Physik, 53 (2005), 793–827. http://arxiv.org/abs/hep-th/0502050, http://arxiv.org/abs/1208.2005, http://www.physics.ohio-state.edu/~mathur/faq2.pdf
[190] Между т.н. анти-де-ситтеровским пространством (AdS) и конформными теориями поля (CFT). — Прим. пер.
[191] See, for example, A. Almheiri, D. Marolf, J. Polchinski, and J. Sully, Black Holes: Complementarity or Firewalls? http://arxiv.org/abs/1207.3123 and http://blogs.discovermagazine.com/cosmicvariance/2012/09/27/guest-post-joe-polchinskion-black-holes-complementarity-and-firewalls/
[192] См. http://en.wikipedia.org/wiki/Tsirelson'sbound
[193] G. Brassard, H. Buhrman, N. Linden, A. A. Methot, A. Tapp, and F. Unger, A limit on nonlocality in any world in which communication complexity is not trivial. Physical Review Letters 96 (2006), 250401. http://arxiv.org/abs/quant-ph/0508042
[194] W. van Dam, Implausible consequences of superstrong nonlocality. (2005). http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501159
[195] А еще первые голосуют за Клинтон, а вторые — за Трампа. — Прим. пер.
[196] P. Graham, Hackers and painters. http://www.paulgraham.com/hp.html
Издательство благодарит Российский квантовый центр и Сергея Белоусова за помощь в подготовке издания
Переводчик Н. Лисова
Научный редактор А. Львовский
Редактор И. Лисов
Руководитель проекта А. Тарасова
Корректоры О. Сметанникова, М. Миловидова
Компьютерная верстка М. Поташкин
Арт-директор Ю. Буга
Иллюстрация обложки Shutterstock.ru
© Scott Aaronson, 2013
© Издание на русском языке, перевод, оформление. ООО «Альпина нон-фикшн», 2018
© Электронное издание. ООО «Альпина Диджитал», 2018
Ааронсон С.
Квантовые вычисления со времен Демокрита / Скотт Ааронсон; Пер. с англ. — М.: Альпина нон-фикшн, 2018.
ISBN 978-5-9614-5030-9